Τμήμα υποτείνουσας.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ακόμη γνωστό ότι : $AS^2+AT^2=65$ . Υπολογίστε το $x(=ST)$ .

GEOMETRIA220-FB2576.png
Στην αναζήτηση σημείου $P$, της βάσης $BC$, τριγώνου $ABC$, ώστε η $AP$ να είναι η Α-συμμετροδιάμεσος του $ABC$,

ανακαλύψαμε ότι το $P$ είναι το μέσον του τμήματος $DM$, όπου $D$ η ορθή προβολή του $A$ στην $BC$ και $M$...

Να βρεθούν όλες οι $f: \mathbb{Z^{+}} \rightarrow \mathbb{Z^{+}}$ ώστε για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων να ισχύει ότι $xf(x)+y|f(x)^2+f(y)$. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και το ορθόκεντρο $H$. Αν η $AH$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο $D$ και $N$ είναι η προβολή του $H$ στην διάμεσο $AM$, να προσδιοριστεί σημείο $E$ πάνω στην $BC$ ώστε $A,N,E,D$ ομοκυκλικά. Για μαθητές...

Να αποδειχθεί ότι...

Απόκλιση.png Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι : $AB=AC=b , BC=a$ . Το τρίγωνο καλείται ωραίο , αν : $\dfrac{6}{5}<\dfrac{b}{a}<\dfrac{9}{5}$

Δύο ευθείες σχηματίζουν τις εντός - εκτός και επί τα αυτά γωνίες $\theta$ και $\phi$ . Ονομάζουμε...

Έστω $n \in \mathbb{N}$. Να υπολογιστεί το άθροισμα:

$\displaystyle{\mathcal{S}(n) = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} \binom{n}{k} \left }$

Ας δειχθεί ότι:

$\displaystyle{n! = \prod_{j=1}^{\infty} \prod_{i=1}^{\infty} \left ( \left \lfloor \frac{n}{ij} \right \rfloor! \right )^{\mu(i)}}$

όπου $\mu$ η συνάρτηση Möbius και $\left \lfloor \cdot \right \rfloor$ το ακέραιο μέρος.

Ασύμμετρος λόγος_ Θεαίτητος.pdf

Έστω $\mathcal{H}_n$ ο $n$ -οστός αρμονικός όρος. Ας υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\Omega = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{\mathcal{H}_n} \sum_{m=1}^{n} \frac{1 \cdot \sqrt{2!} \cdot \sqrt {3!} \cdot \cdots \cdot \sqrt {m!}}{\left (...

Ένα νέο σημαντικό έργο του ΔΗΜΗΤΡΗ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΥ,
το οποίο θα κυκλοφορήσει τον Ιανουάριο 2019.
Ο Δημήτρης Χριστοδούλου αναδεικνύεται στον κατ' εξοχήν συνεχιστή του έργου του Leonhard Euler.

ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ
ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ στη ΔΙΑΛΕΞΗ Σ. ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗ

Η Επιστημονική Ένωση για τη Διδακτική των Μαθηματικών (Επ.Ε.Δι.Μ.),
στα πλαίσια του κύκλου δράσεων για το ακαδημαϊκό έτος 2018–2019
με το γενικό θέμα «Για τη Γεωμετρία σ’ ένα εχθρικό περιβάλλον»,
σας...

Στο συνημμένο υπάρχει το τελικό κείμενο στο οποίο στηρίχθηκε η παρέμβαση μου στο στρογγυλό τραπέζι του 35ου Συνεδρίου της ΕΜΕ.
Φυσικά α) αυτό που τελικά παρουσιάστηκε σε ρέοντα λόγο ήταν κάπως διαφορετικό β) εξέφραζε προσωπικές απόψεις και όχι...

Έστω $S$ το σύνολο όλων των ακολουθιών μήκους $2018$ των οποίων οι όροι ανήκουν στο σύνολο $\{1,2,3,4,5,6,10\}$ και έχουν άθροισμα $3860$. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle |S| \leqslant 2^{3860} \left(\frac{2018}{2048} \right)^{2018}$

Αναρτώ την ημέτερη εργασία που παρουσιάστηκε στο 35ο Συνέδρειο της Ε.Μ.Ε. Τίτλος: Ευκλείδεια κινητικότητα μέσω της γενικής περίπτωσης του θεωρήματος MacLaurin

Καλημέρα.

Επιτρέψτε μου να θέσω και από εδώ υπόψη σας δύο νέες αποδείξεις του Θεωρήματος Morley (το γνωστό διάσημο θεώρημα για την ιδιότητα των τριχοτόμων των γωνιών ενός τριγώνου), που η δεύτερη (συνθετική) προκύπτει από βασική διαπύστωση στην...

Έστω σημεία $A,B,C,D$ στο επίπεδο, ανά τρία μη συνευθειακά. Τα τετράγωνα των μηκών των τμημάτων $AB,AC,AD,BC,BD$ και $CD$ είναι όλα ρητοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι ο λόγος των εμβαδών

$\displaystyle \frac{E(\triangle ABC)}{E(\triangle ABD)}$

είναι...

Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του

$\displaystyle \sum_{i = 1}^{10} \cos(3x_i)$

όπου οι $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ είναι πραγματικοί αριθμοί ώστε

$\displaystyle \sum_{i = 1}^{10} \cos(x_i) = 0.$

Έστω $S_1, S_2, \dots, S_{2^n - 1}$ τα μη κενά υποσύνολα του$\{1, 2, \ldots, n\}$ με κάποια σειρά, και έστω $M$ ο $(2^n - 1) \times (2^n - 1)$ πίνακας του οποίου το $(i, j)$ στοιχείο είναι το

$\displaystyle m_{ij} = \begin{cases} 0 & \text{\gr αν...

Επιλέγουμε αριθμούς $x,y,z$ στο διάστημα $ $ ανεξάρτητα και ομοιόμορφα στην τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα να ισχύει το πιο κάτω;

$\displaystyle |x| + |y| + |z| + |x + y + z| = |x + y| + |y + z| + |z + x|$

Ας υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \prod_{m=1}^{n} \left ( 1- \frac{1}{m} + \frac{5}{4m^2} \right )}$

$\displaystyle{\ell =\frac{\cosh \pi}{\pi}}$

Ας υπολογιστεί το γινόμενο:

$\displaystyle{\Pi = \prod_{n=2}^{\infty} \left ( \left ( \frac{n^2-1}{n^2} \right )^{2(n^2-1)} \cdot \left ( \frac{n+1}{n-1} \right )^n \right )}$

Είκοσι άτομα θα αγωνιστούν σε ένα τουρνουά όπου σε κάθε αγώνα αγωνίζονται δύο άτομα. Μπορούμε επίσης να αριθμήσουμε αυτά τα είκοσι άτομα από το $1$ ως το $20$ με τέτοιο τρόπο ώστε πάντα όταν αγωνίζεται ο $m$ εναντίον του $n$, όπου $m < n$, θα...

Στην ιστοσελίδα του David Delphenich

υπάρχουν μεταφράσεις στα Αγγλικά μερικών πολύ ενδιαφερόντων μαθηματικών κειμένων κυρίως από τα Γερμανικά. Μεταξύ αυτών υπάρχουν τα:
B. L. van der Waerden, Groups of Linear Transformations , Springer, Berlin,...

Οι της Σχολής της Κοπεγχάγης μελετούσαν αρχαίους κλασικούς.

Ο Γκαίτε συνιστούσε αφού κάποιος μελετήσει αρχαίους Έλληνες κλασικούς ακολούθως να μελετήσει ... αρχαίους Έλληνες κλασικούς!!

Εδώ, τώρα, από την θεωρία περνάμε στην πράξη και στην...