Μέθοδος Numerov

dement · #1

Καλημέρα σε όλους.

Η μέθοδος Numerov για την αριθμητική επίλυση ενός συγκεκριμένου τύπου διαφορικών εξισώσεων είναι από τις μεγάλες μας αγάπες ημών των κβαντικών.

Εστω η διαφορική εξίσωση $y^{\prime \prime} (x) = f(x) y(x)$ (όπου η

γνωστή, φραγμένη συνάρτηση και η $y \in C^6$ ) και έστω οι αρχικές τιμές y(x-h), y(x)

.

Αποδείξτε ότι

$\displaystyle y(x+h) = \frac{1}{1 - \frac{f(x+h) h^2}{12}} \left[ \left( 2 + \frac{5 f(x) h^2}{6} \right) y(x) - \left( 1 - \frac{f(x-h) h^2 }{12} \right) y(x-h) \right]$ με σφάλμα $\mathcal O(h^6)$ .

#2

Αφού $y\in C^6$ , θα έχει φραγμένη

η παράγωγο στη γειτονιά του

. Από Taylor λοιπόν θα πάρουμε

$\displaystyle{y(x+h)=y(x)+y{'}(x)h+\frac{y{''}(x)h^2}{2!}+\frac{y^{(3)}(x)h^3}{3!}+\frac{y^{(4)}(x)}{h^4}{4!}+\frac{y^{(5)}(x)h^5}{5!}+\mathcal O(h^6)}$

και αντίστοιχα

$\displaystyle{y(x-h)=y(x)-y{'}(x)h+\frac{y{''}(x)h^2}{2!}-\frac{y^{(3)}(x)h^3}{3!}+\frac{y^{(4)}(x)}{h^4}{4!}-\frac{y^{(5)}(x)h^5}{5!}+\mathcal O(h^6)}$ .

Προσθέτοντας κατά μέλη και βάζοντας όπου

το

λόγω της δοθείσας διαφορικής, θα βγει

$\displaystyle{h^2f(x)y(x)=y(x+h)+y(x-h)-2y(x)-\frac{y^{(4)}(x)h^4}{12}+\mathcal O(h^6)\qquad{\boxed{*}}}$ .

Λαμβάνουμε τώρα υπόψιν ότι για συνάρτηση

με φραγμένη 3η παράγωγο στη γειτονιά του

, με την ίδια ακριβώς διαδικασία των δυο πρώτων γραμμών παίρνουμε ότι

$\displaystyle{g{''}(x)=g(x+h)+g(x-h)-2g(x)+\mathcal O(h^3)}$ . Στη θέση της

τώρα θεωρούμε την y{''}(x)=f(x)y(x)

και κάνουμε την αντικατάσταση στην $\boxed{*}$ .

Θα προκύψει

$\displaystyle{h^2f(x)y(x)=y(x+h)+y(x-h)-2y(x)-\frac{h^4}{12}\left(f(x+h)y(x+h)-2f(x)y(x)+f(x-h)y(x-h)+\mathcal O(h^3)\right)+\mathcal O(h^6)}$ .

Λύνοντας ως προς y(x+h)

παίρνουμε το ζητούμενο (με το

υψωμένο στην τετάρτη στον παρονομαστή)

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Λαμβάνουμε τώρα υπόψιν ότι για συνάρτηση με φραγμένη 3η παράγωγο στη γειτονιά του , με την ίδια ακριβώς διαδικασία των δυο πρώτων γραμμών παίρνουμε ότι

$\displaystyle{g{''}(x)=g(x+h)+g(x-h)-2g(x)+\mathcal O(h^3)}$ . Στη θέση της τώρα θεωρούμε την και κάνουμε την αντικατάσταση στην $\boxed{*}$ .

Να αναφέρω ότι το παραπάνω είχε πέσει αν θυμάμαι καλά σε πανελλήνιες, με τη μορφή δείξτε ότι $\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}=f{''}(x)}$ με τις κατάλληλες προυποθέσεις.

Το παραπάνω δείχνει και το σφάλμα της προσέγγισης του

από το $\displaystyle{\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}}$ .

Είναι της τάξης του h^3

αν έχουμε φραγμένη

η παράγωγο.

Μέθοδος Numerov

Μέθοδος Numerov

Re: Μέθοδος Numerov

Re: Μέθοδος Numerov

Μέλη σε σύνδεση