Δύο ακρότατα

#1

Δίνονται οι αριθμοί a,b,c

(

) και η συνάρτηση $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c), x \in \mathbb{R}$
α) Να δειχθεί ότι η

παρουσιάζει ακριβώς δύο τοπικά ακρότατα στα σημεία $x_1\in (a,b)$ και $x_2 \in (b,c)$
β) Να βρεθεί το είδος του ακροτάτου που παρουσιάζει στο x_1

και αυτού που παρουσιάζει στο x_2

γ) Να αποδειχθεί ότι το x_1

βρίσκεται πλησιέστερα στο

από το

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

onedeadslime · #2

α) Η f είναι πολυώνυμο άρα παραγωγίσιμη παντού. f(a)=f(b) άρα υπάρχει x1 στο (α,b) ώστε να μηδενίζεται η παράγωγος (Rolle). Ομοίως υπάρχει χ2 στο (b,c) ώστε να μηδενίζεται η παράγωγος.

Τώρα, η παράγωγός της θα είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού με δύο λύσεις (και έναν τύπο). Από θεωρία β' λυκείου ξέρουμε πως σε αυτές αλλάζει το πρόσημο εκατέρωθεν των λύσεων. Άρα το χ1 και χ2 θα είναι ακρότατα της f.

β) Στην α' λυκείου είχαμε τον κανόνα ΟΕΟ δηλαδή ομόσημο- ετερόσημο- ομόσημο, δηλαδή για ένα τριώνυμο, για τιμές μικρότερες της πρώτης ρίζας το τριώνυμο έχει ίδιο πρόσημο με τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου, για τιμές ανάμεσα αντίθετο πρόσημο και για τιμές μεγαλύτερης της δεύτερης πάλι ίδιο πρόσημο.
Και επειδή η f' είναι τριώνυμο (με συντελεστή 3, αφού αρχικά είναι x^3

και με παραγώγιση 3x^2

, θετικό δηλαδή, αρχικά είναι θετική και μετά αρνητική, άρα από γνωστό θεώρημα η f έχει τοπικό μέγιστο στο χ1 , και μετά είναι αρνητική και γίνεται θετική, άρα στο χ2 τοπικό ελάχιστο.

γ) Εκκρεμεί (όποιος το βρει ας το πει!)

chris · #3

Το τρίτο ερώτημα έχει ενδιαφέρον.Πάμε:

Για $x \in (a,b)$ έχουμε:
$\displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\Leftrightarrow lnf(x)=ln(x-a)+ln|x-b|+ln|x-c|$
και παραγωγίζοντας έχουμε:

$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c},x \in (a,b)$
οπότε
$\displaystyle \frac{f'(x_1)}{f(x_1)}=\frac{1}{x_1-a}+\frac{1}{x_1-b}+\frac{1}{x_1-c}\Rightarrow \frac{2x_1-(a+b)}{(x_1-a)(x_1-b)}=-\frac{1}{x_1-c}>0\stackrel{(x_1-a)(x_1-b)<0}\Rightarrow 2x_1-(a+b)<0\Rightarrow x_1<\frac{a+b}{2}$

δηλαδή το ζητούμενο!

GMANS · #4

για το (γ ) λίγο διαφορετικά …

$f\acute{}(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)$
οπότε

$f\acute{}(\frac{a+b}{2})=-(\frac{b-a}{2})^2<0$
επομένως

$\frac{a+b}{2}\varepsilon (x_1,x_2)$
Τελικά

$a<x_1<\frac{a+b}{2}<b<x_2<c$

#5

chris έγραψε:Το τρίτο ερώτημα έχει ενδιαφέρον.Πάμε:

Για $x \in (a,b)$ έχουμε:
$\displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\Leftrightarrow lnf(x)=ln(x-a)+ln|x-b|+ln|x-c|$
και παραγωγίζοντας έχουμε:

$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c},x \in (a,b)$
οπότε
$\displaystyle \frac{f'(x_1)}{f(x_1)}=\frac{1}{x_1-a}+\frac{1}{x_1-b}+\frac{1}{x_1-c}\Rightarrow \frac{2x_1-(a+b)}{(x_1-a)(x_1-b)}=-\frac{1}{x_1-c}>0\stackrel{(x_1-a)(x_1-b)<0}\Rightarrow 2x_1-(a+b)<0\Rightarrow x_1<\frac{a+b}{2}$

δηλαδή το ζητούμενο!

Χρήστο, πολύ ενδιαφέρουσα λύση

Δύο ακρότατα

Δύο ακρότατα

Re: Δύο ακρότατα

Re: Δύο ακρότατα

Re: Δύο ακρότατα

Re: Δύο ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση