Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 49 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μαρ 14, 2021 10:02 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 5
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

5 Απαντήσεις

103578 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μαρ 14, 2021 10:02 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από bettyking « Τετ Νοέμ 27, 2024 10:21 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 11
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

11 Απαντήσεις

110250 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από bettyking
Τετ Νοέμ 27, 2024 10:21 am
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

107815 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

167220 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

184745 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 26)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Οκτ 28, 2024 4:13 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 23
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
1

2
Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...
23 Απαντήσεις

339276 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Οκτ 28, 2024 4:13 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Ρητές αποστάσεις από τετράγωνο;

Τελευταία δημοσίευση από paulgai « Πέμ Απρ 24, 2025 8:51 pm
Απαντήσεις: 1
από Al.Koutsouridis » Δευ Απρ 21, 2025 6:51 pm

άρρητος

ρητός

Δίνεται ένα τετράγωνο με κορυφές στα σημεία $(\pm1, \pm1)$. Υπάρχει άραγε στον άξονα των τετμημένων σημείο, οι αποστάσεις του οποίου από όλες τις κορυφές είναι ρητοί αριθμοί;

1 Απαντήσεις

184 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από paulgai
Πέμ Απρ 24, 2025 8:51 pm
Είναι άπειροι;

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Δευ Οκτ 16, 2023 2:37 pm
Απαντήσεις: 3
από J. Robert Oppenheimer » Κυρ Οκτ 15, 2023 3:05 pm

σχετικά-πρώτοι

διοφαντική

διαιρετότητα

Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρα το πλήθος ζεύγη σχετικά πρώτων θετικών ακεραίων αριθμών $(a, b)$ με $a, b > 1$, τέτοια ώστε το $a + b$ να διαιρεί το $a^b + b^a$.

3 Απαντήσεις

1795 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Δευ Οκτ 16, 2023 2:37 pm
Αθροίσματα ανά δύο σύνθετοι αριθμοί: Γενίκευση

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τρί Σεπ 12, 2023 11:49 am
Απαντήσεις: 5
από abfx » Δευ Σεπ 11, 2023 6:50 pm

σύνθετος-αριθμός

Με αφορμή το θέμα εδώ ας δούμε το γενικότερο:

Ποιο είναι το ελάχιστο δυνατό πλήθος στοιχείων που μπορούμε να σβήσουμε από το σύνολο $\{1,2,\dots ,2n\}$, ώστε το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο να είναι σύνθετος αριθμός;

5 Απαντήσεις

1136 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τρί Σεπ 12, 2023 11:49 am
Περίεργη κατασκευή!

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Δευ Μαρ 27, 2023 11:43 pm
Απαντήσεις: 2
από Ορέστης Λιγνός » Δευ Μαρ 27, 2023 10:00 pm

κατασκευή

μέγιστος-κοινός-διαιρέτης

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $a_1 \gcd(a_2,a_3)>\ldots>\gcd(a_{2022},a_{2023})>\gcd(a_{2023},a_1)$.

2 Απαντήσεις

1219 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Δευ Μαρ 27, 2023 11:43 pm
Ποτέ τέλειος κύβος!

Τελευταία δημοσίευση από Batapan « Πέμ Νοέμ 17, 2022 2:40 am
Απαντήσεις: 2
από Batapan » Δευ Νοέμ 07, 2022 4:50 pm

τέλειος-κύβος

θεωρία-αριθμών

Μία άσκηση που κατασκεύασα εμπνευσμένος από το N5 της shortlist της ΙΜΟ 2006

Δείξτε ότι , για οποιονδήποτε ακέραιο $x$, η παράσταση $\frac{x^5+x-2}{x-1}$
δεν ισούται ποτέ με τον κύβο ακέραιου.

2 Απαντήσεις

1413 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Batapan
Πέμ Νοέμ 17, 2022 2:40 am
Τέλειο τετράγωνο

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic « Τετ Οκτ 05, 2022 5:35 pm
Απαντήσεις: 3
από 2nisic » Παρ Αύγ 27, 2021 7:53 pm

Τέλειο-τετράγωνο

Μια άσκηση που κατασκευασα η ιδέα προέρχεται προφανώς από την :$(2^n-1)(3^n-1)=m^2$.

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί $n,m$ τέτοιοι ώστε: $(2^n-1)(2021^n-1)=m^2$

3 Απαντήσεις

1718 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic
Τετ Οκτ 05, 2022 5:35 pm
Δύσκολο πρόβλημα!!

Τελευταία δημοσίευση από llenny « Δευ Ιούλ 05, 2021 12:17 pm
Απαντήσεις: 13
από WLOG » Τρί Ιουν 13, 2017 3:50 am

Θεωρία-Αριθμών

Να αποδείξετε ότι για κάθε $c>0$ υπάρχουν άπειροι αριθμοί $n$ ώστε ο μεγαλύτερος πρώτος διαιρέτης του $n^2 + 1$ να είναι μεγαλύτερος του $cn$.

13 Απαντήσεις

4554 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από llenny
Δευ Ιούλ 05, 2021 12:17 pm
2 Παραγοντικά 1 Δύναμη

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος « Πέμ Μάιος 06, 2021 12:28 am
Απαντήσεις: 2
από DrStrange » Τρί Μάιος 04, 2021 5:41 pm

ακέραιος

θετικός

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $(n,m)$ για τα οποία ισχύει:
$m!+n!=m^n+1$

2 Απαντήσεις

1348 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος
Πέμ Μάιος 06, 2021 12:28 am
Θεωρία Αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic « Παρ Απρ 30, 2021 3:40 pm
Απαντήσεις: 5
από 2nisic » Σάβ Ιαν 16, 2021 11:10 am

Θεωρία-Αριθμών

Να αποδειχθεί πως η εξίσωση:

$\displaystyle{x^{2}+y^{2}=(x+1)^{3}}$

Έχει μοναδικές λύσεις στους φυσικούς την $x=88,y=835$ και την $x=0,y=1$

5 Απαντήσεις

1988 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic
Παρ Απρ 30, 2021 3:40 pm
Hong Kong προκριματικός 1994

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic « Τετ Μαρ 31, 2021 12:22 am
Απαντήσεις: 6
από 2nisic » Σάβ Ιαν 30, 2021 9:03 pm

Θεωρία-αριθμών

Να βρεθούν όλοι οι $x,y,z$ φυσική αριθμοί τέτοιοι ώστε:

$7^{x}+1=3^{y}+5^{z}$

Σημείωση:Δεν έχω λύση(βρήκα)

6 Απαντήσεις

2013 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic
Τετ Μαρ 31, 2021 12:22 am
Θεωρια αριθμων (Poland 1999)

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic « Κυρ Φεβ 07, 2021 8:58 pm
Απαντήσεις: 2
από Datis-Kalali » Παρ Φεβ 10, 2017 8:22 pm

θεωρια-αριθμων

Αν $m,n$ ειναι ακέραιοι αριθμοί, έτσι ώστε $mn \vert m^2+n^2+m$,
Να αποδείξετε ότι $m$ είναι τέλειο τετράγωνο.

2 Απαντήσεις

2356 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic
Κυρ Φεβ 07, 2021 8:58 pm
Απλή!

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic « Σάβ Φεβ 06, 2021 11:45 am
Απαντήσεις: 9
από JimNt. » Πέμ Μαρ 16, 2017 1:58 pm

διοφαντική

διαιρετότητα

$1.$ Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους $a$ για τους οποίους $5^a|7^a+1$
$2.$ Να βρείτε όλoυς τoυς πρώτους $p$ που ικανοποιούν την $a^{(p-1)^a}+11=p^{a+1}$, όπου $a$ o προαναφερθείς θετικός ακέραιος. Για μαθητές

9 Απαντήσεις

3265 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic
Σάβ Φεβ 06, 2021 11:45 am
Θεωρία αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic « Παρ Φεβ 05, 2021 10:42 pm
Απαντήσεις: 2
από 2nisic » Παρ Φεβ 05, 2021 1:38 pm

Θεωρία-αριθμών

Παρουσιάζω μία άσκηση που κατασκεύασα:

Κάνοντας χρήση της ανισότητας $(k-1)k^{k-1}< 2^{(k-1)^{2}}$ για κάθε$k\geq 4$
Να προσδιοριστεί το πλήθος τον θετικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης:

$\sum_{i=1}^{k}x_{i}^{k}=n\prod_{i=1}^{k}x_{i}^{k-1}$...

2 Απαντήσεις

1190 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic
Παρ Φεβ 05, 2021 10:42 pm
Βραζιλιάνικα...

Τελευταία δημοσίευση από miltosk « Κυρ Αύγ 30, 2020 12:08 pm
Απαντήσεις: 10
από M.S.Vovos » Πέμ Αύγ 27, 2020 10:06 pm

θεωρία-αριθμών

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $a,b$ ώστε $3^{a}=2b^{2}+1$.

Φιλικά,
Μάριος

10 Απαντήσεις

2879 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από miltosk
Κυρ Αύγ 30, 2020 12:08 pm
Σχετικά πρώτοι σε ακολουθία

Τελευταία δημοσίευση από DrStrange « Τετ Ιούλ 22, 2020 3:45 pm
Απαντήσεις: 1
από silouan » Τετ Ιούλ 22, 2020 2:27 pm

ακολουθία

σχετικά-πρώτοι

Έστω $a_1\in\mathbb{Z}$. Ορίζουμε αναδρομικά $a_2=a_1^2-a_1-1$, $\dots$ ,$a_{n+1}=a_n^2-a_n-1$. Να αποδειχθεί ότι ο $a_{n+1}$ και ο $2n+1$ είναι σχετικά πρώτοι.

1 Απαντήσεις

1385 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από DrStrange
Τετ Ιούλ 22, 2020 3:45 pm
Διοφαντική εξίσωση!

Τελευταία δημοσίευση από matha « Δευ Απρ 13, 2020 1:44 am
Απαντήσεις: 16
από matha » Κυρ Απρ 05, 2020 8:53 pm

διοφαντική

εξίσωση

Με αφορμή την δεύτερη εξίσωση εδώ , μια παρόμοιου ύφους, αλλά σαφώς δυσκολότερη:

Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση

$\displaystyle{10^x+89=y^2.}$

16 Απαντήσεις

4845 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Δευ Απρ 13, 2020 1:44 am
Διαιρείται με το 7;

Τελευταία δημοσίευση από minageus « Τρί Ιούλ 02, 2019 10:02 pm
Απαντήσεις: 3
από matha » Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:20 pm

διαιρετότητα

διωνυμικός-συντελεστής

Μάλλον καταλληλότερο για Ευκλείδη Β-Γ' Λυκείου:

Να εξετάσετε αν

$\displaystyle{7| \binom{1000}{500}.}$

3 Απαντήσεις

2456 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από minageus
Τρί Ιούλ 02, 2019 10:02 pm
Πεπερασμένο Πλήθος Πρώτων

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Πέμ Ιουν 27, 2019 7:06 pm
Απαντήσεις: 1
από JimNt. » Πέμ Ιουν 27, 2019 4:41 pm

πολυώνυμο

ανοιχτό

Δίνεται μονικό πολυώνυμο δευτέρου βαθμού $P(x)$ με ακέραιους συντελεστές. Να αποδειχτεί (ή να απορριφθεί) ότι αν η $\Delta \neq 0$ τότε το πλήθος των πρώτων $p$ για τους οποίους ισχύει ότι το $P(x)$ είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\mod p$ για κάθε $x$...

1 Απαντήσεις

1898 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Πέμ Ιουν 27, 2019 7:06 pm
Θεωρία αριθμών- Συνδυαστική απο TST Περσία

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τρί Απρ 30, 2019 6:22 pm
Απαντήσεις: 1
από Datis-Kalali » Πέμ Απρ 25, 2019 6:54 pm

Θεωρία-αριθμών

Συνδυαστική

Ο κύριος Α επιλέγει 10 διαφορετικούς θετικούς ακέραιους και δίνει τα ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια και τους μέγιστους κοινούς διαιρέτες ολων των ζεύγων των αριθμών (συνολικά 90 αριθμούς) στον κύριο Β. Μπορεί ο κύριος Β να βρίσκει τους 10 αρχικούς...

1 Απαντήσεις

2099 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τρί Απρ 30, 2019 6:22 pm
Αριθμητική συνάρτηση

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Παρ Φεβ 22, 2019 9:20 pm

από Demetres » Παρ Φεβ 22, 2019 9:20 pm

2019

HMMT

Υπάρχει μοναδική συνάρτηση $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ ώστε $f(1) > 0$ και

$\displaystyle \sum_{d|n} f(d)f(\tfrac{n}{d}) = 1$

για κάθε $n \geqslant 1$. Να υπολογιστεί η τιμή του $f\left(2018^{2019}\right)$.

0 Απαντήσεις

1902 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Παρ Φεβ 22, 2019 9:20 pm
Με 3 αγνώστους

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Δευ Ιαν 07, 2019 3:08 pm
Απαντήσεις: 3
από Xriiiiistos » Κυρ Ιαν 06, 2019 11:18 pm

Ακέραιος

Αν $a,b$ είναι θετικοί ακέραιοι και $p$ πρώτος να λυθεί η εξίσωση

$a^{2p}=a^{2}+b^{2}+p+1$

3 Απαντήσεις

2378 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Δευ Ιαν 07, 2019 3:08 pm
Putnam 2018/B3

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Τετ Δεκ 19, 2018 3:33 pm
Απαντήσεις: 1
από Demetres » Τετ Δεκ 19, 2018 11:14 am

2018

Putnam

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $n < 10^{100}$ ώστε ταυτόχρονα ο $n$ να διαιρεί τον $2^n$, ο $n-1$ να διαιρεί τον $2^n-1$ και ο $n-2$ να διαιρεί τον $2^n - 2$.

1 Απαντήσεις

2053 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τετ Δεκ 19, 2018 3:33 pm
0-1

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Κυρ Δεκ 09, 2018 11:45 pm
Απαντήσεις: 2
από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Δεκ 09, 2018 11:23 pm

ακολουθία

Θεωρούμε το σύνολο $A$ των ακολουθιών $a_1a_2...a_n$ όπου $n=0,2,4...$, $a_i \in \left \{ 0,1 \right \}$ το οποίο κατασκευάζεται

ξεκινώντας από την ακολουθία μήκους $n=0$ σύμφωνα με τους δύο παρακάτω κανόνες.

1. Αν $a\in A$ τότε $0a1 \in A$ και...

2 Απαντήσεις

2103 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 11:45 pm
ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Τελευταία δημοσίευση από silouan « Παρ Ιούλ 06, 2018 10:07 pm
Απαντήσεις: 9
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Παρ Ιουν 22, 2018 1:18 am

τέλειο-τετράγωνο

Να δείξετε ότι αν για κάθε $n\in\mathbb{N}$ o αριθμός $(a^n-1)(b^n-1)$ με $a,b$ θετικούς ακεραίους είναι τέλειο τετράγωνο τότε $a=b$.

9 Απαντήσεις

4605 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από silouan
Παρ Ιούλ 06, 2018 10:07 pm
2 πρώτοι και ένας φυσικός

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Σάβ Ιουν 30, 2018 1:40 pm
Απαντήσεις: 2
από Xriiiiistos » Σάβ Ιουν 30, 2018 11:44 am

ακέραιες-λύσεις

Να βρεθούν οι τριαάδες φυσικών ακέραιων $(r,p,q)$ , με $p,q$ να είναι πρώτοι, ώστε να ισχύ

$\frac{r^{2}-5q^{2}}{p^{2}-1}=2$

2 Απαντήσεις

2022 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Ιουν 30, 2018 1:40 pm

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 49 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση