Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 76 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Απρ 01, 2018 12:18 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 2
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

2 Απαντήσεις

5481 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Απρ 01, 2018 12:18 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από cretanman « Δευ Οκτ 03, 2016 4:14 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 9
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

9 Απαντήσεις

5468 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από cretanman
Δευ Οκτ 03, 2016 4:14 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

21702 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

81791 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

95015 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 18)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Σάβ Ιαν 06, 2018 11:12 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 18
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...

18 Απαντήσεις

155508 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Σάβ Ιαν 06, 2018 11:12 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Τελευταία δημοσίευση από panagiotis iliopoulos « Παρ Απρ 06, 2018 1:11 pm
Απαντήσεις: 1
από panagiotis iliopoulos » Παρ Μαρ 09, 2018 3:27 pm

πρόβλημα

Να λυθεί η εξίσωση $\frac{p}{x}+\frac{q}{y}=1$ όπου $x,y$ θετικοί ακέραιοι και $p,q$ πρώτοι.

1 Απαντήσεις

309 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από panagiotis iliopoulos
Παρ Απρ 06, 2018 1:11 pm
έξι διαιρέτες

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Δευ Απρ 02, 2018 10:58 am
Απαντήσεις: 5
από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 31, 2018 2:58 pm

έξι-διαιρέτες

Για έναν πρώτο $p$ ο αριθμός $p^2+11$ έχει ακριβώς έξι διαιρέτες.

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του $p$;

5 Απαντήσεις

272 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Δευ Απρ 02, 2018 10:58 am
Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ « Κυρ Μαρ 25, 2018 12:57 pm
Απαντήσεις: 8
από panagiotis iliopoulos » Σάβ Μαρ 24, 2018 4:54 am

πρόβλημα-με-πρώτους-αριθμούς

Να βρεθούν τα ζεύγη $(p,q)$ πρώτων αριθμών για τους οποίους ισχύει ότι $p^{3}-q^{5}=(p+q)^{2}$ .

8 Απαντήσεις

322 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Κυρ Μαρ 25, 2018 12:57 pm
ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Κυρ Μαρ 25, 2018 11:29 am
Απαντήσεις: 2
από panagiotis iliopoulos » Σάβ Μαρ 10, 2018 8:33 pm

Πρόβλημα

Έστω $a,b,c$ θετικοί ακέραιοι. Δείξτε ότι

$lcm(a,b,c)=\frac{abc*gcd(a,b,c)}{gcd(a,b)*gcd(a,c)*gcd(b,c)}$

Έστω $(a,b,c)=d$ και $a=xd$ , $b=yd$ και $c=zd$ με $(x,y,z)=1$ $\Rightarrow lcm(a,b,c)=xyzd$ .
Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει. Έχουμε...

2 Απαντήσεις

340 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Κυρ Μαρ 25, 2018 11:29 am
Ανισότητα με διαιρέτες

Τελευταία δημοσίευση από gbaloglou « Τρί Μαρ 13, 2018 5:55 pm
Απαντήσεις: 5
από glinos » Κυρ Μαρ 11, 2018 6:44 pm

Θεωρία-Αριθμών

Έστω $n$ φυσικός μεγαλύτερος του $1$. Γνωρίζουμε ότι ο $n$ έχει συνολικά $2k$ διαιρέτες στο πλήθος. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των διαιρετών του υπερβαίνει τον αριθμό $\left(n+1 \right)\cdot \left(\dfrac{k-1}{4n}+1 \right)$.
:coolspeak:

5 Απαντήσεις

468 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από gbaloglou
Τρί Μαρ 13, 2018 5:55 pm
Γενίκευση προβλήματος

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas « Σάβ Μαρ 10, 2018 12:50 pm
Απαντήσεις: 1
από panagiotis iliopoulos » Παρ Μαρ 09, 2018 9:02 pm

πρόβλημα

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους $x,y$ η εξίσωση $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pqr}$ όπου $p,q$
πρώτοι.

1 Απαντήσεις

269 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas
Σάβ Μαρ 10, 2018 12:50 pm
εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Τελευταία δημοσίευση από panagiotis iliopoulos « Παρ Μαρ 09, 2018 3:45 pm

από panagiotis iliopoulos » Παρ Μαρ 09, 2018 3:45 pm

πρόβλημα

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους $x,y$ η εξίσωση $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq}$ όπου $p,q$ πρώτοι.

0 Απαντήσεις

271 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από panagiotis iliopoulos
Παρ Μαρ 09, 2018 3:45 pm
Τετράγωνα Περιττών

Τελευταία δημοσίευση από achilleas « Δευ Δεκ 11, 2017 7:48 pm
Απαντήσεις: 1
από JimNt. » Δευ Δεκ 11, 2017 6:32 pm

περιττός

τετράγωνο

Να αποδεικτεί ότι στο άθροισμα των τετραγώνων $3$ περιττών αριθμών μπορεί να προστεθεί το τετράγωνο ενός ακόμα περιττού ώστε το άθροισμα να είναι τέλειο τετράγωνο.

1 Απαντήσεις

392 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από achilleas
Δευ Δεκ 11, 2017 7:48 pm
Ακέραιοι ως κυκλικό άθροισμα

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Σάβ Νοέμ 18, 2017 12:05 pm
Απαντήσεις: 5
από socrates » Τρί Νοέμ 14, 2017 11:30 pm

ακέραιος

Να βρείτε όλους τους ακεραίους $m$ οι οποίοι γράφονται στη μορφή

$m=x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1$

για κάποιο θετικό ακέραιο $n\geq 2$ και $x_i\in \{\sqrt{2}+1, \sqrt{2}-1\},$ για κάθε $i=1,2,...,n.$

5 Απαντήσεις

601 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Σάβ Νοέμ 18, 2017 12:05 pm
Διαιρετότητα

Τελευταία δημοσίευση από JimNt. « Σάβ Νοέμ 04, 2017 2:17 pm
Απαντήσεις: 1
από JimNt. » Τρί Οκτ 17, 2017 3:03 pm

διαιρετότητα

ακέραιοι

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη περιττών θετικών ακεραίων $(m,n)$ σχετικά πρώτων για τα οποία ο $A=\dfrac{n^4-n^2-m^4}{m^4+m^2+n^2}$ είναι ακέραιος.

1 Απαντήσεις

585 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από JimNt.
Σάβ Νοέμ 04, 2017 2:17 pm
Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ « Τρί Οκτ 03, 2017 8:01 pm
Απαντήσεις: 7
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 01, 2017 4:04 pm

άθροισμα-δυνάμεων

τέταρτη-δυναμη

Εστω φυσικός της μορφής$16n+15,n\in \mathbb{N}$

Να δειχθεί ότι αν γραφεί σαν άθροισμα τετάρτων δυνάμεων φυσικών

τότε χρειαζόμαστε τουλάχιστον $15$.

7 Απαντήσεις

662 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Οκτ 03, 2017 8:01 pm
Πρώτα ο Πρώτος !

Τελευταία δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας « Τρί Σεπ 26, 2017 8:44 pm
Απαντήσεις: 7
από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Σεπ 25, 2017 2:22 pm

Πρώτος

Αν $x$ πρώτος , να λύσετε την Διοφαντική εξίσωση :

$x-y^{4}=4$ .

7 Απαντήσεις

582 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας
Τρί Σεπ 26, 2017 8:44 pm
Πενταψήφιος

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Δευ Αύγ 28, 2017 11:51 pm
Απαντήσεις: 4
από Mihalis_Lambrou » Δευ Αύγ 28, 2017 10:15 pm

πενταψήφιος

Σκέφτηκα έναν πενταψήφιο αριθμό.

Έσβησα ένα ψηφίο του ώστε να γίνει τετραψήφιος (κλείνοντας το κενό).

Αν προσθέσω τον πενταψήφιο με τον τετραψήφιο θα βρω $68135$.

Ποιον αριθμό σκέφτηκα;

4 Απαντήσεις

566 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Δευ Αύγ 28, 2017 11:51 pm
Τέλειο τετράγωνο

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Τετ Ιούλ 12, 2017 11:09 pm
Απαντήσεις: 3
από M.S.Vovos » Τετ Ιούλ 12, 2017 12:52 pm

Θεωρία-αριθμών

Με επιφύλαξη για το φάκελο...
Να αποδείξετε ότι για κάθε $k\in \mathbb{Z}^{*}$ ο αριθμός $\displaystyle{2017k^{2}-120}$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,
Μάριος

3 Απαντήσεις

713 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τετ Ιούλ 12, 2017 11:09 pm
Κινέζικη ἀριθμοθεωρητική

Τελευταία δημοσίευση από Panagiotis11 « Σάβ Ιούλ 08, 2017 2:47 am
Απαντήσεις: 1
από Γ.-Σ. Σμυρλής » Σάβ Ιούλ 08, 2017 1:24 am

Θεωρία-Αριθμών

Κινέζικες-Ολυμπιάδες

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Εἶναι δυνατὸν, ἀναδιατάσσοντας τὰ ψηφία τοῦ δεκαδικοῦ ἀναπτύγματος δυνάμεως τοῦ 2, νὰ προκύψει ἄλλη δύναμη τοῦ 2;

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Δὲν ἔχω δεῖ πουθενὰ τὴν λύση αὐτοῦ τοῦ προβλήματος. Τὸ ἔλυσα μὲ τὴν ἑξῆς ἐπί πλέον ὑπόθεση:

Μετά τήν...

1 Απαντήσεις

632 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Panagiotis11
Σάβ Ιούλ 08, 2017 2:47 am
Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ

Τελευταία δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής « Παρ Ιούλ 07, 2017 1:33 pm
Απαντήσεις: 2
από Γ.-Σ. Σμυρλής » Τρί Ιούλ 04, 2017 8:22 pm

Θεωρία-Αριθμών

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Νὰ βρεθοῦν ὅλες οἱ δυνάμεις τοῦ 2, ποὺ ὅταν τοὺς διαγράψομε τὸ πρῶτο τους δεκαδικὸ ψηφίο, παραμένουν δυνάμεις τοῦ 2.

2 Απαντήσεις

765 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής
Παρ Ιούλ 07, 2017 1:33 pm
Διοφαντική εξίσωση

Τελευταία δημοσίευση από min## « Τετ Ιουν 21, 2017 2:44 pm
Απαντήσεις: 4
από socrates » Τρί Ιουν 20, 2017 5:32 pm

διοφαντική

$2^x + 3^y = 7^z ,~~~~~~~ (x,y,z)\in \Bbb{Z}^3$

4 Απαντήσεις

893 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Τετ Ιουν 21, 2017 2:44 pm
Με διαιρέτες

Τελευταία δημοσίευση από Datis-Kalali « Κυρ Ιουν 18, 2017 9:32 pm
Απαντήσεις: 3
από socrates » Σάβ Ιουν 17, 2017 11:51 pm

διαιρέτες

Έστω $1=d_1 Να βρεθεί ο $n$ αν $n=d_2d_5+d_3d_4.$

3 Απαντήσεις

735 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Datis-Kalali
Κυρ Ιουν 18, 2017 9:32 pm
Πρώτοι!

Τελευταία δημοσίευση από min## « Παρ Ιουν 16, 2017 11:44 pm
Απαντήσεις: 2
από Ορέστης Λιγνός » Παρ Ιουν 16, 2017 10:06 pm

πρώτοι

Αν $p,q$ πρώτοι ώστε ο $A=p^{p+1}+q^{q+1}$ να είναι πρώτος, να βρείτε τα $p,q$.

2 Απαντήσεις

718 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Παρ Ιουν 16, 2017 11:44 pm
Διαιρετότητα με πρώτους

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τρί Ιουν 13, 2017 11:20 am
Απαντήσεις: 6
από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Ιουν 08, 2017 8:46 pm

διαιρετότητα

πρώτοι

Για κάθε πρώτο αριθμό $p$ να αποδειχτεί πως $\displaystyle{p|\binom{2p}{p}-2}$

6 Απαντήσεις

898 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τρί Ιουν 13, 2017 11:20 am
Επαναστασιακή

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ « Τετ Ιουν 07, 2017 12:18 am
Απαντήσεις: 14
από Panagiotis11 » Τρί Ιουν 06, 2017 4:07 pm

Θεωρία-αριθμών

Να βρεθούν τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού $\alpha =7^{1821}$.

14 Απαντήσεις

1082 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιουν 07, 2017 12:18 am
Εξίσωση με εκθέτες 7,8,9

Τελευταία δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας « Κυρ Ιουν 04, 2017 8:49 pm
Απαντήσεις: 1
από silouan » Κυρ Ιουν 04, 2017 7:50 pm

διοφαντική

εκθετική

Υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $x,y,z$ τέτοιοι ώστε $x^7+y^8=z^9$;

1 Απαντήσεις

763 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Ιουν 04, 2017 8:49 pm
Απόδειξη

Τελευταία δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας « Κυρ Μάιος 28, 2017 10:01 am
Απαντήσεις: 4
από Κατερινόπουλος Νικόλας » Σάβ Μάιος 27, 2017 8:41 pm

Modulo-Διαιρετότητα

Αν $a\in\mathbb{Z}$, να αποδείξετε ότι $3/(a^{3}+2a)$

4 Απαντήσεις

758 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας
Κυρ Μάιος 28, 2017 10:01 am
Ωραία Διοφαντική

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Σάβ Μάιος 27, 2017 11:52 pm
Απαντήσεις: 4
από JimNt. » Σάβ Μάιος 27, 2017 7:08 pm

φυσικοί

Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες φυσικών $(x,y,z)$ που ικανοποιούν την $5^x+y^2=3^z$. Ας αφεθεί για τους μικρότερους (σε εμπειρία) μαθητές.

4 Απαντήσεις

841 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Μάιος 27, 2017 11:52 pm
Όμορφο Τετράγωνο!

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Δευ Μάιος 08, 2017 8:57 pm
Απαντήσεις: 6
από JimNt. » Παρ Μάιος 05, 2017 8:34 pm

τετράγωνο

πρώτος

Να προσδιορίσετε όλους τους πρώτους $p$ για τους οποίος ο $A= \dfrac{5^{p+1}-1}{p}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Για μαθητές.

6 Απαντήσεις

1220 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Μάιος 08, 2017 8:57 pm

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 76 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση