Συνευθειακά Σημεία

[Σακης]

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο , και σημεία στις πλευρές αντιστοίχως.
Έστω . Να δειχθεί ότι το και τα ορθόκεντρα των είναι συνευθειακά αν και μόνον αν το είναι εγγραψιμο.

[kalagz]

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το ακόλουθο:

Έστω πλήρες τετράπλευρο ABCDTS (όπουT η τομή των ΑD,BC κλπ) με P το σημείο τομής των διαγωνίων BD,AC. To P ανήκει στην ευθεία Aubert ακα το ABCD είναι εγγράψιμο.
όπου η ευθεία Aubert είναι η ευθεία με τα ορθόκεντρα των τριγώνων TDC,TAB,SAD,ABC.

Έστω ο κύκλοs και οι κύκλοι με διαμέτρους αντίστοιχα. Εύκολα δείχνουμε ότι τα 4 ορθόκεντρα έχουν ίσες δυνάμεις ως προς τους και έτσι ανήκουν στο ριζικό άξονα αυτών ανά 2. Συνεπώς "σχηματίζουν" την ευθεία Aubert, που είναι ο ριζικός άξονας των 3 κύκλων.
Συνεπώς "Tο ABCD είναι εγγράψιμο" "P συνευθειακό με τα ορθόκεντρα"