Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 101 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Σάβ Νοέμ 02, 2019 12:37 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 4
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

4 Απαντήσεις

55186 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Σάβ Νοέμ 02, 2019 12:37 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 10
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

10 Απαντήσεις

57572 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

66682 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

127050 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

142526 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 22)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Τρί Μαρ 03, 2020 12:45 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 21
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
1

2
Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...
21 Απαντήσεις

226041 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Τρί Μαρ 03, 2020 12:45 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Σάβ Ιούλ 18, 2020 4:33 pm
Απαντήσεις: 6
από panagiotis iliopoulos » Παρ Μαρ 09, 2018 3:45 pm

πρόβλημα

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους $x,y$ η εξίσωση $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq}$ όπου $p,q$ πρώτοι.

6 Απαντήσεις

1941 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιούλ 18, 2020 4:33 pm
Διαιρετότητα

Τελευταία δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ « Σάβ Ιούλ 04, 2020 2:38 pm
Απαντήσεις: 2
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιούλ 04, 2020 12:17 am

γινόμενο

διαιρετότητα

θεωρία-αριθμών

Καλησπέρα!

Έστω $\rm a,b,c,n$ θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε $\rm a\mid b^n,b\mid c^n$ και $\rm c\mid a^n$.
Να αποδείξετε ότι $\rm abc\mid (a+b+c)^{n^2+n+1}$

2 Απαντήσεις

488 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιούλ 04, 2020 2:38 pm
Με διαιρέτες

Τελευταία δημοσίευση από socrates « Κυρ Μαρ 29, 2020 12:18 am
Απαντήσεις: 2
από socrates » Πέμ Μαρ 26, 2020 9:42 pm

διαιρέτες

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $n$ που έχουν $16$ θετικούς διαιρέτες $d_1, d_2, . . ., d_{16}$ για τους οποίους ισχύει

$1 = d_1 < d_2 < ... < d_{16} = n, \ \ \ d_6 = 18 \ $ και $ \ d_9 − d_8 = 17.$

2 Απαντήσεις

676 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από socrates
Κυρ Μαρ 29, 2020 12:18 am
Διοφαντική

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Δευ Μαρ 23, 2020 12:16 am
Απαντήσεις: 2
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Κυρ Μαρ 22, 2020 8:52 pm

Εκθετική

ακεραιοι

εξισωση

Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση:

$4^{x}+3^{y}=7^{z}$

,όπου $x,y,z$ θετικοί ακέραιοι.

2 Απαντήσεις

610 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μαρ 23, 2020 12:16 am
Διοφαντική εξίσωση!

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Δευ Φεβ 10, 2020 12:31 am
Απαντήσεις: 1
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Φεβ 09, 2020 10:49 pm

διοφαντική

εκθετική

Να προσδιορίσετε όλους του μη αρνητικούς ακεραίους $a,b,c$ ώστε $7^a\cdot 3^b+16=c^2$

1 Απαντήσεις

552 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Δευ Φεβ 10, 2020 12:31 am
Δεν υπάρχουν ακέραιοι

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis « Σάβ Φεβ 01, 2020 2:17 pm
Απαντήσεις: 1
από Doloros » Σάβ Φεβ 01, 2020 11:34 am

Δεν-υπάρχουν-ακέραιοι

Να δείξετε ότι αν $m\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,n$ είναι ακέραιοι τότε η έκφραση :

$P = {m^5} + 3{m^4}n - 5{m^3}{n^2} - 15{m^2}{n^3} + 4m{n^4} + 12{n^5}$ δεν μπορεί να πάρει την τιμή $33$.

1 Απαντήσεις

2235 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis
Σάβ Φεβ 01, 2020 2:17 pm
Άλλη μια ακέραια

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος « Σάβ Νοέμ 23, 2019 9:25 am
Απαντήσεις: 2
από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Νοέμ 23, 2019 1:33 am

Ακέραιοι

Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακέραιους.

$615 + x^2 = 2^y$

Υ.γ: ελπίζω να μην την έχουμε ξαναδεί γιατί κάτι μου θυμίζει!

2 Απαντήσεις

2733 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος
Σάβ Νοέμ 23, 2019 9:25 am
Αρμονικό άθροισμα

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ « Πέμ Απρ 04, 2019 10:53 am
Απαντήσεις: 2
από gschwindi » Δευ Μαρ 18, 2019 9:38 pm

Αρμονικό

Θεωρία-Αριθμών

άθροισμα

διαιρετότητα

πρώτος

Έστω $ p $ ένας περιττός πρώτος.

Έστω, επίσης, $\frac{a}{b} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{p-1} $, με το κλάσμα $\frac{a}{b}$ ανάγωγο.

Να δείξετε ότι $ p | a $.

2 Απαντήσεις

1120 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Απρ 04, 2019 10:53 am
Απλή και Ωραία

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Κυρ Φεβ 03, 2019 8:00 pm
Απαντήσεις: 1
από JimNt. » Κυρ Φεβ 03, 2019 4:53 pm

διοφαντική

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $(x,y)$ που ικανοποιούν την $xy=\dbinom{x}{y}$

1 Απαντήσεις

1006 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Φεβ 03, 2019 8:00 pm
Τέλειος κύβος

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Τετ Ιαν 09, 2019 2:52 pm
Απαντήσεις: 3
από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 09, 2019 1:35 am

Διοφαντική

τέλειος-κύβος

Έχει λύση στους θετικούς ακεραίους η $3n^2+3n+25=m^3$ ;

Μόλις την παρέλαβα από Ρουμανία από κάποιον που ζητά βοήθεια. Τέτοια μηνύματα παίρνω κάμποσα. Θα έλεγα 3 με 10 κάθε εβδομάδα, συνήθως από γνωστούς, είτε μαθητές που παρακολούθησαν κάποιο...

3 Απαντήσεις

1082 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Τετ Ιαν 09, 2019 2:52 pm
Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas « Δευ Δεκ 31, 2018 1:29 am
Απαντήσεις: 2
από sokpanvas » Παρ Δεκ 28, 2018 5:05 pm

άθροισμα-γινόμενο

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα του αθροίσματος των ψηφίων τους και του γινομένου των ψηφίων τους.
Δηλαδή $\overline{a_1a_2a_3...a_n}=a_1+a_2+...+a_n+a_1a_2...a_n$

2 Απαντήσεις

918 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas
Δευ Δεκ 31, 2018 1:29 am
Περίεργο αποτέλεσμα - S461 από το MR

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος « Κυρ Δεκ 16, 2018 12:51 am
Απαντήσεις: 2
από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Δεκ 15, 2018 11:51 pm

πρώτοι

Επισυνάπτω τη δεύτερη δημοσίευσή μου από το τελευταίο τεύχος του Mathematical Reflections.
Είναι τόσο περίεργο το αποτέλεσμα που ακόμα και τώρα δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό! :roll:

S461.png

2 Απαντήσεις

902 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος
Κυρ Δεκ 16, 2018 12:51 am
Putnam 2018/A1

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος « Τετ Δεκ 05, 2018 3:56 pm
Απαντήσεις: 6
από Demetres » Τρί Δεκ 04, 2018 4:15 pm

2018

Putnam

Το Σαββατοκύριακο που μας πέρασε διεξήχθη ο διαγωνισμός Putnam. Θα βάλω σιγά σιγά τα θέματα. Ξεκινάω από το Α1 που είναι κλασικό και κάνει και για το Γυμνάσιο.

Να βρεθούν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη θετικών ακεραίων $(a,b)$ ώστε

$\displaystyle...

6 Απαντήσεις

1216 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος
Τετ Δεκ 05, 2018 3:56 pm
Διοφαντική με εκθέτη

Τελευταία δημοσίευση από min## « Τρί Νοέμ 20, 2018 4:17 pm
Απαντήσεις: 1
από Κω.Κωνσταντινίδης » Δευ Νοέμ 19, 2018 10:49 pm

Εκθετική

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$7^{x}+x^{4}+47=y^{2}$

1 Απαντήσεις

945 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Τρί Νοέμ 20, 2018 4:17 pm
Δύσκολη?

Τελευταία δημοσίευση από min## « Σάβ Οκτ 06, 2018 6:27 pm
Απαντήσεις: 3
από Κω.Κωνσταντινίδης » Πέμ Σεπ 27, 2018 5:23 pm

Εξίσωση

Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση
$x^{2}+36=y^{5}$

3 Απαντήσεις

1297 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Σάβ Οκτ 06, 2018 6:27 pm
Πρώτος και ένας ακέραιος

Τελευταία δημοσίευση από Xriiiiistos « Δευ Σεπ 10, 2018 6:45 pm
Απαντήσεις: 2
από Xriiiiistos » Σάβ Σεπ 01, 2018 3:35 pm

ακέραιος

Αν $p$ πρώτος και $r$ ακέραιος να λυθεί η αξίσωση

$p^{4}=r^{2}+504$

2 Απαντήσεις

993 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Xriiiiistos
Δευ Σεπ 10, 2018 6:45 pm
Να βρεθεί αριθμός.

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Κυρ Σεπ 09, 2018 6:15 pm
Απαντήσεις: 16
από Soniram89 » Πέμ Σεπ 06, 2018 9:52 pm

Τελευταίο-Ψηφίο

Να βρεθεί θετικός αριθμός που όταν το πρώτο και το τελευταίο ψηφίο του αλλάξουν θέση, ο αριθμός διπλασιάζεται.

Δηλαδή αν έχουμε τον αριθμό AbcdE o ζητούμενος πρέπει να είναι της μορφής EbcdA

16 Απαντήσεις

1674 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Κυρ Σεπ 09, 2018 6:15 pm
Ας βρούμε τον n

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Τρί Σεπ 04, 2018 6:35 pm
Απαντήσεις: 1
από Xriiiiistos » Τρί Σεπ 04, 2018 4:07 pm

modulo

Να βρεθεί ο φυσικός ακέραιος $n$ ώστε για κάθε $a,b,c\in N$ με $c$ περιττο να ισχύει

$34^{a}+1006^{b}\equiv 1973^{c}(mod(n))$

o $311$ είναι πρώτος

1 Απαντήσεις

874 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Τρί Σεπ 04, 2018 6:35 pm
Εκθετική Διοφαντική

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τετ Αύγ 29, 2018 7:19 pm
Απαντήσεις: 5
από Κω.Κωνσταντινίδης » Τετ Αύγ 29, 2018 10:14 am

Διοφαντική

Να λυθεί στους ακέραιους η εξίσωση
$20^{\chi }+13^{\psi }=2013^{\zeta }$

5 Απαντήσεις

1215 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τετ Αύγ 29, 2018 7:19 pm
Ακέραιες λύσεις

Τελευταία δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης « Τετ Αύγ 29, 2018 4:28 pm
Απαντήσεις: 2
από Xriiiiistos » Τετ Αύγ 29, 2018 3:28 pm

ακέραιος

Να βρεθουν οι ακέραιοι $a,b$ που να επαληθεύουν το εξής

$\sqrt{a^{2}+2^{a}-2}=b$

2 Απαντήσεις

913 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης
Τετ Αύγ 29, 2018 4:28 pm
Πρώτος

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τετ Αύγ 29, 2018 1:17 pm
Απαντήσεις: 5
από Xriiiiistos » Τρί Αύγ 28, 2018 9:21 pm

πρώτος

Να βρεθούν όλα τα $a\in \mathbb{N}$ ώστε ο $\sqrt{2a^{2}-13}$ να είναι πρώτος

5 Απαντήσεις

1037 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τετ Αύγ 29, 2018 1:17 pm
Απλή?

Τελευταία δημοσίευση από min## « Κυρ Ιούλ 29, 2018 10:34 pm
Απαντήσεις: 1
από Κω.Κωνσταντινίδης » Κυρ Ιούλ 29, 2018 4:48 pm

Θεωρία-αριθμών

Αν ο $\kappa$ είναι θετικός ακέραιος, να βρείτε τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $\nu$ έτσι ώστε να έχουμε
$3^{\kappa }\mid 2^{\nu }-1$

1 Απαντήσεις

967 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Κυρ Ιούλ 29, 2018 10:34 pm
Απλή(;)

Τελευταία δημοσίευση από min## « Πέμ Ιούλ 12, 2018 6:47 pm
Απαντήσεις: 1
από Chagi » Πέμ Ιούλ 12, 2018 2:48 pm

Θεωρία-Αριθμών

Να λυθεί:

$3^x+7^y=10^z$ όπου $x,y,z \in N$

1 Απαντήσεις

866 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Πέμ Ιούλ 12, 2018 6:47 pm
Μέγιστη διαφορά

Τελευταία δημοσίευση από min## « Δευ Ιούλ 09, 2018 1:16 pm
Απαντήσεις: 3
από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιούλ 08, 2018 8:54 pm

μέγιστο

Έστω ακέραιοι $m \geqslant n$ ώστε $m^3+n^3+1=4mn$. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του $m-n$.

3 Απαντήσεις

1046 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Δευ Ιούλ 09, 2018 1:16 pm
Τέλειο τετράγωνο

Τελευταία δημοσίευση από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ « Πέμ Ιουν 14, 2018 7:29 pm
Απαντήσεις: 4
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm

ΜΚΔ

Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους...

4 Απαντήσεις

1211 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Πέμ Ιουν 14, 2018 7:29 pm

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 101 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση