περιοδικότητα-όριο-ολ/μα

erxmer · #1

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f στο [0,1] και συνεχής περιοδική g με περιόδο Τ. Να αποδειχθεί οτι $\boxed{\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}\int_{0}^{1}{f(x)g(nx)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{g(t)dt}\int_{0}^{1}{f(x)dx}}}}$

dement · #2

Εστω $\displaystyle m = \left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor$ . Ισχύει $\displaystyle \int_0^1 f(x) g(nx) dx = \frac{1}{n} \int_0^n f \left( \frac{x}{n} \right) g(x) dx = \frac{1}{n} \int_0^{mT} f \left( \frac{x}{n} \right) g(x) dx + \frac{1}{n} \int_{mT}^n f \left( \frac{x}{n} \right) g(x) dx$ . Ο δεύτερος όρος τείνει στο

και τον αγνοούμε.

Αφού $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{mT}{n} = 1$ , αντικαθιστούμε το

εκτός του ολοκληρώματος με

. Επίσης, αφού $\displaystyle \left| \frac{x}{n} - \frac{x}{mT} \right| \leq \frac{1}{mT} \to 0$ και η

είναι ομοιόμορφα συνεχής στο [0,1]

, μπορούμε να αντικαταστήσουμε και το $\displaystyle f \left( \frac{x}{n} \right)$ με $\displaystyle f \left( \frac{x}{mT} \right)$ . Ετσι, έχουμε

$\displaystyle \frac{1}{mT} \int_0^{mT} f \left( \frac{x}{mT} \right) g(x) dx = \frac{1}{T} \int_0^T \left( \frac{1}{m} \sum_{k=0}^{m-1} f \left( \frac{x}{mT} + \frac{k}{m} \right) \right) g(x) dx$ . Ο όρος στη μεγάλη παρένθεση συγκλίνει ομοιόμορφα στο $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$ και έχουμε το όριο $\displaystyle \frac{1}{T} \int_0^T g(x) dx \cdot \int_0^1 f(x) dx$

περιοδικότητα-όριο-ολ/μα

περιοδικότητα-όριο-ολ/μα

Re: περιοδικότητα-όριο-ολ/μα

Μέλη σε σύνδεση