Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 78 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Απρ 01, 2018 12:18 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 2
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

2 Απαντήσεις

6412 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Απρ 01, 2018 12:18 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από cretanman « Δευ Οκτ 03, 2016 4:14 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 9
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

9 Απαντήσεις

6299 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από cretanman
Δευ Οκτ 03, 2016 4:14 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

22396 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

82589 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

96229 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 18)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Σάβ Ιαν 06, 2018 11:12 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 18
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...

18 Απαντήσεις

156513 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Σάβ Ιαν 06, 2018 11:12 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Ανισότητα (με τριγωνομετρία!)

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ « Τρί Σεπ 11, 2018 2:39 pm
Απαντήσεις: 1
από Datis-Kalali » Σάβ Μαρ 31, 2018 1:58 pm

Ανισότητες

Τριγωνομετρία

Έστω ότι $x,y,z,w$ είναι πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε $cosx+cosy+cosz+cosw=2$
Να δείξετε ότι $\sqrt{\frac{tan^4x+1}{2}}+\sqrt{\frac{tan^4y+1}{2}}+\sqrt{\frac{tan^4z+1}{2}}+\sqrt{\frac{tan^4w+1}{2}}+8 \ge 3(tanx+tany+tanz+tanw)$

1 Απαντήσεις

307 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Σεπ 11, 2018 2:39 pm
Συναρτησιακή εξίσωση

Τελευταία δημοσίευση από min## « Σάβ Σεπ 08, 2018 3:26 pm
Απαντήσεις: 2
από socrates » Κυρ Ιουν 10, 2018 6:25 pm

συναρτησιακή-εξίσωση

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ τέτοια ώστε $\displaystyle f(f(x)+y)=f(x)+3x+yf(y)$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}^+$.

2 Απαντήσεις

297 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Σάβ Σεπ 08, 2018 3:26 pm
Συναρτησιακή εξίσωση

Τελευταία δημοσίευση από min## « Σάβ Σεπ 08, 2018 11:57 am
Απαντήσεις: 2
από socrates » Κυρ Ιουν 10, 2018 9:13 pm

συναρτησιακή-εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $f(xf(x) + yf(y)) = xy,$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}^+$.

2 Απαντήσεις

322 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Σάβ Σεπ 08, 2018 11:57 am
Συναρτησιακή εξίσωση-Περσία 2018

Τελευταία δημοσίευση από min## « Πέμ Σεπ 06, 2018 12:15 pm
Απαντήσεις: 1
από Datis-Kalali » Τετ Σεπ 05, 2018 9:06 pm

Συναρτησιακή-εξίσωση

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^{\ge 0} \to \mathbb{R}^{\ge 0}$ που ικανοποιούν την εξίσωση
$f(x^3+xf(xy))=f(xy)+x^2f(x+y)$για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^{\ge 0}$

1 Απαντήσεις

197 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Πέμ Σεπ 06, 2018 12:15 pm
Μόνο εκεί μηδενίζεται;

Τελευταία δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας « Σάβ Αύγ 25, 2018 1:23 pm
Απαντήσεις: 1
από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Μαρ 19, 2018 4:02 pm

πολυώνυμο

Έστω $P(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)$ όπου $0
Πηγή:...

1 Απαντήσεις

445 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Αύγ 25, 2018 1:23 pm
Ανισότητα - Ιδιοκατασκευή

Τελευταία δημοσίευση από matha « Παρ Αύγ 03, 2018 11:46 pm
Απαντήσεις: 1
από Ορέστης Λιγνός » Παρ Αύγ 03, 2018 10:28 pm

ανισότητα

Αν $A,B,C$ γωνίες οξυγωνίου τριγώνου $ABC$, $\tau$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου, και $r$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, να δείξετε ότι :

$\tan^3A \tan B+\tan ^3B \tan C+\tan^3 C \tan A \geqslant (\dfrac{2\tau r}{\tau^2-25r^2})^2$.

Υ.Γ. Την...

1 Απαντήσεις

220 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Παρ Αύγ 03, 2018 11:46 pm
Ελάχιστη τιμή παράστασης

Τελευταία δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος « Τρί Ιούλ 10, 2018 6:08 pm
Απαντήσεις: 7
από Xriiiiistos » Σάβ Ιούλ 07, 2018 11:23 pm

ελάχιστη-τιμή

Nα βρεθεί η τιμή των θετικών πραγματικών αριθμών $a,b,c,d$ για τους οποίους η παρακάτω παράσταση πέρνει την ελάχιστη τιμή της...

7 Απαντήσεις

584 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος
Τρί Ιούλ 10, 2018 6:08 pm
Συναρτησιακή εξίσωση στους θετικούς ακέραιους

Τελευταία δημοσίευση από dement « Τετ Ιούλ 04, 2018 9:03 am
Απαντήσεις: 1
από Datis-Kalali » Τρί Ιούλ 03, 2018 10:48 am

Συναρτήσεις

Συναρτησιακή-εξίσωση

Έστω ότι Ν είναι το σύνολο θετικών ακεραιων. Να βρείτε όλες τις συαρτήσεις $f:N \rightarrow N$ που είναι ένα προς ένα και ικανοποίουν την σχέση
$f(f(n)) \le \frac{n+f(n)}{2}$
για κάθε $n \in N$

1 Απαντήσεις

298 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από dement
Τετ Ιούλ 04, 2018 9:03 am
Συναρτησιακή εξίσωση - APMO 2016

Τελευταία δημοσίευση από silouan « Τετ Ιουν 27, 2018 11:24 am
Απαντήσεις: 6
από socrates » Παρ Απρ 22, 2016 1:29 am

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $(z+1)f(x+y)=f(yf(z)+x)+f(xf(z)+y)$ για κάθε $x,y,z\in\mathbb{R}^+$.

6 Απαντήσεις

1124 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από silouan
Τετ Ιουν 27, 2018 11:24 am
Πολυώνυμο

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ « Δευ Ιουν 11, 2018 10:03 am
Απαντήσεις: 2
από socrates » Κυρ Ιουν 10, 2018 6:26 pm

πολυώνυμο

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P(x)$ με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε

$\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(z)^3=3P(xyz)$

για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}$ με $x+y+z=0$

2 Απαντήσεις

359 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιουν 11, 2018 10:03 am
Συναρτησιακή εξίσωση

Τελευταία δημοσίευση από JimNt. « Κυρ Ιουν 10, 2018 10:27 pm
Απαντήσεις: 1
από socrates » Κυρ Ιουν 10, 2018 9:13 pm

συναρτησιακή-εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$f(x) \geq 0,$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και

$f(x + g(y)) = f(x) + f(y) + 2yg(x) − f(y − g(y)),$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$

1 Απαντήσεις

234 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από JimNt.
Κυρ Ιουν 10, 2018 10:27 pm
Σύνολο με ιδιότητα

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Τρί Μάιος 29, 2018 5:05 pm
Απαντήσεις: 6
από socrates » Τρί Νοέμ 17, 2015 10:29 pm

Να βρείτε όλα τα σύνολα $A$ θετικών ακεραίων με την ιδιότητα:

για κάθε $a,b\in A, \ a>b$ ο αριθμός $\displaystyle{\frac{ }{a-b}}$ ανήκει στο $A.$

6 Απαντήσεις

1080 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Τρί Μάιος 29, 2018 5:05 pm
Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

Τελευταία δημοσίευση από silouan « Κυρ Απρ 22, 2018 9:12 pm
Απαντήσεις: 3
από silouan » Πέμ Απρ 19, 2018 12:52 pm

Εξίσωση

Πολυώνυμο

Να βρεθούν όλα τα μη σταθερά πολυώνυμα $P(x), Q(x)$ με πραγματικούς συντελεστές που είναι τέτοια ώστε

$\displaystyle{P(x)^{10}+P(x)^9=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}}$

3 Απαντήσεις

383 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από silouan
Κυρ Απρ 22, 2018 9:12 pm
Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

Τελευταία δημοσίευση από gbaloglou « Πέμ Μαρ 01, 2018 3:20 pm
Απαντήσεις: 3
από gbaloglou » Τετ Φεβ 28, 2018 5:01 pm

συνδυαστικό

παράμετρος

άθροισμα

Η συνάρτηση $F_m(a)=\displaystyle\sum_{k=1}^{k=m}\binom{m+k}{2k}a^{k-1}$ έχει ενδιαφέρουσες παραγοντοποιήσεις, για μικρές τιμές της παραμέτρου $m$ τουλάχιστον. Μπορεί κανείς να πει κάτι περισσότερο;

3 Απαντήσεις

370 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από gbaloglou
Πέμ Μαρ 01, 2018 3:20 pm
Ένα άθροισμα!

Τελευταία δημοσίευση από matha « Παρ Φεβ 23, 2018 5:06 pm

από matha » Παρ Φεβ 23, 2018 5:06 pm

άθροισμα

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{f(n)}$ τον πλησιέστερο ακέραιο στον αριθμό $\displaystyle{\sqrt {n}.}$

Να υπολογίσετε το άθροισμα

$\displaystyle{\mathcal{S}=\sum_{k=1}^{1995}\frac{1}{f(k)}.}$

0 Απαντήσεις

350 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Παρ Φεβ 23, 2018 5:06 pm
Ελάχιστη τιμή

Τελευταία δημοσίευση από matha « Παρ Φεβ 23, 2018 4:30 pm
Απαντήσεις: 2
από Datis-Kalali » Παρ Φεβ 23, 2018 3:11 pm

Ανισότητες

Αν $a,b$ και $c$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε $a+b+c \le 3$, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $F=\frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}$

2 Απαντήσεις

293 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Παρ Φεβ 23, 2018 4:30 pm
Ανισότητα

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τρί Φεβ 20, 2018 3:58 pm
Απαντήσεις: 1
από Datis-Kalali » Δευ Φεβ 19, 2018 6:41 pm

Ανισότητες

Αν $a,b$ και $c$ είναι μη-αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε $a+b+c=3$, να δείξετε ότι $\frac{ab+bc+ca}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3} \ge \frac{a^3+b^3+c^3}{36}$

1 Απαντήσεις

370 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τρί Φεβ 20, 2018 3:58 pm
Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Κυρ Φεβ 04, 2018 6:37 pm
Απαντήσεις: 31
από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 24, 2017 12:46 am
1

2
ακέραιο-μέρος

Θα τοποθετήσω εδώ μερικές ασκήσεις με ακέραιο μέρος.

Άσκηση 1 . Για $m$ φυσικό γράφουμε $a=(\sqrt 2+1)^{2m+1}$. Δείξτε για το ακέραιο και το κλασματικό μέρος του $a$ την ταυτότητα

$\displaystyle{ = \frac {1}{ \{a\}}- \{a\}}$

Ας την αφήσουμε...
31 Απαντήσεις

2271 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Κυρ Φεβ 04, 2018 6:37 pm
Mathematics Today (1)

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Σάβ Φεβ 03, 2018 8:07 am
Απαντήσεις: 3
από M.S.Vovos » Δευ Δεκ 25, 2017 6:54 pm

Ανισότητες

Περιοδικό

Έστω $\displaystyle{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k},a_{k+1},\ldots ,a_{n}}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{(k

3 Απαντήσεις

652 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Σάβ Φεβ 03, 2018 8:07 am
Ανισότητα υπό συνθήκη!

Τελευταία δημοσίευση από emouroukos « Πέμ Φεβ 01, 2018 3:05 pm

από emouroukos » Πέμ Φεβ 01, 2018 3:05 pm

συμμετρική

ανισότητα

Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ με $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ ισχύει η ανισότητα:

$\displaystyle \left( {{a^2} - 3a + 3} \right)\left( {{b^2} - 3b + 3} \right)\left( {{c^2}...

0 Απαντήσεις

449 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από emouroukos
Πέμ Φεβ 01, 2018 3:05 pm
Συναρτησιακή

Τελευταία δημοσίευση από emouroukos « Τετ Ιαν 31, 2018 6:07 pm
Απαντήσεις: 4
από JimNt. » Κυρ Ιαν 28, 2018 11:46 pm

συναρτησιακή

σταθερά

Να προσδιοριστούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιούν την σχέση $f(x)=f(cx+1)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ όπου $c$ θετική πραγματική σταθερά μεγαλύτερη της μονάδος. Για μαθητές.

4 Απαντήσεις

707 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από emouroukos
Τετ Ιαν 31, 2018 6:07 pm
Ωραία ανισότητα!

Τελευταία δημοσίευση από matha « Κυρ Ιαν 28, 2018 7:21 pm
Απαντήσεις: 1
από Datis-Kalali » Κυρ Ιαν 28, 2018 12:11 pm

ανισότητα

Αν $x,y,z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι $\frac{x^3+y^3+z^3}{3} \ge xyz+ \frac{3}{4}\vert{(x-y)(y-z)(z-x)\vert$

1 Απαντήσεις

399 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Κυρ Ιαν 28, 2018 7:21 pm
Συναρτησιακή εξίσωση

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Κυρ Δεκ 31, 2017 2:00 pm
Απαντήσεις: 1
από Datis-Kalali » Κυρ Δεκ 31, 2017 10:40 am

Συναρτησιακή-εξίσωση

Έστω ότι $N$ είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:N \rightarrow N$, έτσι ώστε $f(f(n)-n)=2n$ για κάθε θετικό ακέραιο $n$

1 Απαντήσεις

454 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Δεκ 31, 2017 2:00 pm
Τετράγωνα μέσα σε τετράγωνο

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Κυρ Δεκ 31, 2017 12:29 pm
Απαντήσεις: 3
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Δεκ 20, 2017 6:02 pm

κάλυψη-τετράγωνα

τετράγωνα

Εχουμε κάποια τετράγωνα με συνολικό εμβαδό το πολύ $\frac{1}{2}$

Να δειχθεί ότι μπορούμε να τα τοποθετήσουμε μέσα σε

ένα τετράγωνο πλευράς $1$ ώστε να μην επικαλύπτονται τα εσωτερικά τους.

Το $\frac{1}{2}$ είναι το καλύτερο δυνατόν άνω φράγμα.

3 Απαντήσεις

502 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Κυρ Δεκ 31, 2017 12:29 pm
Ταυτότητα με διωνυμικούς συντελεστές!

Τελευταία δημοσίευση από achilleas « Τρί Δεκ 26, 2017 10:47 pm
Απαντήσεις: 5
από matha » Δευ Δεκ 18, 2017 10:19 am

διωνυμνικός

συντελεστής

Ας είναι $\displaystyle{n}$ ένας θετικός ακέραιος. Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\boxed{\rm{\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}^{-1}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{j=1}^{n+1}\frac{2^j}{j}}}}$

5 Απαντήσεις

671 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από achilleas
Τρί Δεκ 26, 2017 10:47 pm

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 78 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση