Χαιρετώ. Με αφορμή παλαιό θέμα..
24-6-18 Nέο παρ-μμο.PNG
Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=6..AC=7 $ και $BC=11$.

Tο $Z$ κινείται στην πλευρά $BC$ και $I \in AB..H \in AC$ ώστε το $AIZH$ να είναι παραλληλόγραμμο .

Το $P$ είναι η τομή των $BH,CI $ ενώ ο...

Ελαχιστοποίηση ορθογωνίου.png Στις πλευρές $BC$ και $CD$ , ορθογωνίου $ABCD$ , διαστάσεων $a\times b , (a>b)$ , θεωρούμε

σημεία $S,P$ ώστε : $\widehat{ASP}=90^0$ και σχεδιάζουμε το ορθογώνιο $ASPT$ .

Α) Δείξτε ότι αν το $S$ συμπέσει με το $B$ , ή...

Κατασκευή και υπολογισμός.png

1. Κατασκευάσετε το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος.

2. Δικαιολογήσετε το μέτρο της γωνίας $\widehat x$ που προέκυψε .

Έστω η ακολουθία $(\gamma_n)_{n\in{\mathbb{N}}}$ των κλειστών διαφορισίμων καμπυλών με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις

$\overline{\gamma}_n(t)=\big(\cos{t},\,\sin(nt)\big)\,,\; t\in \,,\; n\in{\mathbb{N}}$.
Αν $A_n$ είναι το εμβαδόν του...

Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη σχετικώς πρώτων θετικών ακεραίων $(m,n)$ ώστε η εξίσωση $(x+m)^3 = nx$ να έχει τρεις διακεκριμένες ακέραιες ρίζες.

Δίνεται μη μηδενικό πολυώνυμο $f$ με πραγματικούς συντελεστές. Ορίζουμε ακολουθία πολυωνύμων $f_0,f_1,f_2,\ldots$ αναδρομικά ως $f_0 = f$ και $f_{n+1} = f_n + f_n'$ για $n \geqslant 0$.

Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός $N$ ώστε για κάθε $n \geqslant...

Πληροφορίες για το 2ο Θερινό Σχολείο Μαθηματικών στα Γιαννιτσά, από Τετάρτη 20 Ιουνίου έως Σάββατο 23 Ιουνίου 2018
βλέπε π.χ. σε ένα από τα λινκ

εδώ ή εδώ ή εδώ

Απευθύνεται σε μαθητές που μόλις τέλειωσαν την Γ Γυμνασίου και πάνω αλλά συνιστάται...

Αν $\displaystyle{a,\ b,\ c}$ $\displaystyle{>0}$ , ώστε $\displaystyle{a+b+c=3}$ να δείξετε ότι:
$\displaystyle{\sqrt{\frac 23}\left(\sqrt {a}\ +\sqrt {b}\ + \sqrt {c}\hskip 0.05 in\right)
+\sqrt{a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)\ }\geq\sqrt{6}.}$
Πηγή: (Aops)...

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $f(xf(x) + yf(y)) = xy,$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}^+$.

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ τέτοια ώστε $\displaystyle f(f(x)+y)=f(x)+3x+yf(y)$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}^+$.

Για ποιές τιμές της παραμέτρου $a \geq 1$ η εξίσωση

$\sin \left ( \dfrac{4x}{13} \right ) \cdot \tan x = 0$

έχει ακριβώς έξι διαφορετικές ρίζες στο διάστημα $\left $ ;

Υποδείξτε αυτές τις λύσεις.

Καλησπέρα. Έχει κάποιος εικόνα για τα βιβλία του ΣΚΟΥΤΑΡΗ ΝΙΚΟΛΑΟΥ (βασική άλγεβρα, πραγματική ανάλυση κτλ). Τι εντυπώσεις του δημιούργησαν

Επισυνάπτω τα θέματα των φετινών διαγωνισμών.

Για $p\in \mathbb{R}-\left \{-\frac{2}{i}:i\in \mathbb{N}-\left \{ 0 \right \} \right \}$

$a\in \mathbb{R}$

να εξετασθεί ως προς την σύγκλιση απλή και απόλυτη η σειρά...

Στην παραπομπή θα βρείτε ενημερωτικό για πρόσκληση υποβολής υποψηφιοτήτων στα Μεταπτυχιακά Προγράμματα του Τμήματος Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης, για το ακαδημαϊκό έτος 2018-19.

Προσοχή, καταληκτική ημερομηνία...

Για $n\in \mathbb{N}$ να υπολογισθεί το $\displaystyle{\int\limits_{0}^{+\infty }{\left( \sin \left( nx \right)\exp \left( \frac{{{x}^{2}}}{2} \right)\int\limits_{x}^{+\infty }{\exp \left( -\frac{{{t}^{2}}}{2} \right)dt} \right)dx}}$

Γεια σας !

Είχαμε και παλιότερα ανακινήσει το θέμα των ΙΒ.Έψαχνα μάλιστα τότε για βιβλία σχετικά με αυτή την εξέταση και κάποιος μου είχε στείλει ένα ωραίο αγγλόφωνο , μάλλον αυστραλέζικης σύνθεσης, σε pdf. Δεν το βρίσκω όμως μέσα στα τόσα.

Αν...

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\left( \prod\limits_{k=1}^{n}{\left( {{\left( 2k-1 \right)}^{2}}-{{\alpha }^{2}} \right)\frac{{{z}^{2n+1}}}{\left( 2n+1 \right)!}} \right)}=\frac{\sin \left( \alpha \arcsin z...

Σχόλια όπως πάντα ευπρόσδεκτα.

Φιλικά,
Μάριος

Έχουμε ένα άδειο κουβά και κάθε δευτερόλεπτο είτε προσθέτουμε σε αυτόν μία πέτρα είτε αφαιρούμε από αυτόν μία πέτρα (αν υπάρχει) με κάθε μία από τις επιλογές να έχει πιθανότητα $1/2$. (Σε περίπτωση που ο κουβάς είναι άδειος και πρέπει να αφαιρέσουμε...

Να βρείτε τις μη αρνητικές τιμές που μπορεί να πάρει ο πραγματικός αριθμός $x$, αν ικανοποιεί τις παρακάτω εξισώσεις

$ \Displaystyle{ 6x + 15\sqrt x = 4k + 1,\;\;k \in Z}$

$ \Displaystyle{2x - 13\sqrt x = 4m + 1,\;\;m \in Z}$

Προτείνω εδώ έναν καινούργιο (;) τρόπο προσδιορισμού του κέντρου συμμετρίας έλλειψης ή υπερβολής και, στην περίπτωση έλλειψης, προσδιορισμού των εστιών της.

Αρχίζοντας με μία κωνική τομή $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=1$ παρατηρούμε ότι, για το τυχόν σημείο...

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{\log^2 x - \log^2 y}{x-y} \, \mathrm{d}(x, y) = - \frac{2 \pi^2}{3} - 4 \zeta(3) }$