Βρείτε τους!

#1

Να βρεθούν οι πραγματικοί $\displaystyle{a,b,c,d}$ , οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2+d^2=a(b+c+d).}$

#2

matha έγραψε:Να βρεθούν οι πραγματικοί $\displaystyle{a,b,c,d}$ , οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2+d^2=a(b+c+d).}$

Η σχέση γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{a^2-a(b+c+d)+b^2+c^2+d^2=0}$

Αν την θεωρήσουμε ως δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς

θα πρέπει η διακρίνουσα της να μην είναι αρνητική,

δηλαδή $\displaystyle{(b+c+d)^2 \ge 4(b^2+c^2+d^2) \Rightarrow 2cb+2bd+2dc \ge 3(b^2+c^2+d^2)}$

$\displaystyle{2(b^2+c^2+d^2) \ge 3(b^2+c^2+d^2) \Rightarrow 0 \ge b^2+c^2+d^2}$

$\displaystyle{ \Rightarrow b=c=d=0 \Rightarrow a=b=c=d=0}$

G.Bas · #3

matha έγραψε:Να βρεθούν οι πραγματικοί $\displaystyle{a,b,c,d}$ , οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2+d^2=a(b+c+d).}$

Μια δεύτερη λύση.

Απο AM-GM έχουμε ότι

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2+d^2=a(b+c+d)\leq\frac{(a+(b+c+d))^2}{4}}$

ή

$\displaystyle{4(a^2+b^2+c^2+d^2)\leq (a+b+c+d)^2}$ όπου είναι η CS με ανάποδη φορά. Οπότε, $\displaystyle{a=b=c=d}$ .

Αντικαθιστόντας στην υπόθεση παίρνουμε ότι $\displaystyle{4a^2=3a^2}$

ή $\displaystyle{a=0}$ . Δηλαδή, $\displaystyle{a=b=c=d=0}$

G.Bas · #4

G.Bas έγραψε:
matha έγραψε:Να βρεθούν οι πραγματικοί $\displaystyle{a,b,c,d}$ , οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2+d^2=a(b+c+d).}$

Μια δεύτερη λύση.

Απο AM-GM έχουμε ότι

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2+d^2=a(b+c+d)\leq\frac{(a+(b+c+d))^2}{4}}$

ή

$\displaystyle{4(a^2+b^2+c^2+d^2)\leq (a+b+c+d)^2}$ όπου είναι η CS με ανάποδη φορά. Οπότε, $\displaystyle{a=b=c=d}$ .

Αντικαθιστόντας στην υπόθεση παίρνουμε ότι $\displaystyle{4a^2=3a^2}$

ή $\displaystyle{a=0}$ . Δηλαδή, $\displaystyle{a=b=c=d=0}$

Οχ, μόλις τώρα πρόσεξα πως η υπόθεση μας λέει ότι οι $\displaystyle{a,b,c,d}$ είναι πραγματικοί. Οπότε η εφαρμογή της AM-GM είναι λάθος, eh ;

#5

Γιώργο δεν υπάρχει πρόβλημα. $xy\leq\frac{(x+y)^2}{4}$ για όλους τους πραγματικούς x,y

G.Bas · #6

smar έγραψε:Γιώργο δεν υπάρχει πρόβλημα. $xy\leq\frac{(x+y)^2}{4}$ για όλους τους πραγματικούς x,y

hmm

οκ, σε ευχαριστώ Σιλουανέ.

konstantinos21 · #7

Μια ακόμα λύση : έχουμε ότι ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=a(b+c+d)$ πολλαπλασιάζουμε τα δυο μέλη της εξίσωσης με 4 και έπειτα από πράξεις έχουμε ότι ${{(a-2b)}^{2}}+{{(a-2c)}^{2}}+{{(a-2d)}^{2}}+{{a}^{2}}=0$ άρα a=b=c=d=0

Βρείτε τους!

Βρείτε τους!

Re: Βρείτε τους!

Re: Βρείτε τους!

Re: Βρείτε τους!

Re: Βρείτε τους!

Re: Βρείτε τους!

Re: Βρείτε τους!

Μέλη σε σύνδεση