'Oριο

#2

thepathofresistance έγραψε: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int_{ - \pi }^\pi {\arctan \left( {\frac{1} {n}\sum\nolimits_{k = 1}^n {k\sin ^2 \left( {kx} \right)} } \right)} dx$

Απάντηση: $\pi ^2$ .

1) Από τον τύπο $2 \sin(2kx) \sin x = \cos (2k-1)x - \cos (2k+1)x$ έχουμε $\displaystyle \sum_{k=1}^N \sin (2kx) = \frac {\cos x - \cos (2N+1)x }{2 \sinx}$ για $x\ne m\pi$ και

αλλιώς.

2) Παραγωγίζοντας είναι $2\displaystyle \sum _{k=1}^N k\cos (2kx) =... =\frac{1}{2} \frac {\cos 2Nx -1}{\sin ^2 x}$ . Γράφοντας $\cos 2kx = 1 - 2 \sin ^2 (kx)$ εύκολα βρίσκουμε ότι

3) $\displaystyle \sum_{k+1}^N k \sin ^2 (kx) = \frac {1}{4}N(N+1) + \frac{1- \cos (2Nx)}{8\sin ^2x}$ για $x\ne m\pi$ και

αλλιώς.

4) Έστω $\epsilon >0$ . Για $x \in [\epsilon, \, \pi - \epsilon]$ έχουμε

$\displaystyle \frac {1}{N} \sum_{k=1}^N k \sin ^2 (kx) = \frac {1}{4}N(N+1) + \frac{1- \cos (2Nx)}{\sin ^2x} \ge \frac{N+1}{4} - \frac {1}{8N} \cdot \frac {2}{\sin ^2 \epsilon } \ge$

$\displaystyle \ge \frac{N+1}{4} - \frac {1}{4} \cdot \frac {1}{ \epsilon ^2}$ .

5) Επιλέγουμε τώρα N_0

τέτοιο ώστε για $N\ge N_0$ να ισχύει $\frac{N+1}{4} - \frac {1}{4} \cdot \frac{1}{ \epsilon ^2} \ge \frac {N+1}{8}$ και συγχρόνως $\arctan \frac {N+1}{8} \ge \frac {\pi}{2} - \epsilon$ .

6) Έχουμε τότε για τέτοια

ότι

$\displaystyle \int _{-\pi} ^{\pi} \arctan \left(\frac {1}{N} \sum_{k=1}^N k \sin ^2 (kx) \right)dx = 2\int _{0} ^{\pi} \arctan \left(\frac {1}{N} \sum_{k=1}^N k \sin ^2 (kx) \right)dx \ge$

$\displaystyle \ge 2\int _{\epsilon} ^{\pi-\epsilon} \arctan \left(\frac {1}{N} \sum_{k=1}^N k \sin ^2 (kx) \right)dx \ge 2\int _{\epsilon} ^{\pi-\epsilon} \arctan \left(\frac {N+1}{8} \right)dx \ge$

$\displaystyle \ge 2 \int _{\epsilon} ^{\pi-\epsilon}\left(\frac {\pi}{2} - \epsilon \right) dx = 2\left(\frac {\pi}{2} - \epsilon \right)(\pi - 2\epsilon)$ (*)

7) Από την άλλη έχουμε ότι

$\displaystyle \int _{-\pi} ^{\pi} \arctan \left(\frac {1}{N} \sum_{k=1}^N k \sin ^2 (kx) \right)dx = 2\int _{0} ^{\pi} \arctan \left(\frac {1}{N} \sum_{k=1}^N k \sin ^2 (kx) \right)dx \le$

$\displaystyle \le 2\int _{0} ^{\pi} \frac {\pi}{2}dx = \pi ^2$ (**).

8) Από τις (*) και (**) το δοθέν ολοκλήρωμα, για $N\ge N_0$ , είναι μεταξύ των $2\left(\frac {\pi}{2} - \epsilon \right)(\pi - 2\epsilon)$ και $\pi ^2$ . Όμως το $\epsilon$ είναι αυθαίρετο θετικό, άρα έπεται το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

'Oριο

'Oριο

Re: 'Oριο

Μέλη σε σύνδεση