Τι εξετάζω για να δω αν διαγωνοποιείται ένας πίνακας??

nulispa · #1

η ερώτηση είναι αυτή..

MANOLISMATHS · #2

Μια πρωτη προσεγγιση ειναι
το πληθος των ιδιοδιανυσματων να ταυτιζεται με το πληθος των ιδιοτιμων (με τις ιδιοτιμες αν ειναι διπλες να πιανουν για 2)και επιπλεον να ειναι οσα τα διανυσματα του πινακα

#3

Κατ' αρχήν πρέπει να ξεχωρίσουμε σε ποιο σώμα ζητάμε την διαγωνοποίηση. Για παράδειγμα, ο πίνακας $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$ είναι διαγωνοποιήσιμος πάνω από το $\mathbb{C}$ αλλά όχι πάνω από το $\mathbb{R}$ .

Υπάρχουν διάφορα κριτήρια που μας βοηθάνε να αποφασίσουμε αν ένας πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος.

Θεώρημα: Αν ένας $n \times n$ πίνακας

έχει

διακεκριμένες ιδιοτιμές τότε είναι διαγωνοποιήσιμος.

Στο πιο πάνω παράδειγμα ο πίνακας

έχει τις ιδιοτιμές

και

αν δουλεύουμε πάνω από το $\mathbb{C}$ . Δεν έχει όμως καμία πραγματική ιδιοτιμή. Πιο κάτω θα θεωρήσουμε ότι πάντα δουλεύουμε πάνω από το $\mathbb{C}$ .

Το πιο πάνω θεώρημα δεν μας λέει τι γίνεται αν έχουμε λιγότερες από

ιδιοτιμές. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι ότι κάποιες ιδιοτιμές έχουν μεγαλύτερη πολλαπλότητα. Ας ορίσουμε λοιπόν πρώτα την πολλαπλότητα.

Αν ο

είναι ένας $n \times n$ πίνακας, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμό του είναι βαθμού

και κάθε ιδιοτιμή του

είναι και ρίζα του πολυωνύμου και αντιστρόφως. Η αλγεβρική πολλαπλότητα μιας ιδιοτιμής είναι η πολλαπλότητα αυτής της ιδιοτιμής σαν ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.

Για παράδειγμα οι πίνακες $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ και $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ έχουν και οι δύο χαρακτηριστικό πολυώνυμο (x-1)^2

. Άρα έχουν μόνο μια ιδιοτιμή, με αλγεβρική πολλαπλότητα 2. Ο

όμως είναι προφανώς διαγωνοποιήσιμος. Ο

όμως δεν είναι.

Αυτό που παίζει ρόλο, εκτός από την αλεβρική πολλαπλότητα είναι και η γεωμετρική πολλαπλότητα η οποία ορίζεται ως εξής: Έστω $\lambda$ μια ιδιοτιμή ενός πίνακα

και έστω $V = \{v \in \mathbb{R}^n : Av = \lambda v\}$ το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων με ιδιοτιμή lambda

. Τότε ο

είναι γραμμικός υποχώρος του $\mathbb{R}^n$ (ονομάζεται ιδιοχώρος της ιδιοτιμής $\lambda$ ) και η διάστασή του ονομάζεται γεωμετρική πολλαπλότητα του $\lambda$ .

Για παράδειγμα για τον πίνακα

και την ιδιοτιμή 1, θα πάρουμε $V = \mathbb{R}^2$ αφού για κάθε $v \in \mathbb{R}^2$ έχουμε Av = v

, ενώ για τον πίνακα

και την ιδιοτιμή 1 έχουμε $V = \left\{\begin{pmatrix} x \\ 0\end{pmatrix} : x \in \mathbb{R}\right\}$ . Στην πρώτη περίπτωση η πολλαπλότητα είναι 2 ενώ στην δεύτερη είναι 1. Αυτή είναι και η βασική διαφορά που κάνει τον πρώτο πίνακα διαγωνοποιήσιμο ενώ τον δεύτερο όχι. Το βασικό θεώρημα λέει το εξής:

Ένας τετραγωνικός πίνακας

είναι διαγωνοποιήσιμος πάνω από το $\mathbb{C}$ αν και μόνο αν για κάθε ιδιοτιμή $\lambda$ του

η αλγεβρική πολλαπλότητα του $\lambda$ ισούται με την γεωμετρική πολλαπλότητα.

Επειδή για κάθε ιδιοτιμή η γεωμετρική πολλαπλότητα είναι τουλάχιστον 1 και επίσης είναι μικρότερη ή ίση από την αλγεβρική πολλαπλότητα έχουμε ως άμεση συνέπεια το αρχικό θεώρημα που έχω γράψει.

Άρα αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι:

Να βρούμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα. Αν έχει

διακεκριμένες ιδιοτιμές τότε είναι διαγωνοποιήσιμος και τελειώσαμε. Αν όχι τότε για κάθε ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη ή ίση του 2 πρέπει να βρούμε τον αντίστοιχο υποχώρο, την διάστασή του και να συγκρίνουμε με την αλγεβρική πολλαπλότητα. Αν βρούμε έστω και ένα ιδιοχώρο με μικρότερη διάσταση από την αλγεβρική πολλαπλότητα τότε ο πίνακας δεν είναι διαγωνοποιήσιμος. Αλλιώς είναι.

Τι εξετάζω για να δω αν διαγωνοποιείται ένας πίνακας??

Τι εξετάζω για να δω αν διαγωνοποιείται ένας πίνακας??

Re: Τι εξετάζω για να δω αν διαγωνοποιείται ένας πίνακας??

Re: Τι εξετάζω για να δω αν διαγωνοποιείται ένας πίνακας??

Μέλη σε σύνδεση