ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 214 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Α.Κυριακόπουλος · #61

Jeronymo Simonstone έγραψε:
Στοιχεία από τα παραπάνω 18 κριτήρια έχουν δημοσιευθεί και με σχετική εργασία μου στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο» [Τεύχος 9 / Δεκ 2000, σελίδα 20]}.
Πιστεύεις ότι υπάρχει λόγος να διδάσκονται χρυσά ορθογώνια τρίγωνα οι μαθητές του Λυκείου στον 21ο αιώνα;
υγ. άκυρο, μα τι λέω... εδώ υπερσκέλισες και τον Ευκλείδη, με τα "Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας"
Ας μην με παρεξηγήσουν οι συνάδελφοι, τώρα που θα δηλώσω
πως "Τα" Στοιχεία ανήκουν σε μια σφαίρα κατακτήσεων του πνεύματος που καλό είναι να μην αναμοχλεύεται.
Αλλιώς, πως θα σας φαινόταν να εμφανιστεί ο συγγραφέας του "Νέου Προμηθέα Δεσμώτη";

Αγαπητέ Jeronymo Simonstone.
• Θα μου επιτρέψεις τα να σου πω, εντελώς καλοπροαίρετα, ότι από αυτά που γράφεις βγάζω το συμπέρασμα ότι δεν έχεις κατανοήσει ούτε το ουσιαστικό νόημα του έργου του Ευκλείδη, ούτε τη σημασία τις τιτάνιας προσπάθειας στη Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή.
• Η ουσιαστική αξία του έργου του Ευκλείδη δεν συνίσταται τόσο στις προτάσεις που ανακάλυψε και απέδειξε( άλλωστε πολλές από αυτές ήταν γνωστές και πριν από αυτόν), όσο στο ότι ανακάλυψε την αξιωματική μέθοδο στα μαθηματικά( αρχική όροι, οριζόμενη όροι, αξιώματα, θεωρήματα). Η Ευκλείδειος Γεωμετρία είναι η πρώτη μαθηματική αξιωματική θεωρία. Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη (ΙΙΙος π.χ. αιώνας), παρά τις όποιες ατέλειές των ( ορίζει το σημείο με την γραμμή και τη γραμμή με το σημείο κτλ. ) είχαν τον ίδιο αντικειμενικό σκοπό, τον οποία έχει και σήμερα μια μαθηματική αξιωματική θεωρία. Δηλαδή, την, εκ μερικών ορισμών και αξιωμάτων, παραγωγή δια λογικών μεθόδων( είχε στη διάθεσή του μόνο την Αριστοτέλεια λογική), άλλων προτάσεων (των θεωρημάτων).
• Ο Νίκος ο Κυριαζής ( τον οποίον γνώρισα προσωπικά το καλοκαίρι και θαύμασα την ζωντάνια, το ζήλο, το πάθος, τον έρωτα θα έλεγα που έχει για τη Γεωμετρία) δεν ασχολείται με τη θεμελίωση της Γεωμετρίας. Έχει κατανοήσει πλήρως και σέβεται απολύτως το έργο του Ευκλείδη. Αυτό που κάνει είναι ,στηριζόμενος στο έργο αυτό, να ανακαλύπτει ιδιότητες των διαφόρων σχημάτων και μάλιστα προσπαθεί να τις αποδείξει με όσο το δυνατόν περισσότερους τρόπους. Πουθενά δεν ισχυρίστηκε ότι αυτά πρέπει να διδάσκονται στο Λύκειο. Έχει γράψει πολλές φορές ότι αυτά είναι για τους εραστές της γεωμετρίας. Για πνευματική ικανοποίηση. Τι το ωραιότερο και το αγνότερο; Είμαι σίγουρος ότι αν υπήρχε τρόπος να δει το έργο του ο Ευκλείδης, θα του έδινε συγχαρητήρια.
• Ίσως να έχεις παρεξηγήσει τον τίτλο των βιβλίων του: « ΝΕΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ». Το «νέα στοιχεία» δεν έχουν το νόημα ότι αμφισβητεί το έργο του Ευκλείδη και προσπαθεί να φτιάξει δική του Γεωμετρία. Αντίθετα, όλα όσα έχει γράψει, όπως είπα και παραπάνω, έχουν τη βάση τους στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Το «νέα στοιχεία» σημαίνει « νέες ιδιότητες σχημάτων». Και αν διαβάσεις ένα βιβλίο του, από τα πάρα πολλά που έχει γράψει, θα δεις ότι έτσι έχουν τα πράγματα.
• Προσωπικά, μου δίδεται η ευκαιρία, να τον συγχαρώ και δημοσίως και να του πω να συνεχίσει με την ίδια όρεξη και με τον ίδιο ζήλο. Έχει να προσφέρει ακόμα πάρα πολλά.Οι ιδιότητες των σχημάτων δεν τελειώνουν ποτέ.
• Αγαπητέ Jeronymo Simonstone. Μετά απ' όλα αυτά, νομίζω ότι αυτά που έχεις γράψει προσβάλλουν εσένα και όχι τον Νίκο Κυριαζή. Ειλικρινά, αν ήμουνα στη θέση σου, θα του ζητούσα δημόσια συγνώμη.
Φιλικά.

#62

ΝΙΚΟΣ έγραψε:«Η σιωπή μου σε απάντησή του».
Θέλω όμως να ευχαριστήσω όλους τους φίλους που έσπευσαν να βάλουν τα πράγματα στη σωστή τους διάσταση.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Νίκο, συνέχισε την καλή σου δουλειά και άσε τους αμύητους εκτός των θυρών.

Ας μείνουν άσβεστες στην σύχρονη Ελλάδα οι πνευματικές εστίες. Αλλοίμονό μας αν οι ιστορικοί του μέλλοντος καταγράψουν παραλλαγή του συνταρακτικού:

«Είπατε τώ βασιλεί, χαμαί πέσε δαίδαλος αυλά, ουκέτι Φοίβος έχει καλύβην, ου μάντιδα δάφνην, ουδέ παγάν λαλέουσαν. Απέσβετο και το λάλον ύδωρ»

Εμείς θα συνεχίσουμε να σε διαβάζουμε.

Ταπεινά,

Μιχάλης Λάμπρου

#63

Mihalis_Lambrou έγραψε: Εμείς θα συνεχίσουμε να σε διαβάζουμε.
Ταπεινά,
Μιχάλης Λάμπρου

Αγαπητέ Νίκο, δίνω μια καθαρά ΛΥΚΕΙΑΚΗ προσέγγιση στην 100η σου πρόταση για το ΧΡΥΣΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ.

Πιστεύω ότι η ενασχόληση με τη συγκεκριμένη άσκηση είναι μια εξαιρετική εξάσκηση για μαθητές που θέλουν να συνεχίσουν ένα βήμα πιο ψηλά, γιατί κάνει έναν περίπατο σε διάφορα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας! Ομολογώ ότι με παίδεψε το σημείο με την οδήγηση σε άτοπο της μιας περίπτωσης των όμοιων τριγώνων, αναζητώντας την απλούστερη προσέγγιση. Θα χαρώ να δω συντομότερη και κομψότερη λύση.

11(19). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ και το τρίγωνο ΑΕΖ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΑΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό»(*).
ΚΥΡΙΑΖΗΣ ΝΙΚΟΣ

(*) Σε μια "λυκειακή" εκφώνηση, θα μπορούσαμε να αντικαταστήσουμε τη φράση: το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό» με τη σχέση: $\displaystyle \alpha \cdot \gamma = \beta ^2$ .

: 11-09-2010 Geometry.png (26.73 KiB) Προβλήθηκε 2125 φορές

Από Θ. Διχοτόμων στο ΑΒΓ είναι: $\displaystyle {\rm A}{\rm E} = \frac{{\beta \gamma }}{{\alpha + \gamma }}$ (1)

Από Θ. Θαλή για ΔΖ // ΑΓ είναι: $\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{\gamma } = \frac{{\Delta \Gamma }}{\alpha }$ (2)

Από μετρικές σχέσεις στο ορθ. ΑΒΓ είναι: $\displaystyle \Delta \Gamma = \frac{{\beta ^2 }}{\alpha }$ άρα η (2) γίνεται: $\displaystyle {\rm A}{\rm Z} = \frac{{\beta ^2 \cdot \gamma }}{{\alpha ^2 }}$

Έστω ότι τα ορθογώνια ΑΖΕ, ΑΒΓ είναι όμοια.

Αν $\displaystyle \widehat{{\rm A}{\rm Z}{\rm E}} = \widehat{\rm B},\;\widehat{{\rm A}{\rm E}{\rm Z}} = \widehat\Gamma$ , τότε ΕΓΔΖ παραλληλόγραμμο.
Τότε τα τρίγωνα ΔΕΖ, ΑΓΒ έχουν $\displaystyle \widehat{{\rm E}{\rm Z}\Delta } = \widehat\Gamma$ και τις πλευρές που τις περιέχουν παράλληλες, άρα είναι όμοια, οπότε ΔΕ // ΑΒ άρα ΔΖ = ΑΕ, δηλαδή ΒΕ διχοτόμος και διάμεσος άρα ΑΒ = ΒΓ, που είναι άτοπο.

Οπότε τα ορθογώνια ΑΖΕ, ΑΒΓ είναι όμοια με $\displaystyle \widehat{{\rm A}{\rm Z}{\rm E}} = \widehat\Gamma ,\;\widehat{{\rm A}{\rm E}{\rm Z}} = \widehat{\rm B}$ άρα $\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{\beta } = \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{\gamma }$ .

Τότε: $\displaystyle \frac{{\beta ^2 \cdot \gamma }}{{\alpha ^2 \cdot \beta }} = \frac{{\beta \cdot \gamma }}{{\gamma \left( {\alpha + \gamma } \right)}}\; \Rightarrow \;\frac{\gamma }{{\alpha ^2 }} = \frac{1}{{\left( {\alpha + \gamma } \right)}}\; \Rightarrow \;\alpha \cdot \gamma + \gamma ^2 = \alpha ^2 \; \Rightarrow \;\alpha \cdot \gamma = \beta ^2$ άρα ΑΒΓ "χρυσό".

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ

Έστω ότι ΑΒΓ "χρυσό".
Τότε $\displaystyle \alpha \cdot \gamma = \beta ^2$ .
Είναι: $\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{\beta } = \frac{{\beta ^2 \cdot \gamma }}{{\alpha ^2 \cdot \beta }} = \frac{{\beta \cdot \gamma }}{{\alpha ^2 }},\;\;\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{\gamma } = \frac{{\beta \cdot \gamma }}{{\left( {\alpha + \gamma } \right) \cdot \gamma }} = \frac{\beta }{{\left( {\alpha + \gamma } \right)}}$

Για να είναι $\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{\beta } = \;\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{\gamma }$ αρκεί να είναι: $\displaystyle \frac{{\beta \cdot \gamma }}{{\alpha ^2 }} = \frac{\beta }{{\left( {\alpha + \gamma } \right)}}\; \Leftarrow \;\frac{\gamma }{{\alpha ^2 }} = \frac{1}{{\left( {\alpha + \gamma } \right)}}\; \Leftarrow \;\alpha \gamma + \gamma ^2 = \alpha ^2 \; \Leftarrow \;\beta ^2 + \gamma ^2 = \alpha ^2$ , που ισχύει, λόγω του Πυθ. Θεωρήματος. Άρα τα ΑΕΖ, ΑΒΓ έχουν δύο πλευρές ανάλογες και την περιεχόμενη γωνία ορθή, άρα είναι όμοια.

Γιώργος Ρίζος

#64

Αγαπητοί φίλοι, Αντώνη και Μιχάλη,
σας ευχαριστώ πολύ για το κουράγιο που μου δίνεται να συνεχίσω το έργο μου και προπαντός γιατί έχετε δώσει προσοχή και έχετε πιάσει πλήρως και σωστά τον σφυγμό μου, σχετικά με τις προσπάθειές μου να συνεισφέρω στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, την οποία υπηρετώ καθημερινά με πάθος σαν απλώς εργάτης, εδώ και 22 χρόνια με πολλές αντιξοότητες και ανιδιοτελώς.
Απορώ όμως πώς υπάρχουν άνθρωποι που δεν έχουν καταλάβει τους λόγους της προσπάθειάς μου, όταν και μαθητές ακόμη ( με αυτό δε θέλω να τους υποτιμήσω),τους έχουν κατανοήσει πλήρως.

Αγαπητοί φίλοι,
βεβαίως είναι αδιανόητο σε μένα να διακόψω το έργο που ξεκίνησα εδώ, αν δεν τελειώσει, λόγω του περιστατικού αυτού. Αυτή άλλωστε είναι ΑΡΧΗ μου σε κάθε μου εργασία (υπομένω και επιμένω μέχρι τέλους χωρίς να φείδομαι χρόνου και κόπου).
Κατανοώ, βεβαίως ότι επειδή έχω μείνει μόνος στην προσπάθειά μου αυτή, είναι ανιαρό και κουραστικό για όλους μας. Γι’ αυτό σκεπτόμουν και σκέπτομαι μελλοντικά να περιορίσω να δίνω εδώ σχετικές λεπτομέρειες, αλλά να συνεχίσω την εργασία αυτή στο γραφείο μου και να σας ενημερώνω ανελλιπώς στην διεύθυνση αυτή, κατά διαστήματα σχετικά με την εξέλιξη του θέματος. Έτσι κι’ αλλιώς μόνος μου εργάζομαι (Εκτός βέβαια του φίλου Γιώργου Ρίζου)..
Πάντως, παράλληλα με τα 118 Κριτήρια που μέχρι τώρα έχω αναρτήσει εδώ, έχω επινοήσει και έχω καταγράψει, για το ίδιο θέμα και πολλά άλλα σχετικά στοιχεία Ευκλείδειας Γεωμετρίας (Προτάσεις, Κατασκευές), για το Χρυσό ορθογώνιο Τρίγωνο, αλλά και για τα παραγόμενα σχήματα απ’ αυτό, τα οποία εκτιμώ ότι ανέρχονται στα 60 μέχρι σήμερα. Έτσι όλα αυτά (και τα Κριτήρια) και ότι άλλο στη συνέχεια προκύψει (πιστεύω ότι θα προκύψουν πολλά), θα αποτελέσουν το έκτο βιβλίο μου (τόμος 22), το οποίο όμως έχει πολύ δουλειά ακόμη. Αυτός άλλωστε είναι και ένας άλλος λόγος που σκεπτόμουν και σκέπτομαι μελλοντικά να περιορίσω να δίνω εδώ λεπτομέρειες, αλλά να σας ενημερώνω ανελλιπώς στην διεύθυνση αυτή, κατά διαστήματα σχετικά με την εξέλιξη του θέματος, όπως και παραπάνω ανέφερα.

Με εκτίμηση και αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#65

Rigio έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε: Εμείς θα συνεχίσουμε να σε διαβάζουμε.
Ταπεινά,
Μιχάλης Λάμπρου
Αγαπητέ Νίκο, δίνω μια καθαρά ΛΥΚΕΙΑΚΗ προσέγγιση στην 100η σου πρόταση για το ΧΡΥΣΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ.

Πιστεύω ότι η ενασχόληση με τη συγκεκριμένη άσκηση είναι μια εξαιρετική εξάσκηση για μαθητές που θέλουν να συνεχίσουν ένα βήμα πιο ψηλά, γιατί κάνει έναν περίπατο σε διάφορα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας! Ομολογώ ότι με παίδεψε το σημείο με την οδήγηση σε άτοπο της μιας περίπτωσης των όμοιων τριγώνων, αναζητώντας την απλούστερη προσέγγιση. Θα χαρώ να δω συντομότερη και κομψότερη λύση.

11(19). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ και το τρίγωνο ΑΕΖ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΑΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό»(*).
ΚΥΡΙΑΖΗΣ ΝΙΚΟΣ

(*) Σε μια "λυκειακή" εκφώνηση, θα μπορούσαμε να αντικαταστήσουμε τη φράση: το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό» με τη σχέση: $\displaystyle \alpha \cdot \gamma = \beta ^2$ .
11-09-2010 Geometry.png
Από Θ. Διχοτόμων στο ΑΒΓ είναι: $\displaystyle {\rm A}{\rm E} = \frac{{\beta \gamma }}{{\alpha + \gamma }}$ (1)

Από Θ. Θαλή για ΔΖ // ΑΓ είναι: $\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{\gamma } = \frac{{\Delta \Gamma }}{\alpha }$ (2)

Από μετρικές σχέσεις στο ορθ. ΑΒΓ είναι: $\displaystyle \Delta \Gamma = \frac{{\beta ^2 }}{\alpha }$ άρα η (2) γίνεται: $\displaystyle {\rm A}{\rm Z} = \frac{{\beta ^2 \cdot \gamma }}{{\alpha ^2 }}$

Έστω ότι τα ορθογώνια ΑΖΕ, ΑΒΓ είναι όμοια.

Αν $\displaystyle \widehat{{\rm A}{\rm Z}{\rm E}} = \widehat{\rm B},\;\widehat{{\rm A}{\rm E}{\rm Z}} = \widehat\Gamma$ , τότε ΕΓΔΖ παραλληλόγραμμο.
Τότε τα τρίγωνα ΔΕΖ, ΑΓΒ έχουν $\displaystyle \widehat{{\rm E}{\rm Z}\Delta } = \widehat\Gamma$ και τις πλευρές που τις περιέχουν παράλληλες, άρα είναι όμοια, οπότε ΔΕ // ΑΒ άρα ΔΖ = ΑΕ, δηλαδή ΒΕ διχοτόμος και διάμεσος άρα ΑΒ = ΒΓ, που είναι άτοπο.

Οπότε τα ορθογώνια ΑΖΕ, ΑΒΓ είναι όμοια με $\displaystyle \widehat{{\rm A}{\rm Z}{\rm E}} = \widehat\Gamma ,\;\widehat{{\rm A}{\rm E}{\rm Z}} = \widehat{\rm B}$ άρα $\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{\beta } = \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{\gamma }$ .

Τότε: $\displaystyle \frac{{\beta ^2 \cdot \gamma }}{{\alpha ^2 \cdot \beta }} = \frac{{\beta \cdot \gamma }}{{\gamma \left( {\alpha + \gamma } \right)}}\; \Rightarrow \;\frac{\gamma }{{\alpha ^2 }} = \frac{1}{{\left( {\alpha + \gamma } \right)}}\; \Rightarrow \;\alpha \cdot \gamma + \gamma ^2 = \alpha ^2 \; \Rightarrow \;\alpha \cdot \gamma = \beta ^2$ άρα ΑΒΓ "χρυσό".

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ

Έστω ότι ΑΒΓ "χρυσό".
Τότε $\displaystyle \alpha \cdot \gamma = \beta ^2$ .
Είναι: $\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{\beta } = \frac{{\beta ^2 \cdot \gamma }}{{\alpha ^2 \cdot \beta }} = \frac{{\beta \cdot \gamma }}{{\alpha ^2 }},\;\;\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{\gamma } = \frac{{\beta \cdot \gamma }}{{\left( {\alpha + \gamma } \right) \cdot \gamma }} = \frac{\beta }{{\left( {\alpha + \gamma } \right)}}$

Για να είναι $\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{\beta } = \;\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{\gamma }$ αρκεί να είναι: $\displaystyle \frac{{\beta \cdot \gamma }}{{\alpha ^2 }} = \frac{\beta }{{\left( {\alpha + \gamma } \right)}}\; \Leftarrow \;\frac{\gamma }{{\alpha ^2 }} = \frac{1}{{\left( {\alpha + \gamma } \right)}}\; \Leftarrow \;\alpha \gamma + \gamma ^2 = \alpha ^2 \; \Leftarrow \;\beta ^2 + \gamma ^2 = \alpha ^2$ , που ισχύει, λόγω του Πυθ. Θεωρήματος. Άρα τα ΑΕΖ, ΑΒΓ έχουν δύο πλευρές ανάλογες και την περιεχόμενη γωνία ορθή, άρα είναι όμοια.

Γιώργος Ρίζος

Φίλε Γιώργο,
Σε ευχαριστώ πολύ για την απόδειξή σου.
Γιώργο, όπως και εσύ θα έχεις διαπιστώσει, όλα τα Κριτήρια είναι δυνατό να αποδειχθούν με ανάλογους τρόπους (ΛΥΚΕΙΑΚΟΥΣ), τους οποίους και εγώ χρησιμοποίησα για την απόδειξη των πρώτων Κριτηρίων. Όμως, στη συνέχεια, είναι δυνατό οι αποδείξεις να βασίζονται σε προηγούμενα Κριτήρια που έχω ήδη δώσει για ευκολία μας, καθώς τότε δεν απαιτούνται υπολογισμοί.
Έτσι, με τον τρόπο αυτό, για το Κριτήριο 100 έχω επιτύχει μια απόδειξη την οποία, αν βρω ευκαιρία θα αναρτήσω.
Ακόμη, είναι δυνατό με τον τρόπο αυτό, να επιτύχουμε και άλλες αποδείξεις, βασιζόμενες σε άλλα Κριτήρια, που έχω αναρτήσει, για τον λόγο αυτό.
Προσπάθησε και εσύ, όταν βρεις χρόνο.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#66

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω δύο πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 119, 120 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» (καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/119, 5/120 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 117, 118 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 121 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 119.

Κριτήριο 119.
5/119. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, T είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι ΑΒ=ΖΤ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 120.
5/120. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, T είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι ΕΖ=ΑΤ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω δύο κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#67

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω δύο πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 121, 122 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» (καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/121, 5/122 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 119, 120 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 123 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 121.

Κριτήριο 121.
5/121. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, T είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ, Ι το ίχνος της συμμετροδια-μέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ και είναι (ΑΓΙ)=(ΒΓΤ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 122.
5/122. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, T είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι ΖΤ//ΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#68

Αγαπητοί φίλοι,
σήμερα θα σας προτείνω για απόδειξη την παρακάτω βοηθητική Πρόταση, η οποία είναι δυνατό να βοηθήσει στην εδώ προσπάθειά μας.
Η Πρόταση αυτή με την απόδειξή της, αναφέρεται στον τόμο 10 του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στην παράγραφο 10ι(130) και στην οποία μπορούμε να στηριζόμαστε για την απόδειξη των Κριτηρίων.
Αργότερα, όταν βρω χρόνο, θα δώσω την απόδειξή της, αν και είναι εύκολη και εφόσον δεν δοθεί στο μεταξύ από κάποιο φίλο.

Βοηθητική Πρόταση.
Λήμμα 5.
10ι(130). . Αν σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, T είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και Η είναι η τομή των ΑΔ, ΒΕ, τότε η ΖΗΤ είναι ευθεία.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#69

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω δύο πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 123, 124 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» (Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/123, 5/124 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 121, 122 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 125 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 123.

Κριτήριο 123.
5/123. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Η είναι η τομή των ΑΔ, ΒΕ και είναι ΖΗ//ΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 124.
5/124. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, T είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ, Η είναι η τομή των ΑΔ, ΒΕ και είναι ΗΤ//ΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω δύο κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#70

Αγαπητοί φίλοι,
σήμερα θα σας προτείνω για απόδειξη τις παρακάτω δύο βοηθητικές Προτάσεις, οι οποίες είναι δυνατό να βοηθήσουν στην προσπάθειά μας.
Οι Προτάσεις αυτές με τις αποδείξεις τους, αναφέρονται στον τόμο 10 του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στις παραγράφους 10ι(186) και 10ι(187) και στις οποίες μπορούμε να στηριζόμαστε για την απόδειξη των Κριτηρίων.
Αργότερα, όταν βρω χρόνο, θα δώσω τις αποδείξεις τους, αν και είναι εύκολες και εφόσον δεν δοθούν στο μεταξύ από κάποιο φίλο.

Βοηθητικές Προτάσεις. (Σχήμα 44 του παρακάτω συνημμένου μου 55).

Λήμμα 6.
Αν σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Ζ το ίχνος της συμμετροδιαμμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ και Η είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Η είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, τότε οι ΑΗ, ΓΖ, ΔΕ, συντρέχουν.

Λήμμα 7.
10ι(187). . Αν σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ι είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Η είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Η είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Λ είναι η προβολή του Η στην ΑΓ και Κ είναι η τομή των ΑΗ, ΔΕ, τότε η ΙΛ περνά από το Κ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#71

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω το παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο με αριθμό 125 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» ( Αυτό καταχωρήθηκε στην παράγραφο 5/125, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), το οποίο (Κριτήριο) αποτελεί και το 123, Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 126 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 124.

Κριτήριο 125.
5/125. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Η είναι η τομή των ΑΔ, ΒΕ , Λ είναι η τομή των ΑΘ, ΔΕ και είναι ΗΛ//ΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δική μας απόδειξη του παραπάνω Κριτηρίου δεν θα δοθεί, καθώς αυτή είναι εύκολη, αφού επιτυγχάνεται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τη δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθεί.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#72

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω δύο πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 126, 127 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» (Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/126, 5/127 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 124, 125 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 128 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 126.

Κριτήριο 126.
5/126. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), , Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Μγ είναι το μέσον της ΑΒ, Η είναι η τομή των ΒΕ, ΓΜγ, Δ είναι η τομή των ΑΗ, ΒΓ και το Δ είναι χρυσή τομή της ΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό» και το Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ.

Κριτήριο 127.
5/127. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), , Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Μγ είναι το μέσον της ΑΒ, Η είναι η τομή των ΒΕ, ΓΜγ, Δ είναι η τομή των ΑΗ, ΒΓ και το Η είναι χρυσή τομή της ΒΕ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό» και το Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ.

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω δύο κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#73

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω δύο πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 128, 129 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» (Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/127, 5/128 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 126, 127 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 130 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 128.

Κριτήριο 128.
5/128. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ. Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Ι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ, , Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Λ είναι η τομή των ΑΘ, ΓΙ και το Λ αποτελεί χρυσή τομή της ΑΘ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό», ενώ η τομή των ΔΛ, ΑΓ, συμπίπτει με το ίχνος Ε.

Κριτήριο 129.
5/129. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ. Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ και είναι (ΑΒΓ)/(ΔΑΓ)=(ΕΔΓ)/(ΕΑΔ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω δύο κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ θερμά
Νίκος Κυριαζής.

#74

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Αγαπητοί φίλοι,

Κατανοώ, βεβαίως ότι επειδή έχω μείνει μόνος στην προσπάθειά μου αυτή, είναι ανιαρό και κουραστικό για όλους μας. Γι’ αυτό σκεπτόμουν και σκέπτομαι μελλοντικά να περιορίσω να δίνω εδώ σχετικές λεπτομέρειες, αλλά να συνεχίσω την εργασία αυτή στο γραφείο μου και να σας ενημερώνω ανελλιπώς στην διεύθυνση αυτή, κατά διαστήματα σχετικά με την εξέλιξη του θέματος. Έτσι κι’ αλλιώς μόνος μου εργάζομαι (Εκτός βέβαια του φίλου Γιώργου Ρίζου)..
Πάντως, παράλληλα με τα 129 Κριτήρια που μέχρι τώρα έχω αναρτήσει εδώ, έχω επινοήσει και έχω καταγράψει, για το ίδιο θέμα και πολλά άλλα σχετικά στοιχεία Ευκλείδειας Γεωμετρίας (Προτάσεις, Κατασκευές), για το Χρυσό ορθογώνιο Τρίγωνο, αλλά και για τα παραγόμενα σχήματα απ’ αυτό, τα οποία εκτιμώ ότι ανέρχονται στα 60 μέχρι σήμερα. Έτσι όλα αυτά (και τα Κριτήρια) και ότι άλλο στη συνέχεια προκύψει (πιστεύω ότι θα προκύψουν πολλά), θα αποτελέσουν το έκτο βιβλίο μου (τόμος 22), το οποίο όμως έχει πολύ δουλειά ακόμη. Αυτός άλλωστε είναι και ένας άλλος λόγος που σκεπτόμουν και σκέπτομαι μελλοντικά να περιορίσω να δίνω εδώ λεπτομέρειες, αλλά να σας ενημερώνω ανελλιπώς στην διεύθυνση αυτή, κατά διαστήματα σχετικά με την εξέλιξη του θέματος, όπως και παραπάνω ανέφερα.

Με εκτίμηση και αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
για την ενημέρωσή σας, βρισκόμαστε στην ευχάριστη θέση, να σας κάνουμε γνωστό ότι επιτύχαμε την επινόηση τριών ακόμη πρωτοεμφανιζόμενων Κριτηρίων με αριθμούς, 130, 131, 132 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» (Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/130, 5/131, 5/132 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μας με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 128, 129, 130 Κριτήρια δικής μας επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 133 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 131.

Διατυπώσεις-Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Διατυπώσεις και δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών Κριτηρίων δεν θα δοθούν. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τα δικά τους σχετικά Κριτήρια.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#75

Αγαπητοί φίλοι,
για την ενημέρωσή σας, βρισκόμαστε στην ευχάριστη θέση, να σας κάνουμε γνωστό ότι επιτύχαμε την επινόηση τριών ακόμη πρωτοεμφανιζόμενων Κριτηρίων με αριθμούς, 133, 134, 135 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» ( Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/133, 5/134, 5/135 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μας με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 131, 1132, 133 Κριτήρια δικής μας επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 136 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 134.

Διατυπώσεις-Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Διατυπώσεις και δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών Κριτηρίων δεν θα δοθούν. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τα δικά τους Κριτήρια.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#76

Αγαπητοί φίλοι,
για την ενημέρωσή σας, βρισκόμαστε στην ευχάριστη θέση, να σας κάνουμε γνωστό ότι επιτύχαμε την επινόηση δύο ακόμη πρωτοεμφανιζόμενων Κριτηρίων με αριθμούς, 136, 137, «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» ( Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/136, 5/137, αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μας με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 134, 135, Κριτήρια δικής μας επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 138 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 136.

Διατυπώσεις-Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Διατυπώσεις και τις δικές μας αποδείξεις των παραπάνω δύο Κριτηρίων δεν θα δοθούν. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τα δικά τους Κριτήρια.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#77

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω τρία πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 138, 139, 140 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» ( Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/138, 5/139, 5/140 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 136, 137, 138 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 141 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 139.

Κριτήριο 138.
5/138. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ. Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι (ΑΔΘ)=(ΒΕΤ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό»,.

Κριτήριο 139.
5/139. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ. Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Ι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ και είναι (ΑΔΘ)=(ΓΙΖ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό»,.

Κριτήριο 140.
5/140. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ. Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Ι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ,Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι ΕΙ // ΖΤ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο, ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ θερμά
Νίκος Κυριαζής.

#78

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω τρία πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 141, 142, 143 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» (Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/141, 5/142, 5/143 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 139, 140, 141 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 144 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 142.

Κριτήριο 141.
5/141. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ. Ι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ και είναι (ΔΑΓ)=(ΒΓΙ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 142.
5/142. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ., Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ και είναι (ΑΒΓ)/(ΔΑΓ)=(ΑΒΘ)/(ΑΓΘ), τότε και μόνο τότε, το τρί-γωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 143.
5/143. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ. Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ και είναι (ΔΑΓ)=(ΑΒΘ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο, ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζή

#79

Αγαπητοί φίλοι,
για την ενημέρωσή σας, βρισκόμαστε στην ευχάριστη θέση, να σας κάνουμε γνωστό ότι επιτύχαμε την επινόηση τριών ακόμη πρωτοεμφανιζόμενων Κριτηρίων με αριθμούς, 144, 145, 146 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» ( Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/144, 5/145, 5/146 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μας με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 142, 143, 144 Κριτήρια δικής μας επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 147 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 145.

Διατυπώσεις-Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Διατυπώσεις και δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών Κριτηρίων δεν θα δοθούν. Θα τα δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τα δικά τους Κριτήρια.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#80

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω τρία πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 147, 148, 149 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» (Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/147, 5/148, 5/149 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 145, 146, 147 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 150 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 148.
Αγαπητοί φίλοι,
είναι φανερό ότι βρισκόμαστε λίγο προ του εορτασμού της επινόησης του Κριτηρίου 150. «ΑΥΤΟ ΤΟ ΛΑΧΕΙΟ ΠΟΙΟΣ ΘΑ ΤΟ ΠΑΡΕΙ;».

Κριτήριο 147.
5/147. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ και είναι (ΑΒΓ)/(ΔΑΓ)= $\frac{\Gamma \Delta ^{2}}{\Delta A^{2}}$ , τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 148.
5/148. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ και είναι (ΑΒΓ)/(ΔΑΓ)=ΓΕ/ΕΑ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 149.
5/149. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ, Κ είναι η τομή των ΑΔ, ΓΙ και το εμβαδό του τετράπλευρου ΒΔΚΙ είναι ίσο με το εμβαδό του τριγώνου ΑΓΚ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο, ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 214 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 121 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 123 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 123 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 125 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 125 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 126 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 128 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 130 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 136 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 138 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 141 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 141 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 147 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 150 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Μέλη σε σύνδεση