εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

vanalex · #1

Καλημέρα,

μια απορία που μου ήρθε χθες..μπορώ να υπολογίσω το εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου γνωρίζοντας όλα τα μήκη των πλευρών του; (χωρίς να γνωρίζω ούτε μία γωνία..) Ευχαριστώ πολύ!

Γιώργος Απόκης · #2

Καλημέρα. Πρέπει να γνωρίζουμε και κάτι ακόμα. Μια γωνία, το μήκος μιας διαγωνίου, τη γωνία των διαγωνίων του κτλ.

Σκέψου για παράδειγμα ότι ένας ρόμβος με πλευρά

δεν έχει το ίδιο εμβαδό με ένα τετράγωνο πλευράς

.

vanalex · #3

Ναι Γιώργο, σ' ευχαριστώ για την απάντηση αλλά την ίδια σκέψη έκανα κι εγώ...απλώς έλεγα μήπως υπάρχει κάποιος τρόπος τον οποίο δε γνωρίζω.

#4

Βέβαια υπάρχει ο λεγόμενος τύπος του Brahmagupta (*) $\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ ο οποίος δίνει το εμβαδόν εγγραψιμου τετραπλεύρου.

Δεν περιμένει κανείς τύπο μόνο με πλευρές για τυχαίο τετράπλευρο. Π.χ. όλοι οι ρόμβοι πλευράς 1 έχουν, φυσικά, τις ίδιες πλευρές μεταξύ τους πλην όμως διαφορετικά εμβαδά.

Μ

(*) ορθότερα του Αρχιμήδη

#5

Με την ευκαιρία:

Από όλα τα τετράπλευρα με γνωστές πλευρές με μήκη a, b, c, d

, μπορούμε (και αν ναι, πώς;) να κατασκευάσουμε εκείνο με το μέγιστο εμβαδό; Ποιοι οι περιορισμοί για τις πλευρές του;

Το αντίστοιχο τετράπλευρο με ελάχιστο εμβαδό προσδιορίζεται;

Δεν έχω απάντηση, μια αυθόρμητη σκέψη της στιγμής έκανα.

Π.χ. για το ρόμβο πλευράς

, εύκολα βλέπουμε ότι μέγιστο εμβαδό έχει το τετράγωνο, με τον τύπο του ημιτόνου της περιεχόμενης γωνίας.
Ελάχιστο θα είχε (γεωμετρικά) νόημα να πούμε ότι είναι 0, όταν εκφυλίζεται σε ευθύγραμμο τμήμα (μία γωνία $0^{0}$ και μία $180^{0}$ );

Καλό μήνα σε όλους!

#6

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Από όλα τα τετράπλευρα με γνωστές πλευρές με μήκη , μπορούμε (και αν ναι, πώς;) να κατασκευάσουμε εκείνο με το μέγιστο εμβαδό; Ποιοι οι περιορισμοί για τις πλευρές του;

Είναι γνωστό ότι το μέγιστο εμβαδόν το έχει το εγγράψιμμο. Αυτό έπεται από τον τύπο του εμβαδού

$E = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos ^2\frac {A+C}{2}}$

Ο τύπος αυτός παίρνει την μέγιστη τιμή όταν A+C= 180^o

, δηλαδή για εγγράψιμο.

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Το αντίστοιχο τετράπλευρο με ελάχιστο εμβαδό προσδιορίζεται;

Τουλάχιστον σε κάποιες περιπτώσεις (όπως αν a+b=c+d

) δεν υπάρχει τετράπλευρο με ελάχιστο εμβαδόν αλλά μπορούμε να πάρουμε εμβαδόν όσο μικρό θετικό θέλουμε. Διαισθητικά (αλλά γίνεται και αυστηρά) πάρε ένα αρθρωτό τετράπλευρο. Πίεσε τώρα δύο απέναντι κορυφές του να έρθουν κοντά η μία στην άλλη, κάνοντας το αρθρωτό σχεδόν χωρίς πάχος. Τότε έχει εμβαδόν σχεδόν μηδέν.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: έκανα μία διόρθωση στο αρχικό κείμενο.

KARKAR · #7

Δες και εδώ , απ΄όπου και σχετική παραπομπή :viewtopic.php?f=62&t=14527&hilit=+%CF%8 ... E%BF%CF%82

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε:Βέβαια υπάρχει ο λεγόμενος τύπος του Brahmagupta (*) $\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ ο οποίος δίνει το εμβαδόν εγγραψιμου τετραπλεύρου.

* ... για να '' δω '' τις αντοχές μου στο γράψιμο

-----------------------------------------------------------

$\bullet ~~\displaystyle{2s=a+b+c+d}$

$\bullet ~~\displaystyle{E=(ABCD)=(ABC)+(ACD)=\frac{1}{2}\sin B (ab+cd),~~(\sin B=\sin D)}$

$\bullet ~~\displaystyle{AC^2=a^2+b^2-2ab\cos B,~~(1)}$

$\bullet ~~\displaystyle{AC^2=c^2+d^2+2cd\cos B,~~ ( \cos D=-\cos B),~~(2)}$

$\bullet ~~\displaystyle{(1),(2)\Rightarrow \cos B=\frac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(cd+ab)}}$

$\bullet ~~\displaystyle{\sin ^2B=1-\cos^2B=1-\frac{(c^2+d^2-a^2-b^2)^2}{4(cd+ab)^2}= \pi \rho\alpha\xi\epsilon \iota s ~~ =\frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(b+c+d-a)}{4(cd+ab)^2}}$

$\displaystyle{\sin^2B=\frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(cd+ab)^2}\Rightarrow \sin B=\frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(cd+ab)}\Rightarrow \boxed{E=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

parmenides51 · #9

Μια διαφορετική απόδειξη του τύπου του Brahmagupta εδώ.

#10

Σάς ευχαριστώ όλους για τις άμεσες απαντήσεις και τις όμορφες προεκτάσεις που δώσατε!

Αλέξανδρος_ · #11

Βρίσκουμε τα μέσα τον πλευρών του και τα ενώνουμε θα δημιουργηθεί ένα σχήμα με τις απέναντι πλευρές παράλληλες εύκολα βρίσκουμε το εμβαδόν του βάση επί ύψος και το πολλαπλασιάζουμε επί 2 και βρίσκουμε το εμβαδόν του τυχαίου τετραπλεύρου
https://www.inwww.eu/Geo/emvado.html

#12

Αλέξανδρος_ έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 15, 2022 9:58 am
Βρίσκουμε τα μέσα τον πλευρών του και τα ενώνουμε θα δημιουργηθεί ένα σχήμα με τις απέναντι πλευρές παράλληλες εύκολα βρίσκουμε το εμβαδόν του βάση επί ύψος και το πολλαπλασιάζουμε επί 2 και βρίσκουμε το εμβαδόν του τυχαίου τετραπλεύρου
https://www.inwww.eu/Geo/emvado.html

Καλώς ήλθες στο mathematica.

Σωστό αυτό που γράφεις αλλά είναι δυσκολότερος τρόπος διατύπωσης κάποιου απλού θέματος. Συγκεκριμένα:

Είναι γνωστό και απλό ότι το εμβαδόν τετραπλεύρου ως προς τις διαγωνίους του $d_1,\, d_2$ είναι $\frac {1}{2} d_1d_2 \sin \theta$ , όπου $\theta$ η γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιοι. Ο τύπος που γράφεις είναι από τις μεσοπαράλληλες, που η καθεμία είναι το μισό της διαγωνίου. Επίσης στο παραλληλόγραμμο που σχεδίασες, οι γωνίες του είναι ακριβώς οι γωνίες των διαγωνίων. Οπότε το εμβαδόν του είναι $\dfrac {d_1}{2} \dfrac {d_2}{2} \sin \theta$ . Με άλλα λόγια ερχόμαστε στον ίδιο τύπο ντυμένο λίγο αλλιώς, χωρίς αλλαγή στην ουσία.

Αλέξανδρος_ · #13

Ευχαριστώ αν και ποια είμαι μεγάλος και δεν έχω το μυαλό να ασχοληθώ με μαθηματικά
Απάντησα στο μήνυμα αν γίνετε να βρεις το εμβαδο τυχαίου τετραπλεύρου χωρίς να γνωρίζεις καμία γωνία, και αυτός ο τρόπος είναι πολύ καλός αν βρίσκεσαι σε μια έκταση με μόνο μια κορδέλα μετρήματος και θέλεις να βρεις το εμβαδο μιας επιφανείας .
Κατά τα άλλα το βρήκα τυχαία καθώς σχεδίαζα σε ένα πρόγραμμα γεωμετρίας.
Βγαίνει σωστό με οποιοδήποτε τυχαίο τετράπλευρο δεν έχω Μαθηματική γνώση και δεν το έχω αναπτύξει περισσότερο.
Απλός γράφτηκα στην σελίδα για να απαντήσω σε ένα ερώτημα που το είχα σκεφτεί και εγώ και βρήκα την απάντηση.

εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Re: εμβαδόν τυχαίου τετράπλευρου

Μέλη σε σύνδεση