Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Tolaso J Kos · #401

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 10, 2025 12:04 am
Άσκηση 134

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int _{-2}^{2}\ln (x+ \sqrt {1+x^2} ) \, dx$

Αυτό εδώ κραυγάζει για την u=-x

. Πράγματι,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \, \mathrm{d}x & \overset{u=-x}{=\! =\! =\! } \int_{-2}^{2} \ln \left( -u + \sqrt{1+u^2} \right) \, \mathrm{d} u \\ & = \int_{-2}^{2} \ln \frac{\left( -u + \sqrt{1+u^2} \right) \left( u + \sqrt{1+u^2} \right)}{\sqrt{1+u^2} + u} \, \mathrm{d}u \\ & = \int_{-2}^{2} \ln \frac{-u^2 + 1 + u^2}{u + \sqrt{1+u^2}} \, \mathrm{d}u \\ & = \int_{-2}^{2} \ln \frac{1}{u + \sqrt{1+u^2}} \, \mathrm{d}u \\ & = - \int_{-2}^{2} \ln \left( u + \sqrt{1 + u^2} \right) \, \mathrm{d}u \end{aligned}}$
Άρα, $\displaystyle{ \int_{-2}^{2} \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \, \mathrm{d}x = 0}$ . Ουσιαστικά αποδείξαμε ότι η $f(x) = \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$ είναι περιττή και φυσικά ολοκλήρωμα περιττής σε συμμετρικό διάστημα γύρω από το μηδέν είναι, ως γνωστόν,

.

#402

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 10, 2025 12:04 am
Άσκηση 134

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int _{-2}^{2}\ln (x+ \sqrt {1+x^2} ) \, dx$

.
Πιο απλά αλλά πάνω στην ίδια βασική ιδέα: Η αλλαγή μεταβλητής $x\to -x$ δίνει I=J

όπου $I=\int _{-2}^{2}\ln (x+ \sqrt {1+x^2} ) \, dx$ και $J= \int _{-2}^{2}\ln (-x+ \sqrt {1+x^2} ) \, dx$ .

Άρα

$\displaystyle{I= \dfrac {1}{2}(I+J) = \dfrac {1}{2} \int_{-2}^{2} \left ( \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) + \ln \left( -x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right ) \, dx=}$

$\displaystyle{= \dfrac {1}{2} \int_{-2}^{2} \ln \left ( \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \left( -x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right ) \, dx=\dfrac {1}{2} \int_{-2}^{2} \ln 1\, dx = \dfrac {1}{2} \int_{-2}^{2} 0\, dx =0}$

mick7 · #403

Νομίζω αυτό που ενδιαφέρει είναι αν είναι σωστά επιστημονικά διότι κινδυνεύουμε να χαθούμε σε ένα κύκλο επιστημονικού μακαρθισμού.
Η άσκηση υπάρχει παντού εδώ και δεκαετίες και η κυρία ιδέα είναι αυτή που έδωσα. Μια λύση της υπάρχει στο βίντεο παρακάτω.

https://www.youtube.com/watch?v=1fZ6yJoxLGI

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 10, 2025 12:04 am
Εννοείται ότι απαγορεύονται οι λύσεις με ΑΙ ή με λογισμικό. Στα παραπάνω, μερικές τέτοιες λύσεις είναι ορατές από χιλιόμετρα. Αν κάποιος δεν μπορεί να βγάλει κάποια άσκηση (που δεν είναι μεμπτό) τουλάχιστον ας την αφήσει να την χαρούν άλλοι.

#404

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 10, 2025 1:19 am
Νομίζω αυτό που ενδιαφέρει είναι αν είναι σωστά επιστημονικά διότι κινδυνεύουμε να χαθούμε σε ένα κύκλο επιστημονικού μακαρθισμού.
Η άσκηση υπάρχει παντού εδώ και δεκαετίες και η κυρία ιδέα είναι αυτή που έδωσα. Μια λύση της υπάρχει στο βίντεο παρακάτω.

https://www.youtube.com/watch?v=1fZ6yJoxLGI

Ίσως δεν έγινα κατανοητός. Κάνω άλλη μία προσπάθεια:

Αν κάποιος αναρτήσει μία άσκηση (που την κατασκεύσαε μόνος του ή που του άρεσε και θέλει να την μοιραστεί μαζί μας) είναι για δώσει την χαρά στους αναγνώστες να ασχοληθούν μαζί της.

Ο ίδιος, όταν ξέρω εκ των προτέρων την λύση μιας άσκησης, δεν την γράφω για να μην στερήσω στους άλλους την ευκαιρία πνευματικής χαράς, όσο μικρή και αν είναι αυτή. Είναι θέμα νοοτροπίας.

Το να ανατρέχουμε στην βιβλιογραφία ή στο Youtube ή στο ChatGpt να μας λύσει μία άσκηση (ιδίως όταν πρόκειται για σχετικά απλές ασκήσεις) και μετά να την εμφανίσουμε ως δική μας λύση, είναι δικαίωμα του καθενός. Είναι θέμα νοοτροπίας. Ο καθένας ας κρίνει αν η ενέργεια αυτή συμβάλει στην ζωή του φόρουμ.

#405

Άσκηση 135

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int (\arcsin x)^3 \, dx$

Εννοείται ότι η άσκηση απευθύνεται μόνο σε άτομα που είναι διατεθειμένα να εργαστούν αυτοδύναμα, με χαρτί και μολύβι. Απαγορεύονται οι λύσεις με ΑΙ ή με λογισμικό ή με άλλο εξωτερικό βοήθημα. Αν κάποιος δεν μπορεί να λύσει την άσκηση (που δεν είναι μεμπτό) τουλάχιστον ας την αφήσει να την χαρούν άλλοι. Η άσκηση είναι αρκετά απλή ώστε να μην χρειάζονται βοηθήματα.
.

Tolaso J Kos · #406

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 10, 2025 9:25 pm
Άσκηση 135

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int (\arcsin x)^3 \, dx$

Εννοείται ότι η άσκηση απευθύνεται μόνο σε άτομα που είναι διατεθημένα να εργαστούν αυτοδύναμα, με χαρτί και μολύβι. Απαγορεύονται οι λύσεις με ΑΙ ή με λογισμικό ή με άλλο εξωτερικό βοήθημα. Αν κάποιος δεν μπορεί να λύσει την άσκηση (που δεν είναι μεμπτό) τουλάχιστον ας την αφήσει να την χαρούν άλλοι. Η άσκηση είναι αρκετά απλή ώστε να μην χρειάζονται βοηθήματα.

Χαλό Μιχάλη,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \arcsin^3 x \, \mathrm{d}x & \overset{\theta = \arcsin x}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!} \int \theta^3 \cos \theta \, \mathrm{d} \theta \\ & = \left( \text{\gr τρεις παραγοντικές ...} \right) \\ & = \theta \left( \theta^2 - 6 \right) \sin \theta + 3 \left( \theta^2 -2 \right) \cos \theta \\ & = x \arcsin x \left( \arcsin^2 x -6 \right) + 3 \sqrt{1-x^2} \left( \arcsin^2 x - 3 \right) \end{aligned}}$
διότι $\cos \arcsin x = \sqrt{1-x^2}$ .

#407

Άσκηση 136

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int x^2\sqrt {a^2-x^2} \, dx$

Εννοείται ότι η άσκηση απευθύνεται μόνο σε άτομα που είναι διατεθειμένα να εργαστούν αυτοδύναμα, με χαρτί και μολύβι. Απαγορεύονται οι λύσεις με ΑΙ ή με λογισμικό ή με άλλο εξωτερικό βοήθημα. Αν κάποιος δεν μπορεί να λύσει την άσκηση (που δεν είναι μεμπτό) τουλάχιστον ας την αφήσει να την χαρούν άλλοι. Η άσκηση είναι αρκετά απλή ώστε να μην χρειάζονται βοηθήματα.

.

Tolaso J Kos · #408

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 11, 2025 8:51 am
Άσκηση 136

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int x^2\sqrt {a^2-x^2} \, dx$

$\displaystyle{\begin{aligned} \int x^2 \sqrt{a^2-x^2} \, \mathrm{d}x &\overset{x=a \sin \theta}{=\! =\! =\! =\! =\!}a \int \left( a \sin \theta \right)^2 \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta} \cos \theta \, \mathrm{d} \theta \\ & = a^4 \int \sin^2 \theta \cos^2 \theta \, \mathrm{d} \theta = a^4 \int \frac{1 - \cos 2 \theta}{2} \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} \, \mathrm{d} \theta \\ & = \frac{a^4}{4} \int \left( 1 - \cos^2 2 \theta \right) \, \mathrm{d} \theta \\ & = \frac{a^4}{4} \int \, \mathrm{d} \theta - \frac{a^4}{4} \int \cos^2 2 \theta \, \mathrm{d} \theta = \frac{a^4}{4} \theta - \frac{a^4}{4} \int \frac{1 + \cos 4 \theta}{2} \, \mathrm{d} \theta \\ &= \frac{a^4}{4} \theta - \frac{a^4}{8} \int \left( 1 + \cos 4 \theta \right) \, \mathrm{d} \theta = \frac{a^4}{4} \theta - \frac{a^4}{8} \theta - \frac{a^4}{8} \int \cos 4 \theta \, \mathrm{d} \theta \\ & = \frac{a^4}{8} \theta - \frac{a^4}{8} \frac{\sin 4 \theta}{4} = \frac{a^4}{8} \theta - \frac{a^4}{32} \sin 4\theta \\ &=\frac{a^4}{8} \theta - \frac{a^4}{32} 2 \sin 2\theta \cos 2 \theta \\ & = \frac{a^4}{8} \theta - \frac{a^4}{16} 2 \sin \theta \cos \theta \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right) \\ & = \frac{a^4}{8} \theta - \frac{a^4}{8} \sin \theta \cos^3 \theta + \frac{a^4}{8} \sin^3 \theta \cos \theta \end{aligned}}$

Όμως $\theta = \arcsin \frac{x}{a}$ και $\displaystyle{\cos \theta = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}}$ . Βάζοντας τα όλα μαζί παίρνουμε τελική απάντηση:

$\displaystyle{\int x^2 \sqrt{a^2-x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{a^4}{8} \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x \left( a^2 - x^2 \right)^{3/2}}{8} + \frac{x^3 \sqrt{a^2-x^2}}{8}}$

#409

Άσκηση 137

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int _ {{\color{red} -1}}^{{\color{red} 1}} \dfrac {x^2}{e^x+1} \, dx$

Εννοείται ότι η άσκηση απευθύνεται μόνο σε άτομα που είναι διατεθειμένα να εργαστούν αυτοδύναμα, με χαρτί και μολύβι.

Edit: Πρόσθεσα τα άκρα της ολοκλήρωσης. Βλέπε τα δύο επόμενα ποστ.

.

Tolaso J Kos · #410

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 12:46 am
Άσκηση 137

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {x^2}{e^x+1} \, dx$

Εννοείται ότι η άσκηση απευθύνεται μόνο σε άτομα που είναι διατεθημένα να εργαστούν αυτοδύναμα, με χαρτί και μολύβι.

Αυτό όσο και να το παλέψουμε χωρίς πολυλογαρίθμους τάξης τουλάχιστον 2, δε βγαίνει. Μιχάλη, αν βάλεις άκρα π.χ από

έως

, βγαίνει με την αντικατάσταση u=-x

.

#411

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 1:30 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 12:46 am
Άσκηση 137

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac {x^2}{e^x+1} \, dx$

Εννοείται ότι η άσκηση απευθύνεται μόνο σε άτομα που είναι διατεθημένα να εργαστούν αυτοδύναμα, με χαρτί και μολύβι.

Αυτό όσο και να το παλέψουμε χωρίς πολυλογαρίθμους τάξης τουλάχιστον 2, δε βγαίνει. Μιχάλη, αν βάλεις άκρα π.χ από έως , βγαίνει με την αντικατάσταση .

Σωστά. Ας δούμε λοιπόν το $\displaystyle{\int_{-1}^1 \dfrac {x^2}{e^x+1} \, dx$

Tolaso J Kos · #412

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 2:53 am

Σωστά. Ας δούμε λοιπόν το $\displaystyle{\int_{-1}^1 \dfrac {x^2}{e^x+1} \, dx$

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{e^x+1} \, \mathrm{d}x & \overset{u=-x}{=\! =\! =\! =\!} \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{e^{-x} + 1} \, \mathrm{d}x \\ & = \int_{-1}^{1} \frac{x^2 e^x}{e^x+1} \, \mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{2} \left( \int_{-1}^{1} \frac{x^2 }{e^x+1} \, \mathrm{d}x + \int_{-1}^{1} \frac{x^2 e^x}{e^x+1}\, \mathrm{d}x \right) \\ & = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{x^2 + x^2 e^x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{x^2 \left( e^x + 1 \right)}{e^x+1} \, \mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 \, \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \end{aligned}}$

panosgl2006 · #413

Άσκηση 138
Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos x) dx$

Σημείωση:Πρόκειται για ένα αρκετά γνωστό ολοκλήρωμα και δεν ξέρω αν έχει ξανααναφερθεί εδώ.

#414

panosgl2006 έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 12:12 pm
Άσκηση 138
Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos x) dx$

Πάνο, δώσε σε παρακαλώ αρίθμηση στην Άσκηση. Είναι η 138

.

Θα χρησιμοποιήσω τα $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos x) dx= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) dx$ (αλλαγή μεταβλητής $x\to \frac {\pi}{x}-x$ )

Επίσης (απλό από συμμετρία) $\int_0^{\pi} \ln (\sin x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^ {\pi } \ln (\sin x) dx = 2I$

'Αρα

$\displaystyle{2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos x) dx+ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos x \sin x) dx= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left (\frac {1}{2} \sin 2x \right ) dx=}$

$\displaystyle{= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \frac {1}{2} dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin 2x) dx = - \frac {\pi}{2} \ln 2 + \frac {1}{2} \int_0^{\pi} \ln (\sin y) dy= - \frac {\pi}{2} \ln 2 +I}$

Άρα $\boxed {I= - \frac {\pi}{2} \ln 2 }$

Dimessi · #415

Ας τη σφίξουμε λίγο. Άσκηση 139 Να υπολογίσετε το $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x\ln \left( \tan x \right)dx$
Υπόδειξη: Με πραγματική ανάλυση. Με μιγαδική είναι πιο εύκολο βέβαια.
Δύο λόγια για την 137
Από την $\displaystyle \frac{1}{e^{x}+1}=\sum_{k=1}^{\infty }\left( -1 \right)^{k+1}e^{-kx}$ που μπορεί να αποδειχθεί και με λυκειακά μέσα γιατί το
$\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left( -1 \right)^{k+1}e^{-kx}=e^{-x}-e^{-2x}+e^{-3x}-e^{-4x}+...+\left( -1 \right)^{n+1}e^{-nx}$ είναι το άθροισμα των πρώτων n όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο $e^{-x}$ και λόγο $-e^{-x}$ οπότε είναι $\displaystyle \frac{\left( -e^{-x} \right)^{n}-1}{-e^{-x}-1}=\frac{\left( -e^{-x} \right)^{n-1}+e^{x}}{1+e^{x}}\to ^{n\to \infty }\frac{1}{e^{x}+1}$
Το τελευταίο ξεφεύγει από το σχολείο.
Πάμε στο $\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left( -1 \right)^{k+1}\int_{-1}^{1}x^{2}e^{-kx}dx$
Το $\displaystyle \int_{-1}^{1}x^{2}e^{-kx}dx=-\frac{1}{k}\int_{-1}^{1}x^{2}\left( e^{-kx} \right){'}dx=-\frac{1}{k}\left( e^{-k}-e^{k}+\frac{2}{k}\int_{-1}^{1}x\left( e^{-kx} \right)'dx \right)$
Το τελευταίο ολοκλήωρωμα μέσα στην παρένθεση είναι απλή παραγοντική και τελικά καταλήγουμε σε γνωστό απειροάθροισμα που είναι 1/3

Υ.Γ Νικόλα tsik για εσένα είναι η άσκηση 139 ρε μάγκα.

#416

Dimessi έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 6:41 pm
Άσκηση 139 Να υπολογίσετε το $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x\ln \left( \tan x \right)dx$

Δημήτρη, είσαι σίγουρος ότι κάνει για τον εδώ φάκελο; Βγάζω ότι το ολοκλήρωμα ισούται με $\dfrac {7}{8} \zeta (3)$ , οπότε εκτός φακέλου.

Αντιγράφω από την πρώτη σελίδα τους στόχους του παρόντος θρεντ:

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 8:03 am
Ανοίγω ένα θρεντ με ασκήσεις στα ολοκληρώματα, κατάλληλα για καλούς μαθητές Γ Λυκείου.

Η ιδέα είναι τα ολοκληρώματα να μην είναι ρουτίνας αλλά να μην φτάνουμε στο άλλο άκρο των
ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται σε διαγωνισμούς για φοιτητές.

Πρέπει να είναι προσιτά με γνώσεις Λυκείου, τουλάχιστον όπως ήταν η ύλη λίγα χρόνια νωρίτερα πριν
καταργηθούν όσα καταργήθηκαν (τα οποία έπαψα να παρακολουθώ στις λεπτομέρειες γιατί δεν βγάζω άκρη. Και δεν τα κατανοώ.)

Απαγορεύονται ασκήσεις που απαιτούν συναρτήσεις $\Gamma$ , δυναμοσειρές και λοιπά.

Dimessi · #417

Τόσο είναι. Για τον Νικόλα το τσακάλι το έβαλα.

#418

Dimessi έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 7:30 pm
Τόσο είναι. Για τον Νικόλα το τσακάλι το έβαλα.

Καλοσύνη σου, αλλά δεν πρέπει να αποπροσανατολίζουμε τους ανυποψίαστους μαθητές μας.

Αν κάποιος μαθητής μας επιχειρούσε να βρει την τιμή του εν λόγω ολοκληρώματος, θα απογοητευόταν πόσο μάλλον όταν η αρχή του θρεντ του επιβεβαιώνει ότι τα εδώ ολοκληρώματα είναι προσιτά.

Dimessi · #419

Σωστα. Βέβαια και στα υπόλοιπα θέλουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις αρκετά για να λυθούν.
Όντως είναι πιο προσιτά. Τώρα τα είδα όλα και είναι για σχολείο όντως. Εσείς με πραγματική ανάλυση το πήγατε; Ρωτάω γιατί η λύση με μιγαδική που έχω σκεφτεί κάνει μπαμ.

Tolaso J Kos · #420

Dimessi έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 6:41 pm
Ας τη σφίξουμε λίγο. Άσκηση 139 Να υπολογίσετε το $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x\ln \left( \tan x \right)dx$

Ούτως ή άλλως αυτή η άσκηση είναι εκτός φακέλου. Οπότε μπορώ να δώσω μία λύση με σειρές. Θα παρακαλούσα η άσκηση αυτή να μετακινηθεί στο ΑΕΙ > ΑΝΑΛΥΣΗ. Έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} x \ln \tan x \, \mathrm{d}x & = \int_{0}^{\pi/2} x \left( \ln \sin x - \ln \cos x \right) \, \mathrm{d}x \\ & = \int_{0}^{\pi/2} x \ln \sin x \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{\pi}{2} -x \right) \ln \sin x \, \mathrm{d}x \\ & = -\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi/2} \ln \sin x \, \mathrm{d}x + 2 \int_{0}^{\pi/2} x \ln \sin x \, \mathrm{d}x \\ & = \frac{\pi^2 \ln 2}{4} + 2 \int_{0}^{\pi/2} x \left(- \ln 2 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2nx}{n} \right) \, \mathrm{d}x \\ & = \frac{\pi^2 \ln 2}{4} - 2 \ln 2 \int_{0}^{\pi/2} x \, \mathrm{d}x - 2 \int_{0}^{\pi/2} x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2nx}{n} \, \mathrm{d}x \\ & = \cancel{\frac{\pi^2 \ln 2}{4} - \frac{\pi^2 \ln 2}{4}} - 2 \int_{0}^{\pi/2} x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2nx}{n} \, \mathrm{d}x \\ & = - 2 \int_{0}^{\pi/2} x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2nx}{n} \, \mathrm{d}x = -2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{\pi/2} x \cos 2n x \, \mathrm{d}x \\ & = -2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n - 1}{4n^3} = \frac{3 \zeta(3)}{8} + \frac{\zeta(3)}{2} = \frac{7 \zeta(3)}{8} \end{aligned}}$

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση