$\bigstar$ Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $ $ και ισχύει : $f(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}f(0)$ .

Δείξτε ότι υπάρχει $\xi \in $ , τέτοιο ώστε : $f'(\xi)=f(\xi)tan(\pi-\xi)$

Θεωρούμε αριθμούς $a,b,c,d$ τέτοιους ώστε

$\displaystyle
\begin{aligned}
a^3-3ab^2&=16,\\
b^3-3a^2b&=42,\\
c^3-3cd^2&=24,\\
d^3-3c^2d&=38\\
\end{aligned}
$

Να βρεθεί ο λόγος $\left(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\right)^3.$

Επεξεργασία: Για την...

Μπορούμε να γενικεύσουμε τη συνάρτηση $\phi(n)$ του Euler ορίζοντας την παρακάτω συνάρτηση για $k\geq 1$

$\displaystyle{
J_k(n) = n^k\prod_{p}(1-p^{-k}).
}$
Η παραπάνω συνάρτηση λέγεται συνάρτηση του Jordan . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{...

_Νόμος_ των συνημιτόνων.png Τα $AD,BE,CF$ είναι τα ύψη σκαληνού τριγώνου $\displaystyle ABC$ και το $AD$ τέμνει τον περίκυκλο

του τριγώνου και στο σημείο $S$ .Υπολογίστε τα τμήματα $FE , HD$ συναρτήσει των πλευρών

και των συνημιτόνων των γωνιών...

Σε ένα κύκλο επιλέχθηκαν $4$ σημεία και για το καθένα από αυτά υπολογίστηκε το γινόμενο των αποστάσεων από τα υπόλοιπα. Μπορεί άραγε να προέκυψαν οι αριθμοί από το $1$ έως το $4$ (με κάποια σειρά);

1)
Να δειχτεί ότι τα $4$ σημεία στα οποία τέμνονται $2$ ελλείψεις με κάθετους μεταξύ τους άξονες είναι ομοκυκλικά.
β)γενικεύστε

2)Δίνονται $2$ κύκλοι και μια Κωνική που δεν είναι κύκλος,που τέμνονται σε $2$ κοινά για όλους σημεία.
Να δειχτεί ότι τα...

Έστωσαν η επιφάνεια $E$ με παραμετρική παράσταση

$\overline{R}: \times \longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad
\overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c}
u+v\\
2u-\frac{v}{2}\\
u^2+v
\end{array}}\right)\,,$

και η καμπύλη $c$ που είναι η τομή...

Ο Αντώνης Κυριακόπουλος μόλις εξέδωσε ένα καινούριο βιβλίο με ασκήσεις σε διάφορους τομείς των Μαθηματικών. Περιττό να πω κάτι άλλο πλην ότι είναι από τις εκδόσεις Ζανταριδη-Τηλεγραφου (εάν δεν κάνω λάθος...)

Περισσότερα εδώ

και μια κινούμενη αναπαράσταση εδώ πατήστε πάνω στην εικόνα ...

Όλες οι εργασίες του M.C. Escher συγκεντρωμένες :shock:

Βέβαια, για να μάθει πληροφορική από το Δημοτικό πρέπει να μάθει και Μαθηματικά πρώτα.... ;)

Πρέπει να ξέρεις τις διεργασίες που γίνονται και πώς λειτουργούν οι αλγόριθμοι. Αλλιώς δεν μπορείς να θεωρείσαι ολοκληρωμένος άνθρωπος και να είσαι...

Το παρακάτω πρόβλημα, που ο δημιουργός του θεωρεί το δυσκολότερο του, έχει εμφανισθεί σε AOPS και ΦΒ , όπου και παραμένει άλυτο:

Δίδονται στο επίπεδο τα σημεία $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$.

Τα σημεία $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ προκύπτουν...

Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα συνάρτησης. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=1}^\infty\sqrt {\frac{\Gamma(2^n+\frac{1}{2})}{\Gamma(2^n)}} = \frac{8\sqrt{\pi}}{e^2}}$

Υπόδειξη: Να μετατραπεί σε τηλεσκοπικό άθροισμα χρησιμοποιώντας τη...

Καλημέρα
Διαβάζοντας κάποια πράγματα (Ablowitz-Segur, Drazin-Johnson) αντιμετώπισα ένα πρόβλημα που δεν μπορώ να δω πως εν τέλει προκύπτει

Δίνεται $f'''(\xi)+(6f(\xi)-\xi)f'(\xi)-2f(\xi)=0$
τότε με την αντικατάσταση $f(\xi)=g'(\xi)-g^2(\xi)$ η...

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle \ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{\frac{1}{x+1}}^{\frac{1}{x}} \cot t^2 \, \mathrm{d}t$

Προειδοποίηση:Η παρακάτω άσκηση φτιάχτηκε για πλάκα και αποτελεί σύνθεση αποτελεσμάτων παρά δημιουργία οπότε μη χάσει κανείς το χρόνο του άδικα :lol: .(Μπορεί βέβαια να υπάρχει και απλή λύση-δεν το ξέρω).
Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και $l$ η ευθεία...

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της τομής κύβου με επιπέδο εφαπτόμενο στην εγγεγραμμένη στο κύβο σφαίρα, δεν υπαιρβαίνει το ήμισυ του εμβαδού της έδρας του. Στην περίπτωση που η τομή είναι τρίγωνο να αποδείξετε ότι το εμβαδόν επιφανείας του...

Μια πολύ όμορφη και συνοπτική παρουσίαση των βασικών επιτευγμάτων της Αριθμητικής Γεωμετρίας του περασμένου αιώνα

Σχεδόν πρόοδος.png Στις πλευρές $AB,BC,CD,DA$ ενός τετραπλεύρου , θεωρήσαμε σημεία $K,L,M,N$ αντίστοιχα ,

ώστε τα $KM,LN$ να διέρχονται από το σημείο τομής $O$ των διαγωνίων του . Αν οι $KN,LM$

τέμνουν την διαγώνιο $AC$ στα $S,T$ αντίστοιχα και...

Χρόνια πολλά και καλά! Ευτυχισμένο το

$\displaystyle{\sqrt {\frac{\ln 2020^{2020}}{2019} \int_{2019}^{2020} 2020^x \, \mathrm{d}x }}$

Βρείτε τον μικρότερο επταψήφιο αριθμό, ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του 17 και όλα τα ψηφία του είναι διαφορετικά.

Μια έγχρωμη φωτογραφία του Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (1873 –1950) από τον φωτογράφο (νομιζω) Christos Kaplanis που ειδικεύεται σε εγχρωματωσεις (δεν ξέρω αν είναι δόκιμος ο όρος ) παλαιών φωτογραφιών όπως θα δείτε στο μπλογκ που διατηρεί... :shock:...

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται απλοποιημένος χάρτης του βόρειο ανατολικού Αιγαίου. Οι ακτογραμμές είναι ευθύγραμμα τμήματα και τα νησιά κύκλοι διαφορετικών ακτίνων, όλα γνωστών διαστάσεων.

Οι δυο χώρες θέλουν να οριοθετήσουν την θαλάσσια Αποκλειστική...

Αγαπητές και αγαπητοί συνάδελφοι,

χρόνια πολλά και καλά :santalogo:

ακολουθεί η πρόσκληση υποβολής άρθρων για το ειδικό τεύχος με τίτλο: Mathematical Modeling in Education with the Use of Digital Tools του περιοδικού Education Sciences, MDPI....