Τετράπλευρο με διαγώνιες κάθετες

Ιστοσελίδα · #1

Ξεφυλλίζοντας τις σχολικές σημειώσεις μου βρήκα μια άσκηση του αειμνήστου Γιάννη Ντάνη.

Θεωρούμε τετράπλευρο με κάθετες διαγώνιες εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). Να δείξετε ότι η απόσταση του κέντρου του κύκλου από μια πλευρά του τετραπλεύρου είναι ίση με το μισό της απέναντι πλευράς.

#2

Ωραία άσκηση Σπύρο, δεν την είχα υπ όψιν μου, πάνω που σκεφτόμουνα μια άλλη με κάθετες διαγώνιες, η οποία προέκυψε από πορεία μαθητή για λύση κάποιας άλλης. Νομίζω, παρότι δείχνει πολύ απλή, προβληματίζει και καλόυς μαθητές.
ΑΣΚΗΣΗ
Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει κάθετες διαγώνιες και γωνίες Α= Γ, να δειχθεί ότι ΑΒ=ΒΓ και ΓΔ=ΔΑ.
Με ενδιαφέρουν απαντήσεις κυρίως από μαθητές.

hsiodos · #3

Καλό μεσημέρι

Έστω $OO_1\perp B\Gamma \,\,\,,OO_2\perp A\Delta (O_1,O_2$ μέσα των $B\Gamma ,A\Delta )$
Είναι $\hat{O_2}=\frac{1}{2}\hat{BO\Gamma }=\hat{\Delta _1}$ και $\hat{O_1}=\frac{1}{2}\hat{AO\Delta }=\hat{\Gamma _1}$
Όμως $\hat{\Delta _1 }+\hat{\Gamma _1} =90^o$ (Από το ορ.τρ ΔΡΓ)
Άρα $\hat{O _1 }+\hat{O _2} =90^o$ δηλαδή $\hat{O _2} =\hat{A_1}$
Συνεπώς τα ορθ.τρ AO_2O

και $\Gamma O_1O$ είναι ίσα(έχουν και ΟΑ=ΟΓ)
Έτσι $OO_1=AO_2=\frac{A\Delta }{2}$ και $OO_2=\Gamma O_1=\frac{B\Gamma }{2}$

Γιώργος

ΥΓ Ήμασταν τυχεροί όσοι -έστω και για λίγο- είχαμε ΔΑΣΚΑΛΟ τον Γιάννη Ντάνη.

: spyrosk.png (20.25 KiB) Προβλήθηκε 1756 φορές

p_gianno · #4

Δύο ακόμη λύσεις για την άσκηση αυτή

Π.Γ
Εβαλα καινούργιο αρχείο με μια προσθήκη σε σχέση με το προηγούμενο

kardam-ntanis.pdf: (71.81 KiB) Μεταφορτώθηκε 148 φορές

Ιστοσελίδα · #5

Mπράβο παιδιά καταπληκτικές όλες οι λύσεις, ας δείξω και εγώ μια μετρική αντιμετώπιση όπως θα έλεγε και ο μεγάλος δάσκαλος

Στο τρίγωνο $O_1 O\Gamma$ με εφαρμογή του πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε:
$OO_1^2 + O_1 \Gamma ^2 = O\Gamma ^2$
$OO_1^2 + \frac{{B\Gamma ^2 }}{4} = R^2$
$4OO_1^2 + B\Gamma ^2 = 4R^2$ (1)

Έστω A_1

το αντιδιαμετρικό του Α τότε
$\Gamma A_1 \bot A\Gamma \Rightarrow B\Delta //\Gamma A_1 \Rightarrow B\Gamma = \Delta A_1$ οπότε
$\Delta A_1^2 + A\Delta ^2 = AA_1^2$
$B\Gamma ^2 + A\Delta ^2 = 4R^2$ (2)

Από τις (1) και (2) έχουμε ότι:
$4OO_1^2 + B\Gamma ^2 = B\Gamma ^2 + A\Delta ^2$
$4OO_1^2 = A\Delta ^2$
$2OO_1 = A\Delta \Rightarrow OO_1 = \frac{{A\Delta }}{2}$

Ιστοσελίδα · #6

Όλες οι λύσεις τις άσκησεις συγκετρωμένες σε ένα αρχείο
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=191

hsiodos · #7

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:Ωραία άσκηση Σπύρο, δεν την είχα υπ όψιν μου, πάνω που σκεφτόμουνα μια άλλη με κάθετες διαγώνιες, η οποία προέκυψε από πορεία μαθητή για λύση κάποιας άλλης. Νομίζω, παρότι δείχνει πολύ απλή, προβληματίζει και καλούς μαθητές.
ΑΣΚΗΣΗ
Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει κάθετες διαγώνιες και γωνίες Α= Γ, να δειχθεί ότι ΑΒ=ΒΓ και ΓΔ=ΔΑ.
Με ενδιαφέρουν απαντήσεις κυρίως από μαθητές.

Ελπίζω να μην ξεχαστεί αυτή η ωραία άσκηση. Επειδή ο Ανδρέας ζήτησε λύση κυρίως από μαθητές μήπως πρέπει να μεταφερθεί στον αντίστοιχο φάκελλο;

Γιώργος

Τετράπλευρο με διαγώνιες κάθετες

Τετράπλευρο με διαγώνιες κάθετες

Re: Τετράπλευρο με διαγώνιες κάθετες

Re: Τετράπλευρο με διαγώνιες κάθετες

Re: Τετράπλευρο με διαγώνιες κάθετες

Re: Τετράπλευρο με διαγώνιες κάθετες

Re: Τετράπλευρο με διαγώνιες κάθετες

Re: Τετράπλευρο με διαγώνιες κάθετες

Μέλη σε σύνδεση