Λύσεις Μαθ. κατ. 2009

[Τηλέγραφος Κώστας]

Αλλος ενας τροπος για τα
θεμα 2 α
θεμα 3βα

[iolis]

Καλησπέρα. Συμφωνώ απόλυτα με τις ενστάσεις του iosifile ως προς τη λύση του 3Α.
Πριν καιρό είχα θέσει παρόμοιο προβληματισμό στο viewtopic.php?f=55&t=433
και από τις απαντήσεις που πήρα αυτή που με κάλυψε ήταν του συνάδελφου Ροδόλφου Μπόρη.
Βέβαια και γω πιστεύω ότι δεν πρέπει να κοπούν μόρια από κάποιο μαθητή που την έλυσε όπως συνηθίζεται άσχετα αν διαφωνώ με τον κατεστημένο τρόπο λύσης αυτού του είδους ασκήσεων.

Δίνω και γω στο παρακάτω συνημμένο τον τρόπο με τον οποίο σκέφθηκα το θ.Rolle.

[gbaloglou]

Έχω κάποιες επιφυλάξεις ως προς τη λύση του 3Α.
Δείτε το σχετικό αρχείο.
Φιλικά
Λ.Ιωσηφίδης

Δεν βλεπω γιατι απαιτειται να δειξουμε οτι το σημειο μηδενισμου της παραγωγου ειναι μοναδικο: απο την στιγμη που συμφωνουμε οτι η συναρτηση εχει οντως τοπικο ελαχιστο στο 0 *και* οτι η σχεση f'(0) = 0 οντως συνεπαγεται a = e, που ειναι το προβλημα? Γιατι να μας ενοχλει η ενδεχομενη υπαρξη καποιου αλλου τοπικου ακροτατου και καποιου μη μηδενικου ξ οπου f'(ξ) = 0?

Γιωργος Μπαλογλου

[iolis]

Νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα γιατί αν εγώ βρω ότι και , τότε θα πρέπει να απορρίψω ότι εφ΄όσον μου ζητείται ν.δ.ο .

[chris_gatos]

Μια πρόταση , για το θέμα που συζητιέται εδω, Αντί να λέμε οτι μπορεί να έχει βγεί a=e ή α=4 ή a=9, δε θα ήταν καλύτερο να προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε ένα απτό παράδειγμα άσκησης , όπου πραγματικά θα είχαμε πρόβλημα;
Εγω μόλις πριν απο λίγο γύρισα απο επίσκεψη και το παλεύω...

[gbaloglou]

Μια πρόταση , για το θέμα που συζητιέται εδω, Αντί να λέμε οτι μπορεί να έχει βγεί a=e ή α=4 ή a=9, δε θα ήταν καλύτερο να προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε ένα απτό παράδειγμα άσκησης , όπου πραγματικά θα είχαμε πρόβλημα;
Εγω μόλις πριν απο λίγο γύρισα απο επίσκεψη και το παλεύω...

Σωστα: ενω υπαρχει πολυ συγκεκριμενος λογος για τον οποιο η f'(0) = 0 συνεπαγεται την a = e, δεν υπαρχει λογος να χανουμε τον υπνο μας υποπτευομενοι οτι (πχ) *ισως* η f'(1.4376) = 0 συνεπαγεται την a = 3.8367...

Γιωργος Μπαλογλου

[gbaloglou]

Καλησπέρα. Συμφωνώ απόλυτα με τις ενστάσεις του iosifile ως προς τη λύση του 3Α.
Πριν καιρό είχα θέσει παρόμοιο προβληματισμό στο viewtopic.php?f=55&t=433

Επισκεφθηκα την συγκεκριμενη συζητηση και βλεπω οτι η εκει απαντηση του Αλεξανδρου ειναι στο ιδιο πνευμα με τα σχολια που εκανα εδω.

Γιωργος Μπαλογλου

[chris_gatos]

Θέση με την οποία συμφωνώ κι εγώ. Αφού η άσκηση ''προστάζει'' να απαντήσουμε πως a=e και το πράττουμε
γιατί άραγε να μας ενδιαφέρει τι γίνεται πιο δίπλα; Αν βρεθεί κάποιο παράδειγμα που να δημιουργείται πρόβλημα θα ήταν πολύ ενδιαφέρον...

[m.pαpαgrigorakis]

Kαλησπέρα
Να εκφράσω και εγώ την επιφύλαξή μου σε σχέση με το αν απαιτείται η απόδειξη της μοναδικότητας του -εσωτερικού- σημείου -xo- το οποίο είναι θέση ολικού ακροτάτου της συνάρτησης και στο οποίο η παράγωγος μηδενίζεται.
Ακόμα και αν υπήρχε δεύτερο σημείο x1- το οποίο έχει την ίδια ιδιότητα τότε:
Α) Αυτό δεν αναιρεί την ιδιότητα που έχει το -xo- από όπου προκύπτει ότι a=e.
Β) Λογικά θα έπρεπε και το σημείο x1 να οδηγεί στο a=e ή a=...κάτι άλλο από όπου όμως πάλι θα παίρναμε το a=e, λόγω συναλήθευσης, διαφορετικά η άσκηση θα μας ζητάει να αποδείξουμε κάτι που δεν είναι αληθές.
Η διερεύνηση της ύπαρξης δεύτερου σημείου θα ήταν αναγκαία στην περίπτωση που η άσκηση δεν ζητούσε να αποδείξουμε ότι a=e αλλά να βρούμε αν υπάρχει a
Μπορεί να κάνω λάθος εγώ
Μ. Παπαγρηγοράκης

Συμφωνώ με τον κ Μπαλογλου

Δεν βλεπω γιατι απαιτειται να δειξουμε οτι το σημειο μηδενισμου της παραγωγου ειναι μοναδικο: απο την στιγμη που συμφωνουμε οτι η συναρτηση εχει οντως τοπικο ελαχιστο στο 0 *και* οτι η σχεση f'(0) = 0 οντως συνεπαγεται a = e, που ειναι το προβλημα? Γιατι να μας ενοχλει η ενδεχομενη υπαρξη καποιου αλλου τοπικου ακροτατου και καποιου μη μηδενικου ξ οπου f'(ξ) = 0?

Γιωργος Μπαλογλου

Υ Γ
Ανεξάρτητα από το αν απαιτείται ή όχι η απόδειξη της μοναδικότητας νομίζω σε καμμία περίπτωση δεν πρέπει να μπούμε στη λογική του να κόψουμε μόρια από τα παιδιά.

[polydeykhs]

Νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα γιατί αν εγώ βρω ότι και , τότε θα πρέπει να απορρίψω ότι εφ΄όσον μου ζητείται ν.δ.ο .

Επί της ουσίας για το θέμα που τέθηκε από τον συνάδελφο κ. Ιωσηφίδη έχω να παρατηρήσω ότι δεν ευσταθεί η επιφύλαξη που διατυπώνει, διότι πολύ απλά η τιμή α=e προκύπτει από μια σειρά ΑΝΑΓΚΑΙΩΝ προτάσεων (συνεπαγωγών) όπως είναι το θεώρημα Fermat . Οι αναγκαίες συνθήκες όμως οδηγούν σε υπερσύνολα και όχι σε υποσύνολα.
Π.χ. αν χ=2 συνεπάγεται χ στο τετράγωνο = 4 δηλαδή ο χ εμφανίζεται να παίρνει τιμές σε ευρύτερο σύνολο από το προγενέστερο της συνεπαγωγής.
Έτσι πρόβλημα θα είχαμε αν για τον α προέκυπταν περισσότερες από μια τιμές οπότε θα έπρεπε να κάνουμε και τη σχετική εκτενέστερη μελέτη της συνάρτησης.
Επίσης θα χρειαζόμασταν την περαιτέρω μελέτη (απόδειξη μοναδικότητας κλπ) αν η εκφώνηση έλεγε να βρεθεί ο α ώστε ....κάτι που επισημαίνεται στα σοβαρά φροντιστηριακά βιβλία .
Συγχαίρω για την όμορφη και γόνιμη κουβέντα πάντως που αναπτύσσεται στο mathematica και θα προσπαθήσω να είμαι πιο ενεργός.
Στέλνω επίσης στο φίλο Μιχάλη Λάμπρου τα χαιρετίσματά μου καθώς και στους συμφοιτητές και φίλους Ευβοιώτες Μπάμπη (Στεργίου) και Αποστόλη (Μπεληγιάννη).
Αποστόλης Παπανικολάου

[gbag]

Λεωνίδα Ιωσηφίδη, γράφεις

Διότι αν η f παρουσιάζει το ίδιο ολικό ελάχιστο για χ=χ0....

αφήνεις να εννοηθεί ότι έχουμε περισσότερα από ένα ολικά ελάχιστα τότε δεν είναι ολικά είναι τοπικά.
Το ολικό είναι Μοναδικό άρα δεν χρειάζονται τα υπόλοιπα κατά τη γνώμη μου.
Γιωργος Μ.

[Α.Κυριακόπουλος]

Έχω κάποιες επιφυλάξεις ως προς τη λύση του 3Α.
Δείτε το σχετικό αρχείο.
Φιλικά
Λ.Ιωσηφίδης

Αγαπητέ Λεωνίδα.
Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι ο προβληματισμός σου για την λύση του θέματος 3Α των μαθηματικών κατεύθυνσης, είναι αβάσιμος . Στη λύση του θέματος αυτού δεν υπεισέρχεται καμία εξίσωση και ούτε χρειάζεται να αποδείξουμε τη μοναδικότητα της λύσης καμιάς εξίσωσης( συνημμένο σου). Απλά, από το θεώρημα του Fermat συμπεραίνουμε ότι f΄(0)=0 ( η ισότητα αυτή δεν είναι μια εξίσωση). Μετά, αποδεικνύουμε ότι αναγκαία συνέπεια της ισότητας αυτής είναι η ισότητα α=e. Και εδώ τελειώνει η λύση του θέματος 3Α. Ο φόβος σου είναι, μήπως υπάρχει και άλλος αριθμός ξ, διάφορος του 0 ,από το εσωτερικό του συνόλου ορισμού της συνάρτησης , με f ΄(ξ)=0, οπότε, όπως λες, δεν είναι σίγουρο ότι α=e. Δηλαδή, δεν είναι σίγουρο κάτι που αποδείξαμε; Απλούστατα, τέτοιος αριθμός ξ που η ισότητα f΄(ξ)=0 να έχει σαν αναγκαία συνέπεια: α διάφορο του e, δεν υπάρχει. Γιατί, αν υπήρχε φθάνουμε σε άτοπο(α=e και α διάφορο του e).
Έχω τη γνώμη ότι δεν είναι σωστό να αναστατώνουμε τους μαθητές, που έδωσαν εξετάσεις, χωρίς λόγο με ανύπαρκτα θέματα.
Υ.Γ. Αγαπητέ Ροδόλφε. Δεν έπρεπε να σπεύσεις να διορθώσεις τη λύση σου.Δεν χρειάζονται αυτά που πρόσθεσες.

[hsiodos]

Έχω κάποιες επιφυλάξεις ως προς τη λύση του 3Α.
Δείτε το σχετικό αρχείο.
Φιλικά
Λ.Ιωσηφίδης

Διότι αν η f παρουσιάζει το ίδιο ολικό ελάχιστο για x =  όπου x0 ≠0, τότε δεν είναι σίγουρο ότι α=e αλλά μπορεί το α να παίρνει και άλλη τιμή.

Καλημέρα Λεωνίδα
Από την σχέση f΄(0) = 0 οδηγούμαστε σε εξίσωση(με άγνωστο το α)(εδώ διαφωνώ με τον αγαπητό κ.Κυριακόπουλο του οποίου θα ήθελα την διόρθωση αν κάνω λάθος) . Η εξίσωση αυτή έχει μοναδική λύση ως προς α και επομένως δεν χρειάζεται κάτι άλλο να κάνουμε.

Γιώργος

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Συνάδελφοι, καλημέρα.
Θα παρακαλούσα , επειδή μας παρακολουθούν και μαθητές, να μην τους αναστατώνουμε.
Αυτά που συζητάτε δεν αφορούν τον λύτη (μαθητή), αλλά αυτόν που φτιάχνει την άσκηση.
Αν εμφανιζόταν η περίπτωση το ολικό ακρότατο να εμφανίζεται σε περισσότερες θέσεις, τότε:
ή δεν έμπαινε το θέμα αυτό
ή
θα μιλάγαμε για λάθος θέμα.
Το θέμα είναι σωστό και η λύση χρειάζεται τίποτε άλλο.
Με εκτίμηση
Θωμάς

[chris_gatos]

Μα Θωμά μου, και σε άλλη τιμή να είχε ολικό ελάχιστο και πάλι σωστά θα απαντούσε ο κόσμος. Αφού αυτό ζητάει η άσκηση , παρατηρεί και αυτό πράττει. Εγω επιμένω στην παρουσίαση ενός αντιπαραδείγματος (αν υπάρχει), που να φαίνεται το πρόβλημα που δημιουργείται.
Συμφωνώ σε οτι έχει να κάνει με τη ψυχολογία των παιδιών...

[Μπάμπης Στεργίου]

Συνάδελφοι και φίλοι, καλημέρα !

Χθες ήμουν όλη τη μέρα στο βαθμολογικό , είχαμε την πειραματική βαθμολόγηση , διορθώνεται και η γενική παιδεία (που πάει πολύ καλά σε βαθμούς!) και γύρισα στις 11 το βράδυ. Δεν πρόλαβα να ανοίξω τον υπολογιστή και μπήκα μόλις τώρα !
Δεν σας κρύβω ότι μου κάνει εντύπωση που γίνεται τόση συζήτηση για το α =e και αν θέλει (από μαθηματικής άποψης) περαιτέρω επεξεργασία, διότι νόμιζα ότι το θέμα αυτό έχει ξεκαθαριστεί(όπως είχα γράψει και στο σύνδεσμο που αναφέρθηκε).

Στο συγκεκριμένο θέμα των εξετάσεων δεν χρειάζεται απολύτως καμία επαλήθευση της τιμής a = e , διότι το ερώτημα ήταν '' να αποδειχθεί ότι ..''

Το εξήγησε με απόλυτη σαφήνεια ο Αντώνης και δεν θέλω να επαναλαμβάνω τα ίδια πράγματα.

Ούτε υπάρχει περίπτωση να υπάρχει και άλλη τιμή του α , μια και αυτή προέκυψε από αναγκαία συνθήκη(πάλι το εξήγησε ο Αντώνης).

Σε κατ' ιδίαν συζητήσεις και με τον ίδιο τρόπο το έχω εξηγήσει αυτό ,τηλεφωνικά, σε πολλούς συναδέλφους που κατά καιρούς επικοινώνησαν μαζί μου.Αλλά και στο βιβλίο μου Γ2, σελίδες 220 - 222 έχω αφιερώσει δύο λυμένες ασκήσεις που απαντούν μεθοδολογικά σε όλα τα σχετικά ερωτήματα που τέθηκαν εδώ και διαφωτίζουν όλες τις διαφορές.Άλλο η εκφώνηση '' να αποδείξετε ότι... '' και άλλο η : '' να βρείτε τις τιμές του α , ώστε ....''. Η δεύτερη περίπτωση θέλει επαλήθευση υποχρεωτικά. Η πρώτη όχι, ακόμα και αν η άσκηση είναι λάθος ! Όλες οι αναγκαίες σχέσεις που βασίζονται στο Fermat θα δώσουν μία τουλάχιστον κοινή τιμή. Αφού στο πρόβλημά μας υπάρχει μία αναγκαία σχέση , η που δίνει α = e , το θέμα τελειώνει οριστικά ! Μη νομίζετε ότι και γω δεν κλονίστηκα μερικές φορές που μου τέθηκαν τα ίδια ερωτήματα από καλούς συναδέλφους. Βασανίστηκα πολύ μέχρι να καταλήξω να γράψω αυτά που αναφέρω στο Γ2 και το παραδέχομαι ότι με βοήθησαν οι περιορισμένες μου γνώσεις στον προτασιακό λογισμό και στις αποδεικτικές μεθόδους που περιγράφει ο Hamilton στο βιβλίο του ''λογική για μαθηματικούς ''(στα αγγλικά).

Με το θέμα αυτό και τον προβληματισμό που αναπτύχθηκε αποδεικνύεται περίτρανα η επιμονή και εμμονή του Αντώνη Κυριακόπουλο στην αξία της βαθειάς γνώσης των βασικών αποδεικτικών κανόνων και της μαθηματικής λογικής !!!(Αντώνη, πιο κατάλληλη περίπτωση από αυτή δεν θα μπορούσε να τύχει !).


Καλή σας μέρα και καλή δύναμη, είτε διορθώνετε γραπτά είτε κάνετε μάθημα είτε ..διακοπές !

Μπάμπης

[Α.Κυριακόπουλος]

Καλημέρα Λεωνίδα
Από την σχέση f΄(0) = 0 οδηγούμαστε σε εξίσωση(με άγνωστο το α)(εδώ διαφωνώ με τον αγαπητό κ.Κυριακόπουλο του οποίου θα ήθελα την διόρθωση αν κάνω λάθος) . Η εξίσωση αυτή έχει μοναδική λύση ως προς α και επομένως δεν χρειάζεται κάτι άλλο να κάνουμε.

Γιώργος

Αγαπητέ Γιώργο.
Το συμπέρασμα του θεωρήματος του Fermat δεν είναι καμία εξίσωση, αλλά μια ισότητα: f΄(0)=0. Από την ισότητα αυτή συνεπάγεται η ισότητα: α=e. Που βλέπεις να υπεισέρχεται εξίσωση; Δεν πρέπει να συγχέουμε την έννοια της ισότητας με την έννοια της εξίσωσης.

[Μπάμπης Στεργίου]

.................... Εγω επιμένω στην παρουσίαση ενός αντιπαραδείγματος (αν υπάρχει), που να φαίνεται το πρόβλημα που δημιουργείται.
......................................

Χρήστο , δεν υπάρχει περίπτωση να βρει κάποιος τέτοιο παράδειγμα ! Άσκοπα θα ψάχνει !

Όλες οι αναγκαίες σχέσεις που θα βρεις πρέπει να συμφωνούν τουλάχιστον σε μία κοινή τιμή , αν το πρόβλημα είναι σωστό!!! Αν από μία αναγκαία σχέση βρεις μόνο μία τιμή , αυτή είναι και η μόνη (πιθανώς )δεκτή τιμή !

Κάνουμε την επαλήθευση για αυτή την τιμή( αν το ζητούμενο είναι να βρούμε τις τιμές του α , ώστε να ισχύει η σχέση (Σ) ) και έχουμε τελειώσει οριστικά και αμετάκλητα (για να κάνουμε και λίγο πιο ζεστό διάλογο !).


Άλλη τιμή για το α δεν θα υπάρξει με κανένα Θεό !Αν βέβαια συμβεί να βρεις μόνο μία αναγκαία συνθήκη και από αυτή βρεις δύο ή παραπάνω τιμές για το α , τότε αυτές τις τιμές πρέπει μία- μία να τις επαληθεύσεις και δεν αποκλείεται να είναι όλες δεκτές! Αλλά το ερώτημα , όπως τέθηκε, είναι διαφορετικό από την παραπάνω περίπτωση !

Μπάμπης

[chris_gatos]

Μπάμπη μου μην το λες σ'εμενα ...Εγω κατανόησα και έμαθα κιόλας.(Ποτέ δεν ντρεπόμουν να το λεω!)

[gbaloglou]

Μα Θωμά μου, και σε άλλη τιμή να είχε ολικό ελάχιστο και πάλι σωστά θα απαντούσε ο κόσμος. Αφού αυτό ζητάει η άσκηση , παρατηρεί και αυτό πράττει. Εγω επιμένω στην παρουσίαση ενός αντιπαραδείγματος (αν υπάρχει), που να φαίνεται το πρόβλημα που δημιουργείται.

Χρηστο δεν μπορει να υπαρχει τετοιο αντιπαραδειγμα: δεν ειναι δυνατον η υπαρξη ακροτατου στο Χ1 να συνεπαγεται Α και η υπαρξη ακροτατου στο Χ2 να συνεπαγεται Β, οπου Α και Β αλληλοαποκλειονται.

Γενικοτερα, και μια και ηδη αναφερθηκε η Μαθηματικη Λογικη, δεν ειναι δυνατον να εχουμε Θ, Φ αληθεις με Θ ---> Α, Φ ---> Β, και Α+Β ψευδη: αυτο θα ηταν συνεπαγωγη ψευδους απο αληθες...

Γιωργος Μπαλογλου