Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#1

Ανοίγω ένα θρεντ με ασκήσεις στα ολοκληρώματα, κατάλληλα για καλούς μαθητές Γ Λυκείου.

Η ιδέα είναι τα ολοκληρώματα να μην είναι ρουτίνας αλλά να μην φτάνουμε στο άλλο άκρο των
ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται σε διαγωνισμούς για φοιτητές.

Πρέπει να είναι προσιτά με γνώσεις Λυκείου, τουλάχιστον όπως ήταν η ύλη λίγα χρόνια νωρίτερα πριν
καταργηθούν όσα καταργήθηκαν (τα οποία έπαψα να παρακολουθώ στις λεπτομέρειες γιατί δεν βγάζω άκρη. Και δεν τα κατανοώ.)

Απαγορεύονται ασκήσεις που απαιτούν συναρτήσεις $\Gamma$ , δυναμοσειρές και λοιπά.

#2

Άσκηση 1

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {x^n}{e^x+1+x+\dfrac {x^2}{2!} +...+ \dfrac {x^n}{n!} }\, dx}$

#3

Αν $\displaystyle{f(x)=e^x+1+x+x^2/2!+...+x^n/n!\Rightarrow f(x)-f'(x)=x^n/n!}$
Tότε
Αν $\displaystyle{I}$ το ζητούμενο ολοκλήρωμα
$\displaystyle{I=n!\int\frac{f(x)-f'(x)}{f(x)}dx=n!x-n!lnf(x)+n!c,x>0}$
(πρόσθεσα το χ>0 εφ όσον πρόκειται για μαθητές)

#4

Άσκηση 2

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {x^n-n!e^x}{xe^x+1+x+\dfrac {x^2}{2!} +...+ \dfrac {x^n}{n!} }\, dx}$ όπου x>0

.

Είναι στο ίδιο μήκος κύματος με την προηγούμενη, αλλά λίγο δυσκολότερη.

#5

$\displaystyle{f(x)=xe^x+1+x+x^2/2!+...+x^n/n!}$ τότε $\displaystyle{f'(x)=e^x+xe^x+1+x+...+x^{n-1}/(n-1)!=e^x+f(x)-x^n/n!}$
αρα $\displaystyle{ I=1/n!\int \frac{f(x)-f'(x)}{f(x)}dx=x/n!-lnf(x)/n!+c/n!}$

#6

ακομη μια
Να δείξετε ότι
$\displaystyle{\int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt}=n!e^{-x}(e^x-1-x-x^2/2!-...-x^n/n!)}$

#7

R BORIS έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 6:04 pm
ακομη μια
Να δείξετε ότι
$\displaystyle{\int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt}=n!e^{-x}(e^x-1-x-x^2/2!-...-x^n/n!)}$

Με ολοκλήρωση κατά μέρη έχουμε

$\displaystyle{ I_n= \int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt} = \left [ -e^{-t}t^n \right ]_0^x+n\int_{0}^{x}{e^{-t}t^{n-1}dt = -e^{-x}x^n+ nI_{n-1}}$

Μετά είναι απλό με χρήση της αναδρομής.

#8

Άσκηση 4

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {dx}{x(1+x^a)} }}$ , όπου a>1

και

Είναι σχετικά απλή.

mick7 · #9

$\displaystyle \int \frac{x^a+1-x^a}{x(1+x^a)}dx=\int (\frac{1}{x}-\frac{x^{a-1}}{1+x^a})dx=logx-\frac{log(1+x^a)}{a}+c$

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 7:24 pm
Άσκηση 4

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {dx}{x(1+x^a)} }}$ , όπου και

Είναι σχετικά απλή.

#10

Άσκηση 5

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {\sin x + \cos x}{e^{-x} + \sin x} \, dx}$

Είναι αρκετά απλή. Μια δυο γραμμές.

mick7 · #11

$\displaystyle \int \frac{(e^xsinx+1)'}{1+e^xsinx}dx=log(1+e^xsinx)+c$

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:11 pm
Άσκηση 5

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {\sin x + \cos x}{e^{-x} + \sin x} \, dx}$

Είναι αρκετά απλή. Μια δυο γραμμές.

#12

Άσκηση 6

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x} \, dx}}$

Αρκετά πονηρή. Αν δεν την δεις σωστά, μπορεί να σε παιδέψει.

nikos_el · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:49 pm
Άσκηση 6

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x} \, dx}}$

Αρκετά πονηρή. Αν δεν την δεις σωστά, μπορεί να σε παιδέψει.

$\displaystyle \mathcal{I}=\int \dfrac{e^x-\cos x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx=\int \dfrac{\left(e^x-\cos x-\sin x\right)'-\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx=$ $\displaystyle =\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|-\int \dfrac{\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx$

$\displaystyle \mathcal{I}=\int \dfrac{e^x-\cos x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx=\int \dfrac{\left(e^x-\cos x-\sin x\right)+\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx=x+\int \dfrac{\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx$

Προσθέτοντας κατά μέλη: $\displaystyle 2\mathcal{I}=x+\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c\Leftrightarrow \int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x}\, dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c$

#14

R BORIS έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 6:04 pm
ακομη μια
Να δείξετε ότι
$\displaystyle{\int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt}=n!e^{-x}(e^x-1-x-x^2/2!-...-x^n/n!)}$

θέλουμε $\displaystyle{F(x)=G(x)}$
είναι πολυ εύκολο να δείξουμε $\displaystyle{F'(x)=G'(x),F(0)=G(0)}$
που αποδεικνύει το ζητούμενο

#15

nikos_el έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2019 1:09 am
Προσθέτοντας κατά μέλη: $\displaystyle 2\mathcal{I}=x+\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c\Leftrightarrow \int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x}\, dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c$

Για χάρη των μαθητών ας δούμε το παραπάνω σε ένα γενικότερο πλαίσιο που δικαιολογεί "πώς σκεφτήκαμε". Πρόκειται για μία ωραία τεχνική που εφαρμόζεται σε αρκετές περιπτώσεις και καλό είναι να την έχει υπόψη του κανείς.

Όταν έχουμε ολοκληρώματα της μορφής $\displaystyle{\int \dfrac {f(x)}{g(x)}\,dx}$ , δοκιμάζουμε αν ο αριθμητής γράφεται στην μορφή

$\displaystyle{f(x)=Ag(x)+Bg'(x)}$ για σταθερές A,B

.

Εδώ

$\displaystyle{e^x- \cos x = A(e^x- \cos x - \sin x) +B(e^x+ \sin x - \cos x} = }$
$\displaystyle{\,=(A+B) e^x -(A+B) \cos x +(B-A) \sin x}$ .

Συγκρίνοντας συντελεστές έχουμε $\displaystyle{A+B=1, \, B-A=0}$ , οπότε A=B=1/2

. Με άλλα λόγια

$\displaystyle{ \displaystyle{\int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x} \, dx = \int \dfrac { \frac {1}{2} (e^x- \cos x - \sin x) +\frac {1}{2}(e^x+ \sin x - \cos x) }{e^x- \cos x - \sin x} \, dx}} =}$

$\displaystyle{ = \int \dfrac { \frac {1}{2} g(x) +\frac {1}{2}g'(x) } {g(x)} \, dx}$

που δίνει αμέσως την παραπάνω απάντηση.

#16

Άσκηση 7

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{-1}^1 x^{2n+1} \ln (1+e^x) \, dx}}$ , όπου

φυσικός.

Αρκετά απλή.

Tolaso J Kos · #17

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2019 6:55 pm
Άσκηση 7

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{-1}^1 x^{2n+1} \ln (1+e^x) \, dx}}$ , όπου φυσικός.

Αρκετά απλή.

Έστω $\mathcal{J}$ το ολοκλήρωμα. Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J}& =\int_{-1}^{1} x^{2n+1}\ln \left ( e^x+1 \right ) \, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\overset{u=-x}{=\! =\! =\!} -\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \ln \left ( e^{-x}+1 \right ) \, \mathrm{d}x \\ &=-\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \ln \left ( \frac{1}{e^x}+1 \right ) \,\mathrm{d}x \\ &= -\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \ln \left ( \frac{e^x+1}{e^x} \right ) \, \mathrm{d}x \\ &=-\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \left ( \ln \left ( e^x+1 \right )-\ln e^x \right ) \, \mathrm{d}x \\ &= - \int_{-1}^{1} x^{2n+1} \ln \left ( e^x+1 \right ) + \int_{-1}^{1} x^{2n+2} \, \mathrm{d}x\\ &= -\mathcal{J} + \frac{2}{2n+3} \end{aligned}}$ Οπότε

$\displaystyle{2\mathcal{J}=\frac{2}{2n+3}\Leftrightarrow \boxed{\mathbf{\mathcal{J} = \frac{1}{2n+3}}}}$
Σημείωση: Έχω πλέον την εντύπωση ότι οι μαθητές σνομπάρουν την αντικατάσταση $u=\alpha +\beta-x$ και δε ξέρω το γιατί;

#18

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2019 7:19 pm
Σημείωση: Έχω πλέον την εντύπωση ότι οι μαθητές σνομπάρουν την αντικατάσταση $u=\alpha +\beta-x$ και δε ξέρω το γιατί;

Ας δούμε λοιπόν και άλλη μία με αυτό το τέχνασμα.

Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{\pi / 3}^{2\pi /3 } \dfrac {x}{\sin x}\, dx}}$ .

Αρκετά απλή.

Tolaso J Kos · #19

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2019 8:16 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2019 7:19 pm
Σημείωση: Έχω πλέον την εντύπωση ότι οι μαθητές σνομπάρουν την αντικατάσταση $u=\alpha +\beta-x$ και δε ξέρω το γιατί;
Ας δούμε λοιπόν και άλλη μία με αυτό το τέχνασμα.

Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{\pi / 3}^{2\pi /3 } \dfrac {x}{\sin x}\, dx}}$ .

Αρκετά απλή.

Έστω $\mathcal{J}$ το ολοκλήρωμα. Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} &= \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{x}{\sin x} \, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{u=\pi/3+2\pi/3-x}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!} \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\pi-x}{\sin \left ( \pi-x \right )}\, \mathrm{d}x \\ &=\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\pi-x}{\sin x}\, \mathrm{d}x \\ &=\pi \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} -\mathcal{J} \\ &= \pi \ln 3 - \mathcal{J}\\ &\implies \boxed{\mathbf{\mathcal{J} = \frac{\pi \ln 3}{2}}} \end{aligned}}$

διότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} &= \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\sin x}{\sin^2 x}\, \mathrm{d}x \\ &=\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\!\overset{u=\cos x}{=\!=\!=\!=\!=\!} \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d}u}{1-u^2} \\ &=\frac{1}{2}\int_{-1/2}^{1/2}\left ( \frac{1}{u+1}-\frac{1}{u-1} \right ) \, \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{2} \left [ \ln \left | u+1 \right | - \ln \left | u-1 \right | \right ]_{-1/2}^{1/2}\\ &=\frac{\ln 9}{2}\\ &= \ln \sqrt{9}\\ &= \ln 3 \end{aligned}}$

#20

Συμπλήρωμα της προηγούμενης:

Άσκηση 8β

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{\pi / 3}^{2\pi /3 } \dfrac {\{x\}}{\sin x}\, dx}}$ .

Εδώ $\{x\}$ είναι το κλασματικό μέρος του

. Επιτρέπεται να χρησιμοποιήσετε αυτά που βρήκε ο Τόλης στο αμέσως προηγούμενο ποστ.

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση