Από τις βασικές ασκήσεις για επανάληψη

#1

Έστω

μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών που έχει την ιδιότητα :

$f(x\cdot y)=f(x)+f(y), \forall x,y >0$

A. Να αποδείξετε ότι :

α) $f(\frac {1}{x})=-f(x)$ και $f(\frac {x}{y})=f(x)-f(y)$ για κάθε x,y >0

β) Αν η εξίσωση f(x)=0

έχει μοναδική ρίζα, τότε η

αντιστρέφεται.

Β.Αν η

είναι συνεχής σε κάποιο a>0

,να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής και να βρεθεί το όριο $\displaystyle A= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$

Γ. Αν η

είναι παραγωγίσιμη στο

με

, να βρεθεί o τύπος της συνάρτησης αυτής.

Μπάμπης

Γ.ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ · #2

a)Για

Κατόπιν θέτουμε όπου $y=\frac{1}{x}$ και προκύπτει: $f(\frac{1}{x})=-f(x)$

$f(\frac{x}{y})=f(x\frac{1}{y})=f(x)f(\frac{1}{y})=f(x)-f(y)$

b) $f(x_{1})=f(x_{2})\Leftrightarrow f(x_{1})-f(x_{2})=0\Leftrightarrow f(\frac{x_{1}}{x_{2}})=0$ και επειδή έχει μοναδική ρίζα τότε $\frac{x_{1}}{x_{2}}=1\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$

B) και Γ)
Επειδή δεν προλαβαίνω, δουλεύουμε με τον κλασσικό τρόπο αλλάζοντας μεταβλητή $\frac{x}{x_{0}}=u$ και βγάζουμε τη συνέχεια σε τυχαίο σημείο $_{x_{0}}$ , όπως και την παράγωγο και μετά με αντιπαραγώγιση βρίσκουμε τον τύπο της f.
Μπάμπη
Καλή επαναληπτική. Νάσαι καλά που τη θυμήθηκες!
Φιλικά
Γιώργος Ασημακόπουλος

fotis81 · #3

Α.
α. Για x=y=1

: $f\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=0$

Με αντικατάσταση $y\to \frac{1}{x}$ : $f\left( 1 \right)=f\left( x \right)+f\left( \frac{1}{x} \right)\Leftrightarrow 0=f\left( x \right)+f\left( \frac{1}{x} \right)\Leftrightarrow f\left( \frac{1}{x} \right)=-f\left( x \right)$ για κάθε x>0

(1)

Με αντικατάσταση $y\to \frac{1}{y}$ : $f\left( \frac{x}{y} \right)=f\left( x \right)+f\left( \frac{1}{y} \right)\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,f\left( \frac{x}{y} \right)=f\left( x \right)-f\left( y \right)$ για κάθε x,y>0

(2)

β. Αφού η εξίσωση $f\left( x \right)=0$ έχει μοναδική λύση και $f\left( 1 \right)=0$ συμπεραίνουμε ότι: $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$ (3)

Για κάθε ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 0,+\infty \right)$ :
$f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=0\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,f\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)=0\overset{\left( 3 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$
άρα η

είναι αντιστρέψιμη στο $\left( 0,+\infty \right)$ .

Β. Η

είναι συνεχής στο $x=\alpha >0$ άρα $\underset{x\to \alpha }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( \alpha \right)$ (4)

Για τυχαίο ${{x}_{0}}>0$ έχουμε:

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\underset{y\to 1}{\overset{\frac{x}{{{x}_{0}}}=y}{\mathop{=}}}\,\underset{y\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}_{0}}y \right)\underset{z\to a}{\overset{z=\alpha y}{\mathop{=}}}\,\underset{z\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}_{0}}\frac{z}{a} \right)\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{=}}\,\underset{z\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( {{x}_{0}} \right)+f\left( \frac{z}{a} \right) \right]\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{=}}\,$

$\underset{z\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( {{x}_{0}} \right)+f\left( z \right)-f\left( a \right) \right]\overset{\left( 4 \right)}{\mathop{=}}\,f\left( {{x}_{0}} \right)+f\left( a \right)-f\left( a \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$

δηλαδή δείξαμε ότι για τυχαίο ${{x}_{0}}>0$ ισχύει: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$ άρα η

είναι συνεχής στο $\left( 0,+\infty \right)$ .
Επομένως $A=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=0$

Γ. Ισχύει: $f\left( xy \right)=f\left( x \right)+f\left( y \right)$ για κάθε x,y>0

και ${f}'\left( 1 \right)=1$

***Παραγωγίζοντας την σχέση ως προς

, θα έχουμε:

$x{f}'\left( xy \right)=0+{f}'\left( y \right)$ για κάθε x,y>0

Για

: $x{f}'\left( x \right)={f}'\left( 1 \right)\Leftrightarrow x{f}'\left( x \right)=1\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=\frac{1}{x}\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)={{\left( \ln x \right)}^{\prime }}\ ,\ \ x>0$

Από Συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής θα έχουμε:

$f\left( x \right)=\ln x+c\ ,\ \ x>0$ και $f\left( 1 \right)=0$ άρα $f\left( 1 \right)=\ln 1+c\Leftrightarrow c=0$

και έτσι προκύπτει ότι η συνάρτηση

έχει τύπο $f\left( x \right)=\ln x\ ,\ \ x>0$ , που είναι δεκτή.

***Από δική μου απροσεξία, θεώρησα ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο
Π.Ο.της. Παραπέμπω στο παρακάτω συνημμένο του txmath για ολοκλήρωση
της άσκησης.

tkmath · #4

Για το Γ ερώτημα επειδή δεν μας δίνεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη, θα πρέπει να αποδείξουμε ότι είναι παραγωγίσιμη για κάθε x > 0. Επειδή δεν τα πάω καλά με την Latex επισυνάπτω την σωστή λύση συνεχίζοντας την ιδέα του Γιώργου Ασημαμακόπουλου.

#5

μια παρατήρηση
αφού $\displaystyle{x,y>0}$ θέτοντας $\displaystyle{x=e^a,y=e^b}$ παιρνουμε $\displaystyle{f(e^{a+b})=f(e^a)+f(e^b)}$ αρα $\displaystyle{f(e^x)=Cauchy=...=ax\Rightarrow f(x)=alnx...}$

Από τις βασικές ασκήσεις για επανάληψη

Από τις βασικές ασκήσεις για επανάληψη

Re: Από τις βασικές ασκήσεις για επανάληψη

Re: Από τις βασικές ασκήσεις για επανάληψη

Re: Από τις βασικές ασκήσεις για επανάληψη

Re: Από τις βασικές ασκήσεις για επανάληψη

Μέλη σε σύνδεση