Έχουν ή όχι αρχική;

#1

Αν ονομάσουμε $\mathcal{F}$ το σύνολο των 1-1 και επί συναρτήσεων από το [a,b]

στο $\mathbb{R}$ και $\mathcal{G}$ το σύνολο των 1-1 και επί συναρτήσεων από το [a,b]

στο $\mathbb{R}$ , οι οποίες έχουν αρχική. Τότε ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής; ( a<b

)
1. $\mathcal{G}= \varnothing$
2. $\mathcal{G}= \mathcal{F}$
3. $\mathcal{F}-\mathcal{G} \neq \varnothing$
Φιλικά

antegeia · #2

το δευτερο αποκλειεται γιατι υπαρχουν 1-1 και επι χωρις αρχικη (πχ μη φραγμενες).
το πρωτο ειναιν ασχετο γιατι υαρχει μαι του λαχιστον συναρτηση 1-1 και επι με αρχικη (πχ η F(x)=x)
Αρα υποθετω οτι το σωστο ειναι το τριτο.

#3

antegeia έγραψε:το δευτερο αποκλειεται γιατι υπαρχουν 1-1 και επι χωρις αρχικη (πχ μη φραγμενες).
το πρωτο ειναιν ασχετο γιατι υαρχει μαι του λαχιστον συναρτηση 1-1 και επι με αρχικη (πχ η F(x)=x)
Αρα υποθετω οτι το σωστο ειναι το τριτο.

Μήπως πρέπει να το ξανακοιτάξεις; Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι οι μη φραγμένες είναι συναρτήσεις χωρίς αρχική; Τι ισχύει με την $f(x)=tanx, x \in (-\frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2})$ ;
Για το πρώτο, που λες ότι είναι άσχετο, η συνάρτηση που αναφέρεις, είναι επί του $\mathbb{R}$ , όταν πεδίο ορισμού της είναι αυτό που ορίζει το πρόβλημα, δηλαδή το [a,b]

;
Φιλικά

mtsarduckas · #4

Δηλαδή αν κατάλαβα καλά μία "μετάφραση" θα μπορούσε να είναι η εξής:
α)Δεν υπάρχει συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathBB{R}, 1-1$ και επί η οποία έχει αρχική.
β)Κάθε συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathBB{R}, 1-1$ και επί έχει αρχική.
γ)Υπάρχει συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathBB{R}, 1-1$ και επί η οποία δεν έχει αρχική.

Μιχάλης

#5

mtsarduckas έγραψε:Δηλαδή αν κατάλαβα καλά μία "μετάφραση" θα μπορούσε να είναι η εξής:
α)Δεν υπάρχει συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathBB{R}, 1-1$ και επί η οποία έχει αρχική.
β)Κάθε συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathBB{R}, 1-1$ και επί έχει αρχική.
γ)Υπάρχει συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathBB{R}, 1-1$ και επί η οποία δεν έχει αρχική.

Μιχάλης

Ακριβώς Μιχάλη.
Φιλικά

antegeia · #6

s.kap έγραψε:
antegeia έγραψε:το δευτερο αποκλειεται γιατι υπαρχουν 1-1 και επι χωρις αρχικη (πχ μη φραγμενες).
το πρωτο ειναιν ασχετο γιατι υαρχει μαι του λαχιστον συναρτηση 1-1 και επι με αρχικη (πχ η F(x)=x)
Αρα υποθετω οτι το σωστο ειναι το τριτο.
Μήπως πρέπει να το ξανακοιτάξεις; Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι οι μη φραγμένες είναι συναρτήσεις χωρίς αρχική; Τι ισχύει με την $f(x)=tanx, x \in (-\frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2})$ ;
Για το πρώτο, που λες ότι είναι άσχετο, η συνάρτηση που αναφέρεις, είναι επί του $\mathbb{R}$ , όταν πεδίο ορισμού της είναι αυτό που ορίζει το πρόβλημα, δηλαδή το ;
Φιλικά

Eννοω οτι υπαρχουν 1-1, επι και μη φραγμενες συναρτησεις οι οποιες φυσικα δεν ειναι ολ/μες κατα Riemann (ως μη φραγμενες). Η εφχ ειναι συνεχης κατι που δεν εχει σχεση με τις ιδιοτητες που αναφερονται. Γενικα η συνεχεια ειναι μια πολυ ισχυρη συνθηκη. Ενδιαφερον πχ εχουν μονοτονες και φραγμενες συναρτησεις οι οποιες εχουν αριθμησιμο πληθος ασυνεχων σημειων (η αντισοιχα συνολο μετρου 0 ως προς την ασυνεχεια)

#7

Η απάντηση είναι πως αληθής είναι η (1) και κατά συνέπεια και η ασθενέστερη της (3)
Η απόδειξη:
Έστω πως η

έχει αρχι κή, τότε θα έχει και την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής. Θεωρώ την ακολουθία $a_n=f^{-1}(n), n \in \mathbb{N}$ , η οποία έχει μία μονότονη υπακολουθία και επειδή η

είναι 1-1 και επί η υπακολουθία αυτή θα είναι γνησίως μονότονη. Ονομάζω την υπακολουθία αυτή $a_{k_n}$ και θεωρώ, χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι είναι γνησίως αύξουσα. (Όμοια αποδεικνύεται και με την υπόθεση γνησίως φθίνουσα). Λόγω της ιδιότητας της ενδιάμεσης τιμής $f^{-1}([k_n,k_{n+1}]) \subseteq [a_{k_n},a_{k_{n+1}}]$
Εξ' άλλου η $a_{k_n}$ , ως γνησίως αύξουσα και φραγμένη θα συγκλίνει στο supremum των όρων της, ας το πούμε

. Επειδή $k_n \to +\infty$ θα υπάρχει φυσικός

ώστε $k_m \leq f(a) \leq k_{m+1}$ , άρα $a \in [a_{k_m},a_{k_{m+1}}]$ , άτοπο. Συνεπώς το ζητούμενο αποδείχθηκε
Φιλικά

Έχουν ή όχι αρχική;

Έχουν ή όχι αρχική;

Re: Έχουν ή όχι αρχική;

Re: Έχουν ή όχι αρχική;

Re: Έχουν ή όχι αρχική;

Re: Έχουν ή όχι αρχική;

Re: Έχουν ή όχι αρχική;

Re: Έχουν ή όχι αρχική;

Μέλη σε σύνδεση