Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 94 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από matha « Δευ Δεκ 31, 2018 3:15 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 3
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

3 Απαντήσεις

7902 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Δευ Δεκ 31, 2018 3:15 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 10
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

10 Απαντήσεις

7783 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

23426 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

83613 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

97549 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 19 και 20)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Σάβ Οκτ 27, 2018 5:52 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 19
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...

19 Απαντήσεις

158359 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Σάβ Οκτ 27, 2018 5:52 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Απλή και Ωραία

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Κυρ Φεβ 03, 2019 8:00 pm
Απαντήσεις: 1
από JimNt. » Κυρ Φεβ 03, 2019 4:53 pm

διοφαντική

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $(x,y)$ που ικανοποιούν την $xy=\dbinom{x}{y}$

1 Απαντήσεις

252 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Φεβ 03, 2019 8:00 pm
Τέλειος κύβος

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Τετ Ιαν 09, 2019 2:52 pm
Απαντήσεις: 3
από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 09, 2019 1:35 am

Διοφαντική

τέλειος-κύβος

Έχει λύση στους θετικούς ακεραίους η $3n^2+3n+25=m^3$ ;

Μόλις την παρέλαβα από Ρουμανία από κάποιον που ζητά βοήθεια. Τέτοια μηνύματα παίρνω κάμποσα. Θα έλεγα 3 με 10 κάθε εβδομάδα, συνήθως από γνωστούς, είτε μαθητές που παρακολούθησαν κάποιο...

3 Απαντήσεις

290 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Τετ Ιαν 09, 2019 2:52 pm
Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas « Δευ Δεκ 31, 2018 1:29 am
Απαντήσεις: 2
από sokpanvas » Παρ Δεκ 28, 2018 5:05 pm

άθροισμα-γινόμενο

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα του αθροίσματος των ψηφίων τους και του γινομένου των ψηφίων τους.
Δηλαδή $\overline{a_1a_2a_3...a_n}=a_1+a_2+...+a_n+a_1a_2...a_n$

2 Απαντήσεις

202 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas
Δευ Δεκ 31, 2018 1:29 am
Περίεργο αποτέλεσμα - S461 από το MR

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος « Κυρ Δεκ 16, 2018 12:51 am
Απαντήσεις: 2
από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Δεκ 15, 2018 11:51 pm

πρώτοι

Επισυνάπτω τη δεύτερη δημοσίευσή μου από το τελευταίο τεύχος του Mathematical Reflections.
Είναι τόσο περίεργο το αποτέλεσμα που ακόμα και τώρα δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό! :roll:

S461.png

2 Απαντήσεις

209 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος
Κυρ Δεκ 16, 2018 12:51 am
Putnam 2018/A1

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος « Τετ Δεκ 05, 2018 3:56 pm
Απαντήσεις: 6
από Demetres » Τρί Δεκ 04, 2018 4:15 pm

2018

Putnam

Το Σαββατοκύριακο που μας πέρασε διεξήχθη ο διαγωνισμός Putnam. Θα βάλω σιγά σιγά τα θέματα. Ξεκινάω από το Α1 που είναι κλασικό και κάνει και για το Γυμνάσιο.

Να βρεθούν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη θετικών ακεραίων $(a,b)$ ώστε

$\displaystyle...

6 Απαντήσεις

422 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος
Τετ Δεκ 05, 2018 3:56 pm
Διοφαντική με εκθέτη

Τελευταία δημοσίευση από min## « Τρί Νοέμ 20, 2018 4:17 pm
Απαντήσεις: 1
από Κω.Κωνσταντινίδης » Δευ Νοέμ 19, 2018 10:49 pm

Εκθετική

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$7^{x}+x^{4}+47=y^{2}$

1 Απαντήσεις

254 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Τρί Νοέμ 20, 2018 4:17 pm
Δύσκολη?

Τελευταία δημοσίευση από min## « Σάβ Οκτ 06, 2018 6:27 pm
Απαντήσεις: 3
από Κω.Κωνσταντινίδης » Πέμ Σεπ 27, 2018 5:23 pm

Εξίσωση

Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση
$x^{2}+36=y^{5}$

3 Απαντήσεις

573 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Σάβ Οκτ 06, 2018 6:27 pm
Πρώτος και ένας ακέραιος

Τελευταία δημοσίευση από Xriiiiistos « Δευ Σεπ 10, 2018 6:45 pm
Απαντήσεις: 2
από Xriiiiistos » Σάβ Σεπ 01, 2018 3:35 pm

ακέραιος

Αν $p$ πρώτος και $r$ ακέραιος να λυθεί η αξίσωση

$p^{4}=r^{2}+504$

2 Απαντήσεις

326 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Xriiiiistos
Δευ Σεπ 10, 2018 6:45 pm
Να βρεθεί αριθμός.

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Κυρ Σεπ 09, 2018 6:15 pm
Απαντήσεις: 16
από Soniram89 » Πέμ Σεπ 06, 2018 9:52 pm

Τελευταίο-Ψηφίο

Να βρεθεί θετικός αριθμός που όταν το πρώτο και το τελευταίο ψηφίο του αλλάξουν θέση, ο αριθμός διπλασιάζεται.

Δηλαδή αν έχουμε τον αριθμό AbcdE o ζητούμενος πρέπει να είναι της μορφής EbcdA

16 Απαντήσεις

579 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Κυρ Σεπ 09, 2018 6:15 pm
Ας βρούμε τον n

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Τρί Σεπ 04, 2018 6:35 pm
Απαντήσεις: 1
από Xriiiiistos » Τρί Σεπ 04, 2018 4:07 pm

modulo

Να βρεθεί ο φυσικός ακέραιος $n$ ώστε για κάθε $a,b,c\in N$ με $c$ περιττο να ισχύει

$34^{a}+1006^{b}\equiv 1973^{c}(mod(n))$

o $311$ είναι πρώτος

1 Απαντήσεις

242 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Τρί Σεπ 04, 2018 6:35 pm
Εκθετική Διοφαντική

Τελευταία δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης « Πέμ Αύγ 30, 2018 8:42 pm
Απαντήσεις: 6
από Κω.Κωνσταντινίδης » Τετ Αύγ 29, 2018 10:14 am

Διοφαντική

Να λυθεί στους ακέραιους η εξίσωση
$20^{\chi }+13^{\psi }=2013^{\zeta }$

6 Απαντήσεις

424 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης
Πέμ Αύγ 30, 2018 8:42 pm
Ακέραιες λύσεις

Τελευταία δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης « Τετ Αύγ 29, 2018 4:28 pm
Απαντήσεις: 2
από Xriiiiistos » Τετ Αύγ 29, 2018 3:28 pm

ακέραιος

Να βρεθουν οι ακέραιοι $a,b$ που να επαληθεύουν το εξής

$\sqrt{a^{2}+2^{a}-2}=b$

2 Απαντήσεις

231 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης
Τετ Αύγ 29, 2018 4:28 pm
Πρώτος

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τετ Αύγ 29, 2018 1:17 pm
Απαντήσεις: 5
από Xriiiiistos » Τρί Αύγ 28, 2018 9:21 pm

πρώτος

Να βρεθούν όλα τα $a\in \mathbb{N}$ ώστε ο $\sqrt{2a^{2}-13}$ να είναι πρώτος

5 Απαντήσεις

311 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τετ Αύγ 29, 2018 1:17 pm
Απλή?

Τελευταία δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης « Κυρ Ιούλ 29, 2018 11:56 pm
Απαντήσεις: 2
από Κω.Κωνσταντινίδης » Κυρ Ιούλ 29, 2018 4:48 pm

Θεωρία-αριθμών

Αν ο $\kappa$ είναι θετικός ακέραιος, να βρείτε τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $\nu$ έτσι ώστε να έχουμε
$3^{\kappa }\mid 2^{\nu }-1$

2 Απαντήσεις

327 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης
Κυρ Ιούλ 29, 2018 11:56 pm
Απλή(;)

Τελευταία δημοσίευση από min## « Πέμ Ιούλ 12, 2018 6:47 pm
Απαντήσεις: 1
από Chagi » Πέμ Ιούλ 12, 2018 2:48 pm

Θεωρία-Αριθμών

Να λυθεί:

$3^x+7^y=10^z$ όπου $x,y,z \in N$

1 Απαντήσεις

269 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Πέμ Ιούλ 12, 2018 6:47 pm
Μέγιστη διαφορά

Τελευταία δημοσίευση από min## « Δευ Ιούλ 09, 2018 1:16 pm
Απαντήσεις: 3
από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιούλ 08, 2018 8:54 pm

μέγιστο

Έστω ακέραιοι $m \geqslant n$ ώστε $m^3+n^3+1=4mn$. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του $m-n$.

3 Απαντήσεις

390 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Δευ Ιούλ 09, 2018 1:16 pm
εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Παρ Ιουν 29, 2018 8:27 pm
Απαντήσεις: 1
από panagiotis iliopoulos » Παρ Μαρ 09, 2018 3:45 pm

πρόβλημα

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους $x,y$ η εξίσωση $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq}$ όπου $p,q$ πρώτοι.

1 Απαντήσεις

554 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Παρ Ιουν 29, 2018 8:27 pm
Τέλειο τετράγωνο

Τελευταία δημοσίευση από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ « Πέμ Ιουν 14, 2018 7:29 pm
Απαντήσεις: 4
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm

ΜΚΔ

Aν $\displaystyle{x y z}$ θετικοί ακέραιοι,ώστε $\displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z}$ και $\displaystyle{d}$ ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{dxyz}$ είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους...

4 Απαντήσεις

480 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Πέμ Ιουν 14, 2018 7:29 pm
Σύγκριση αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Τρί Ιουν 12, 2018 5:16 pm
Απαντήσεις: 6
από Xriiiiistos » Δευ Ιουν 11, 2018 3:49 pm

θεωρία-αριθμών

μεγάλοι-αριθμοί

Γεια σας, ποιος από τους 2 αριθμούς είναι μεγαλύτερος

$1234567809^{10^{11}+1}$

$9876543201^{9\cdot 10^{10}}$

6 Απαντήσεις

452 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Τρί Ιουν 12, 2018 5:16 pm
εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Τελευταία δημοσίευση από panagiotis iliopoulos « Παρ Απρ 06, 2018 1:11 pm
Απαντήσεις: 1
από panagiotis iliopoulos » Παρ Μαρ 09, 2018 3:27 pm

πρόβλημα

Να λυθεί η εξίσωση $\frac{p}{x}+\frac{q}{y}=1$ όπου $x,y$ θετικοί ακέραιοι και $p,q$ πρώτοι.

1 Απαντήσεις

517 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από panagiotis iliopoulos
Παρ Απρ 06, 2018 1:11 pm
έξι διαιρέτες

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Δευ Απρ 02, 2018 10:58 am
Απαντήσεις: 5
από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 31, 2018 2:58 pm

έξι-διαιρέτες

Για έναν πρώτο $p$ ο αριθμός $p^2+11$ έχει ακριβώς έξι διαιρέτες.

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του $p$;

5 Απαντήσεις

457 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Δευ Απρ 02, 2018 10:58 am
Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ « Κυρ Μαρ 25, 2018 12:57 pm
Απαντήσεις: 8
από panagiotis iliopoulos » Σάβ Μαρ 24, 2018 4:54 am

πρόβλημα-με-πρώτους-αριθμούς

Να βρεθούν τα ζεύγη $(p,q)$ πρώτων αριθμών για τους οποίους ισχύει ότι $p^{3}-q^{5}=(p+q)^{2}$ .

8 Απαντήσεις

561 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Κυρ Μαρ 25, 2018 12:57 pm
ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Κυρ Μαρ 25, 2018 11:29 am
Απαντήσεις: 2
από panagiotis iliopoulos » Σάβ Μαρ 10, 2018 8:33 pm

Πρόβλημα

Έστω $a,b,c$ θετικοί ακέραιοι. Δείξτε ότι

$lcm(a,b,c)=\frac{abc*gcd(a,b,c)}{gcd(a,b)*gcd(a,c)*gcd(b,c)}$

Έστω $(a,b,c)=d$ και $a=xd$ , $b=yd$ και $c=zd$ με $(x,y,z)=1$ $\Rightarrow lcm(a,b,c)=xyzd$ .
Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει. Έχουμε...

2 Απαντήσεις

523 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Κυρ Μαρ 25, 2018 11:29 am
Ανισότητα με διαιρέτες

Τελευταία δημοσίευση από gbaloglou « Τρί Μαρ 13, 2018 5:55 pm
Απαντήσεις: 5
από glinos » Κυρ Μαρ 11, 2018 6:44 pm

Θεωρία-Αριθμών

Έστω $n$ φυσικός μεγαλύτερος του $1$. Γνωρίζουμε ότι ο $n$ έχει συνολικά $2k$ διαιρέτες στο πλήθος. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των διαιρετών του υπερβαίνει τον αριθμό $\left(n+1 \right)\cdot \left(\dfrac{k-1}{4n}+1 \right)$.

5 Απαντήσεις

690 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από gbaloglou
Τρί Μαρ 13, 2018 5:55 pm
Γενίκευση προβλήματος

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas « Σάβ Μαρ 10, 2018 12:50 pm
Απαντήσεις: 1
από panagiotis iliopoulos » Παρ Μαρ 09, 2018 9:02 pm

πρόβλημα

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους $x,y$ η εξίσωση $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pqr}$ όπου $p,q$
πρώτοι.

1 Απαντήσεις

423 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas
Σάβ Μαρ 10, 2018 12:50 pm

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 94 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση