Μία από το σχολικό

Νασιούλας Αντώνης · #1

Να βρείτε τη συνάρτηση

τέτοια, ώστε να ισχύει:

$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\sqrt{1+x^2}$ $\kappa \alpha \iota$ $g\left(x\right)=-x^2$ .

Από τη στιγμή που δεν αναφέρει κάτι το σχολικό, εννοείται πως οι σχέσεις ισχύουν $\forall x \in \mathbb{R}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Καληνύχτα

mixalis_i · #2

Επειδή έψαξα στο βιβλίο και τη βρήκα και έχω και τη λύση από το λυσάρι, δεν είναι αυτή η λύση; Έχει λάθος;

Νασιούλας Αντώνης · #3

mixalis_i έγραψε:Επειδή έψαξα στο βιβλίο και τη βρήκα και έχω και τη λύση από το λυσάρι, δεν είναι αυτή η λύση; Έχει λάθος;

Ναι, η λύση που θέλω να δούμε δεν είναι αυτή που παρουσιάζεται στο λυσάρι.

Δεν λέω παραπάνω πράγματα για να μην δώσω υποδείξεις σε όσους δεν γνωρίζουν το κρυφό της σημείο και θέλουν να το ανακαλύψουν.

Mulder · #4

Δε ξέρω τι λύση δίνει το σχολικό , αλλά αυτό μου φαίνεται αρκετό:

Η

έχει σύνολο τιμών το $(-\infty,0]$ άρα για να ορίζεται η fog

θα πρέπει η $f:A\to R$ να έχει πεδίο ορισμού $A\supset (-\infty,0]$ .

Tώρα αφού η

είναι επί του $g(R)=(-\infty,0]$ θέτοντας u=-x^2

, παίρνουμε ότι $f(u)=\sqrt{1-u}$ για $u\leq 0$ , άρα κάθε συνάρτηση της μορφής:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} & \sqrt{1-x} , x\leq 0\\ & h(x) , x\in K \end{matrix}\right}$ , όπου $h:K \to R$ τυχαία συνάρτηση με $K\subset (0,+\infty)$ , επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες.

Νασιούλας Αντώνης · #5

Σωστά. Αυτή είναι η σωστή λύση.

Το λυσάρι δίνει την λύση $f(x)=\sqrt{1-x}, x\leq 0$ η οποία είναι μια από τις άπειρες

που ικανοποιούν τα δεδομένα.
Η λύση δεν μπορούμε να πούμε ότι είναι λάθος, αλλά προφανώς είναι ελλιπής.

Ουσιαστικά η παραπάνω κατάσταση διαμορφώνεται όταν η

-ή γενικότερα η "μέσα" συνάρτηση- δεν είναι επί του $\mathbb{R}$ και έτσι "περισσεύουν" κάποιες τιμές του Π.Ο. της

τις οποίες μπορούμε να ορίσουμε όπως θέλουμε.

Ευχαριστώ για την ενασχόληση

dennys · #6

κ.Νασιούλα καλησπέρα

Θα παρακαλούσα να δίνατε ενα παράδειγμα μιας συνάρτησης h(x)

.

Ευχαριστώ

Μπουμπουλής Κώστας · #7

Το σχολικό πάντως καλύπτεται ζητώντας να βρείτε συνάρτηση

και όχι τη συνάρτηση

.

Νασιούλας Αντώνης · #8

dennys έγραψε:κ.Νασιούλα καλησπέρα

Θα παρακαλούσα να δίνατε ενα παράδειγμα μιας συνάρτησης h(x).

Ευχαριστώ

Μπορεί να είναι οποιαδήποτε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής η οποία έχει Π.Ο. ένα υποσύνολο του συμπληρώματος του Σ.Τ. της

.

Ο τύπος της

δεν επηρεάζει αυτόν της $f\circ g$ .

Από τη στιγμή που μου ζητήθηκε ας δώσω και ένα παράδειγμα:

$\displaystyle{h(x)=lnx+sinx+conx+\frac{1}{x^2+1}+e^{2x+5}}$ .

Ας γίνω λίγο πιο κατανοητός γιατί συμβαίνει αυτό.

Το γεγονός ότι το Σ.Τ της

και το Π.Ο. στον κλάδο της

είναι ξένα μεταξύ τους έχεις ως αποτέλεσμα το $D_{f\circ g$ στον κλάδο αυτό να είναι το κενό σύνολο και άρα η

δεν επηρεάζει τον τύπο της $f\circ g$ -αφού για εκείνον τον κλάδο δεν ορίζεται καν η $f\circ g$ .

Ελπίζω να έγινα κατανοητός.

Φιλικά

ΥΓ: Η ηλικία μου μάλλον δεν δικαιολογεί το "κ."

gradion · #9

καλησπέρα σας
Αντωνη αν δηλ. βάλω σ'αυτην την συνάρτηση οπου

την

θα βρω αυτη πού δίνεται αρχικά , γιατί μου φαίνεται
οτι κάτι δεν λές καλά.
Δώσε αν μπορείς ενα παράδειγμα και επαληθευσε το με την σύνθεση, αλλιώς ας παρέμβει κάποιος καθηγητής

ευχαριστώ

gradion · #10

καλησπέρα

Να συμπληρώσω οτι στο παράδειγμα ο συμμαθητής μου ,δινει συνάρτηση που δεν κάνει σύνθεση με την αλλη .Αρα ποιός ο λόγος να δοθεί ετσι .

Νασιούλας Αντώνης · #11

gradion έγραψε:καλησπέρα σας
Αντωνη αν δηλ. βάλω σ'αυτην την συνάρτηση οπου χ τηνν g(x) θα βρω αυτη πού δίνεται αρχικά , γιατί μου φαίνεται
οτι κάτι δεν λές καλά.
Δώσε αν μπορείς ενα παράδειγμα και επαληθευσε το με την σύνθεση, αλλιώς ας παρέμβει κάποιος καθηγητής

ευχαριστώ

Όπως το λες είναι. Αν βάλεις όπου

την

θα βρεις αυτήν που δίνεται.

Πάμε να κάνουμε λοιπόν την επαλήθευση.

Έχουμε: $\displaystyle{f=\begin{cases} \sqrt{1-x} & \text{ if } x\in(-\infty,0] \\ lnx+sinx+conx+\frac{1}{x^2+1}+e^{2x+5} & \text{ if } x\in(0,\infty) \end{cases}}$ .
και $g(x)=-x^2, x\in \mathbb{R}$ .

Δουλεύουμε πρώτα στον πάνω κλάδο.
Πάμε να βρούμε το $D_{f\circ g}$ στον κλάδο αυτό.

Όπως γνωρίζουμε: $D_{f\circ g}=\left\{x\in D_g: g(x)\in D_f \right\}=\left\{x\in R: -x^2\in(-\infty,0]\right\}=x\in \mathbb{R}$

Πάμε να βρούμε τώρα και τον τύπο που αντιστοιχεί στον κλάδο αυτό.

$f\left(g\left(x \right) \right)=\sqrt{1-\left(-x^2 \right)}=\sqrt{1+x^2}, x\in \mathbb{R}$ .

Τελειώσαμε με τον πρώτο κλάδο της

.
Πάμε στον δεύτερο.
Πάμε αρχικά να βρούμε το $D_{f\circ g}$ στον κλάδο αυτό.

Όπως και πριν: $D_{f\circ g}=\left\{x\in D_g: g(x)\in D_f \right\}=\left\{x\in R: -x^2\in(0,\infty)\right\}=\oslash \left$ (κενό σύνολο).

Άρα η $\left(f\circ g\right)$ δεν ορίζεται στον συγκεκριμένο κλάδο.

Άρα εξετάζοντας και τους δυο κλάδους της

καταλήγουμε στην:

$f\left(g\left(x \right) \right)=\sqrt{1+x^2}, x\in \mathbb{R}$ που προφανώς επιβεβαιώνει τα δεδομένα.

Ελπίζω να έγινα κατανοητός.
Αν όντως λέω κάτι λάθος ας παρέμβουν οι εμπειρότεροι.

Καλή συνέχεια

Επεξεργασία:

gradion έγραψε:καλησπέρα

Να συμπληρώσω οτι στο παράδειγμα ο συμμαθητής μου ,δινει συνάρτηση που δεν κάνει σύνθεση με την αλλη .Αρα ποιός ο λόγος να δοθεί ετσι .

Όταν μας δίνουν δύο συναρτήσεις -εκ των οποίων η μία ή και οι δύο είναι κλαδικές- και ζητούν να βρούμε τη σύνθεσή τους δεν σημαίνει απαραίτητα ότι κάθε κλάδος θα "κάνει" σύνθεση.

gradion · #12

Πολυ ωραία Αντώνη

Ας περιμένουμε τότε τον κ. Στεργίου ή κάποιον άλλο καθηγητή να μας λύσει την διαφωνία

Ευχαριστώ πολύ αλλά το θεώρησα εξυπνάδα και η σοφία μας κάνει ταπεινούς

gradion

#13

gradion έγραψε:Πολυ ωραία Αντώνη

Ας περιμένουμε τότε τον κ. Στεργίου ή κάποιον άλλο καθηγητή να μας λύσει την διαφωνία .

Ευχαριστώ πολύ αλλά το θεώρησα εξυπνάδα και η σοφία μας κάνει ταπεινούς .

gradion

Παιδιά, είναι ωραία να προκύπτουν θέματα για κουβέντα. Ας διατυπώσει κάποιος από σας τι ακριβώς είναι αυτό στο οποίο διαφωνήσατε(για να μην διαβάσω όλη την αλληλογραφία , λόγω φόρτου εργασίας) και με χαρά θα σας απαντήσουμε.
Το μέλος μας Mulder έχει δώσει την απάντηση στο αρχικό ερώτημα του Αντώνη.

Μπάμπης

gradion · #14

κ.Στεργίου καλησπέρα σας

Αφού διαβάσατε την απάντηση του μέλους , και συμφωνείτε τότε με ολο τον σεβασμό ας μας δώσει το μελος ή εσείς μια h(x)

,
αλλιώς η εννοια της "αποσύνθεσης " οπως συνηθίζεται παίρνει αλλη διάσταση.
Αυτό θεωρείστε το σαν ενδειξη οτι δεν πείστηκα και οχι (για ονομα του ΘΕΟΥ ) να σας αμφισβητήσω

ευχαριστώ

Νασιούλας Αντώνης · #15

gradion έγραψε:κ.Στεργίου καλησπέρα σας

Αφού διαβάσατε την απάντηση του μέλους , και συμφωνείτε τότε με ολο τον σεβασμό ας μας δώσει το μελος ή εσείς μια h(x) ,
αλλιώς η εννοια της "αποσύνθεσης " οπως συνηθίζεται παίρνει αλλη διάσταση.
Αυτό θεωρείστε το σαν ενδειξη οτι δεν πείστηκα και οχι (για ονομα του ΘΕΟΥ ) να σας αμφισβητήσω

ευχαριστώ

Το μέλος έδωσε παραπάνω μια h(x).

Δεν καταλαβαίνει τι άλλο πρέπει να δώσει.

Επίσης όπως ανέφερε παραπάνω υπάρχουν άπειρες άλλες h(x)

που μπορούν να αντικαταστήσουν την προτεινόμενη αρκεί να πληρούν τις προυποθέσεις που αναφέρονται παραπάνω.

Δεν έχω κάτι άλλο να συμπληρώσω πάνω στην άσκηση. Ότι είχα να πω το είπα.
Επομένως, για να μην κουράζω και τα υπόλοιπα μέλη, δεν θα επανέλθω.

Καληνύχτα

#16

gradion έγραψε:κ.Στεργίου καλησπέρα σας

Αφού διαβάσατε την απάντηση του μέλους , και συμφωνείτε τότε με ολο τον σεβασμό ας μας δώσει το μελος ή εσείς μια h(x) ,
αλλιώς η εννοια της "αποσύνθεσης " οπως συνηθίζεται παίρνει αλλη διάσταση.
Αυτό θεωρείστε το σαν ενδειξη οτι δεν πείστηκα και οχι (για ονομα του ΘΕΟΥ ) να σας αμφισβητήσω

ευχαριστώ

Στα μαθηματικά δεν αμφισβητούμε τους ανθρώπους , δεν έχει νόημα, αλλά κυρίως τις αποδείξεις, όταν αυτές περιέχουν κενά .Αυτό δεν είναι καθόλου κακό, μια και οδηγεί συνήθως στην πρόοδο.Ας τα αφήσουμε όμως αυτά, μια και δεν έχουν καμιά σημασία.
Η παρέμβασή μου ήταν να ξεκαθαρίσεις την απορία σου και όχι για κάτι άλλο.

Λοιπόν , όπως έγραψαν και οι άλλοι μας φίλοι, υπάρχουν πολλές συναρτήσεις που ικανοποιούν τις απαιτήσεις της άσκησης.
Μερικές πχ από αυτές είναι και αυτές :

$f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {1 - x} ,x \le \,0}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a\,\,,\,\,\,x\, > \,0} \end{array}} \right.$

Κάθε φορά που δίνεις μια τιμή στο

παίρνεις και μια νέα συνάρτηση.Αν συνεχίζεις να έχεις απορία γράψε εδώ ξανά ή στείλε μου προσωπικό μήνυμα να το συζητήσουμε για όσο χρειαστεί.

Μπάμπης

gradion · #17

Ξανά καλό βράδυ

Απλά αν ο δεύτερος τυπος της f(x)

δεν μπορεί να συντεθεί με την g(x)

,τότε τι πιθανός τύπος ειναι??
Συγγνώμη αν λόγω ωρας δεν πιάνω κάτι.

gradion

Χρήστος Λαζαρίδης · #18

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Να βρείτε τη συνάρτηση τέτοια, ώστε να ισχύει:

$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\sqrt{1+x^2}$ $\kappa \alpha \iota$ $g\left(x\right)=-x^2$ .

Από τη στιγμή που δεν αναφέρει κάτι το σχολικό, εννοείται πως οι σχέσεις ισχύουν $\forall x \in \mathbb{R}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Η άσκηση έχει ψωμί παρόλο που δεν της φαίνεται.
Όσοι γνωρίζουν το ψωμί της, ας την αφήσουν να ασχοληθεί κανείς άλλος.
Καληνύχτα

Το θέμα αυτό το έχει μελετήσει ο Γιώργος Τασσόπουλος, σε άρθρο του στον Ευκλείδη Β΄ με τίτλο
Με αφορμή μια άσκηση του σχολικού βιβλίου.
Για όποιον ενδιαφέρεται το άρθρο βρίσκεται στο τεύχος 70, σελίδα 58.

Φιλικά Χρήστος

gradion · #19

κ. Λαζαρίδη καλημέρα

Θα μπορούσατε με δύο λόγια να μας πείτε τι λέει ο κ. Τασσόπουλος , γιατί εγώ σαν μαθητής δεν εχω πολλά τεύχη του Ευκλείδη

Ευχαριστώ

#20

Μιας και βρίσκω λίγο χρόνο, ας γράψω (αντιγραφή από το "ΕΥΚΛΕΙΔΗ") το σχετικό άρθρο του Γ. Τασσόπουλου

Έχουμε $A_{g}=R,A_{fog}=R$ οπότε για το σύνολο $A{'}=\left\{x\epsilon A_{g}/g(x)\epsilon A_{f} \right\}$ ξέρουμε ότι

A{'}=R

και $f(g(x))=\sqrt{1-g(x)}$ για κάθε $x\epsilon A_{g}=R$ με $g(x)\epsilon A_{h}$ όπου
$h:(-\propto ,0]\rightarrow R:h(x)=\sqrt{1-x}$ δηλαδή $A_{h}=(-\propto ,0]$

Αν λοιπόν θέλουμε η

να είναι μονόκλαδη συνάρτηση, τότε θα έχουμε

$A_{f}\subseteq A_{h}$ δηλαδή

$A_{f}=(-\propto ,a]$ ή $A_{f}=(-\propto ,a)$ με $a\leq 1$
Έστω $A_{f}=(-\propto ,a].$ Αν a<0

τότε

$A{'}=\left\{x\epsilon R/-x^{2}\leq a \right\}=\left\{x\epsilon R/x^{2}\geq -a \right\}=$

$(-\propto ,-\sqrt{-a}]\bigcup{[\sqrt{-a},+\propto )}\neq R$ πράγμα άτοπο, αφού A{'}=R

Αν $0\leq a\leq 1$ τότε $A{'}=\left\{x\epsilon R/-x^{2}\leq a \right\}=R.$

Ανάλογα εργαζόμαστε αν $A_{f}=(-\propto ,a),$ με $0<a\leq 1$

Υπάρχουν λοιπόν άπειρες μονόκλαδες συναρτήσεις της μορφής $f(x)=\sqrt{1-x},$ με $A_{f}=(-\propto ,a] , 0\leq a\leq 1$ ή

$A_{f}=(-\propto ,a) , 0 <a\leq 1$ με ευρύτερο $A_{f}=(-\propto ,1]$ (και όχι μόνο αυτήν που βρίσκει το σχολικό βιβλίο)

Αν τώρα θέλαμε πολύκλαδη συνάρτηση

τότε θα είχαμε

$f(x)=\sqrt{1-x} , x\epsilon (-\propto ,a]$ και

$f(x)=\varphi (x),x>a$ όπου $0\leq a\leq 1$

Η $\varphi (x)$ είναι τυχαία συνάρτηση μονόκλαδη ή πολύκλαδη.

Μία από το σχολικό

Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Re: Μία από το σχολικό

Μέλη σε σύνδεση