Διαφορά αθροισμάτων.png Σημείο $S$ κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ αλλά δεν συμπίπτει με τα $A,B $. Η ευθεία

η οποία διέρχεται από το $A$ και από το μέσο $M$ της $SB$ , τέμνει το τόξο στο σημείο $T$ .

α) Δείξτε ότι : $AS+SB>AT+TB$ .

β)...

Έστω τρίγωνο $ABC$ και $I,I_{A},I_{B},I_{C}$ το έκκεντρο και τα παράκεντρά του.
Ας είναι $I_{A}',I_{B}',I_{C}'$ τα συμμετρικά των παρακέντρων ως προς τις $BC,AC,AB$
Νδο:
1)Οι $AI_{A}',B_I_{B}',CI_{C}'$ συντρέχουν σε σημείο $X$.
2)Ισχύει πως...

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:Z^{+} \rightarrow Z^{+}$ ,ώστε $xf(x)+f(y)|yf(x)^2+f(y)^2$ για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων $(x,y)$.

Χαίρετε!Εδώ και 3 μέρες προσπαθώ να λύσω μια άσκηση . Η άσκηση είναι:

Να βρείτε όλους τους φυσικούς $a,b$ ώστε ο αριθμός

$m=(a^{2}-2^{b})(2^{a}-b^{2})$

να είναι τέλειο τετράγωνο.

Υ.Γ.:Εγώ έχω βρει αρκετές λύσεις αλλά η λύση μου είναι...

Άσκηση 1: Έστω $A$ πίνακας τέτοιος ώστε $A^2 = \mathbb{I}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{2e^A = \left ( e + \frac{1}{e} \right ) \mathbb{I} + \left ( e - \frac{1}{e} \right ) A}$

Άσκηση 2: Έστω $A$ πίνακας τέτοιος ώστε $A^2 = \mathbb{O}$....

Στο σχήμα βλέπουμε ένα κανονικό εξάγωνο πλευράς $1$ και ένα ημικύκλιο. Αν $A,B$ σημεία του σχήματος να βρεθεί το $\max AB.$

Να δοθεί παράδειγμα πίνακα $A$ ο οποίος δεν είναι κανονικός αλλά ο $e^A$ είναι κανονικός.

Δεν έχω λύση !

Παράλληλα.PNG

Έστω τρίγωνο $ABC$ ,το $I_A$ παράκεντρο και $I_1,I_2$ τα συμμετρικά αυτού ως προς τις ευθείες $AB,AC$ αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι :
α) Η ευθεία $I_1I_2$ εφάπτεται του παραγεγραμμένου κύκλου αν και μόνο αν $\angle A=60^{\circ}$.

β)Τα...

Χαίρεται!Ειμα νέο μέλος του :logo: (μαθητής Β' Γυμνασίου)και αυτές τις μέρες μελετάω διοφαντικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού,με δύο αγνώστους (μορφής :$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+j=0$ ,όπου $a,x,b,y,c,d,e,j \epsilon\mathbb{Z}$, με $ac\neq 0$ και...

Νεότερα για την Αρμονική Γεωμετρία
ΕΔΩ

Νίκος Κυριαζής

Ο Πέτρος σχεδίασε στο επίπεδο δυο τρίγωνα, το $ABC$ και $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime$. Είπε στον Κώστα: «Στο τρίγωνο $ABC$ ικανοποιείται η εξίσωση:

$AB=mAC+nBC$.

Ποια γωνία σε αυτό είναι μικρότερη;» «Και τι είναι τα $m$ και $n$;», ρώτησε ο...

Μια συλλογή προβλημάτων Μαθηματικών των Alexandre Borovik και Tony Gardiner με λύσεις και σημειώσεις.
Ας προσεχτει και απο τα παιδιά που (θα) συμμετέχουν και σε διαγωνισμούς.

Όσοι ενδιαφερονται για τα στοιχεία του Ευκλείδη ας ρίξουν μια ματιά σε αυτήν έκδοση.

Δεν ήξερα που να το τοποθετήσω και το έβαλα σε αυτό το φάκελο.
Θα ήθελα να ρωτήσω αν γνωρίζετε κάποιο άρθρο ή βιβλίο (θα με ενδιέφερε περισσότερο κάτι διαδικτυακό) το οποίο να αναλύει την τεχνική χρήσης συναρτήσεων για την επίλυση προβλημάτων...

Αποκαλούμε έναν πίνακα $n \times n$ Τελβκολ αν μπορούμε να τοποθετήσουμε κάθε έναν από τους ακέραιους $\{1,2,...,n^2\}$ σε ένα ακριβώς κελι του πίνακα ώστε κάθε ζεύγος διαδοχικών να βρίσκεται σε $2$ γειτονικά κελιά και το $n$ να μην διαιρεί καμία...

Ένα άρθρο στην απεικόνιση των ριζών των πολυωνύμων

Στην γωνία (ορθή) ενός μπάνιου βρίσκεται ένα πλυντήριο τετραγωνικού σχήματος, το οποίο μπορεί να περιστραφεί στο δάπεδο κατά οποιαδήποτε γωνία, γύρο από οποιοδήποτε ποδαράκι του, που είναι τοποθετημένα στις κορυφές του τετραγώνου. Ποιος είναι ο...

Επιλέγουμε ανεξάρτητα και ομοιόμορφα στην τύχη $2019$ σημεία από τον μοναδιαίο δίσκο $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x^2 + y^2 \leqslant 1\}$. Έστω $C$ η κυρτή θήκη των σημείων. Ποια από τις πιθανότητες είναι μεγαλύτερη; Το $C$ να είναι τρίγωνο ή το $C$...

Έστω πραγματικοί αριθμοί $x_1, \ldots, x_n$. Για κάθε υποσύνολο $I$ του $\{1, 2, \ldots, n\}$ ορίζουμε $\displaystyle s(I) = \sum_{i \in I} x_i.$ Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση $I \mapsto s(I)$ παίρνει τουλάχιστον $1.8^n$ διαφορετικές τιμές όταν το $I$...

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσημες

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

για τις οποίες ισχύει

$f(x)=f(\frac{x}{3})+\frac{2}{3}xf'(x)$

για κάθε $x\in \mathbb{R}$

Ορίζουμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \int_{\log x}^{\infty} \frac{t}{e^t-1} \, \mathrm{d}t}$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_0^1 \left ( g\left ( \frac{1}{x} \right ) + \log x \right ) g(x) \, \mathrm{d}x = -\frac{\pi^4}{30}}$

Δεν...

Για τους θετικούς $a\geq b,c$ να αποδειχθεί

$(a+b)^{b}+(a+c)^{c}\geq 2a\sqrt{\dfrac{b^{b}c^{c}}{(a+b)(a+c)}}+4\sqrt{\dfrac{a\cdot b^{b+1}c^{c+1}}{(a+b)(a+c)}}$

και να εξεταστεί αν χρειάζεται η ισότητα.

Δίνεται συνάρτηση $f: \rightarrow R$ με συνεχή παράγωγο και επιπλέον

1. $f(a)f(b)\neq 0$

2. Αν $f(x)=0$ τότε ${f}'(x)\neq 0.$

Με $N$ συμβολίζουμε το πλήθος των ριζών της $f$ και με $\displaystyle N_\varepsilon =\frac{1}{2\varepsilon...

Γεια σας,

αυτή είναι η 1η μου ανάρτηση στο φόρουμ, οπότε ζητώ συγγνώμη εάν αυτή δεν ακολουθεί πλήρως τους κανόνες του φόρουμ.

Αντιμετωπίζω το παρακάτω πρόβλημα:

Έστω $p$ η πιθανότητα να κάνει μια ημέρα τον ίδιο καιρό με τη χθεσινή. Εάν $a$ η...

Διαβιβάζω μήνυμα σχετικό με έρευνα που πραγματοποιείται στον Τομέα Διδακτικής των Μαθηματικών του ΕΚΠΑ προσβλέποντας στην συνδρομή συναδέλφων που διδάσκουν σε σχολεία.

Αγαπητοί συνάδελφοι,

Με το μήνυμα αυτό σας καλούμε να συμπληρώσετε ΑΝΩΝΥΜΑ...