ανηγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

limbonic · #1

καλημέρα σε όλους στο φορουμ, εχω 2 απορίες σε μια άσκηση αν μπορεί καποιος να με διαφωτήσει:

έχουμε αρχικά αυτον τον πίνακα:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 2\\ 2 & 6 & 9 & 5\\ -1 &-3 & 3 & 0\end{bmatrix}$

1)πρέπει να βρω την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του και την τάξη του

μετα απο απαλοιφη Gauss βγαζω αυτόν τον πίνακα:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 6 & 2\end{bmatrix}$

ειναι σωστος ο συλλογισμός μου και αν ναι ποια ειναι η τάξη του πίνακα??

2) επίσης διάβασα οτι η τάξη ενός πίνακα ειναι ο αριθμός των γραμμικών ανεξάρτητων στηλών η γραμμών, αν ο πίνακας δεν είναι ΝxN αλλά ΝxΜ ο αριθμός των στηλών η των γραμμών είναι τελικά.
πχ σε αυτόν τον πίνακα:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &3\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

Ευχαριστω προκαταβολικά.

#2

Καταρχήν καλώς ήρθες στο

!!!

Όσον αφορά για τα ερωτήματά σου:
1. Ο πίνακας που δίνεις δεν ικανοποιεί τον ορισμό του ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα. Νομίζω ότι ο ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας είναι ο $\displaystyle{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}$ .

Η τάξη του πίνακα είναι 3.

2.Και εδώ η τάξη του πίνακα είναι 3.

limbonic · #3

ευχαριστώ πολύ φιλε μου,
για να καταλάβω η τάξη του πίνακα βγαίνει απο το πόσσες μη μηδενικές στήλες έχουμε σε έναν κλιμακωτό πίνακα οπως και οι 2 παραπάνω??

#4

limbonic έγραψε:ευχαριστώ πολύ φιλε μου,
για να καταλάβω η τάξη του πίνακα βγαίνει απο το πόσσες μη μηδενικές στήλες έχουμε σε έναν κλιμακωτό πίνακα οπως και οι 2 παραπάνω??

Είναι το πλήθος των γραμμικώς ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών. Αν ο πίνακας είναι ανηγμένος κλιμακωτός ισχύει αυτό που λες.

Για παράδειγμα και στον πίνακα που είχες δώσει ως ανηγμένο κλιμακωτό είναι φανερό ότι οι δύο πρώτες γραμμές είναι εξαρτημένες.

limbonic · #5

ευχαριστω πολυ!! το καταλαβα τωρα!!
να'σαι καλα φιλε μου

#6

Για την (1) εγώ βρίσκω άλλη απάντηση. Βρίσκω $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Βρίσκω επίσης ότι η τάξη του πρώτου πίνακα ισούται με 2 και όχι με 3.

Για να είμαστε σίγουροι όμως ότι μιλάμε για τον ίδιο ακριβώς ορισμό, αυτός που γνωρίζω εγώ λέει ότι ένας πίνακας είναι σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή αν και μόνο αν ισχύουν τα παρακάτω:

(α) Όλες οι μηδενικές σειρές είναι από κάτω από τις μη μηδενικές σειρές
(β) Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής σειράς ισούται με 1. Επιπλέον στην στήλη που εμφανίζεται αυτό το στοιχείο, όλα τα υπόλοιπα στοιχεία ισούνται με 0.
(γ) Αν υπάρχουν

μη μηδενικές σειρές και c_j

είναι η στήλη που εμφανίζεται το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο της σειράς

τότε $c_1 < c_2 < \cdots < c_k$

Μπορεί να αποδειχθεί ότι

Κάθε πίνακας μπορεί να μετατραπεί σε πίνακα σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή χρησιμοποιώντας μόνο μετασχηματισμούς γραμμών. Επιπλέον το αποτέλεσμα αυτής της μετατροπής είναι μοναδικό.

#7

Demetres έγραψε:Για την (1) εγώ βρίσκω άλλη απάντηση. Βρίσκω $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Βρίσκω επίσης ότι η τάξη του πρώτου πίνακα ισούται με 2 και όχι με 3.

Ναι, έχεις δίκιο για τον ανηγμένο κλιμακωτό.

Η τάξη του πίνακα αφορά μόνο τις ανεξάρτητες γραμμές, οι οποίες είναι προφανώς 2; Ο ανηγμένος κλιμακωτός έχει 3 ανεξάρτητες στήλες, έτσι δεν είναι; Πως πάει το σωστό;

nonlinear · #8

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Demetres έγραψε:Για την (1) εγώ βρίσκω άλλη απάντηση. Βρίσκω $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Βρίσκω επίσης ότι η τάξη του πρώτου πίνακα ισούται με 2 και όχι με 3.

Ναι, έχεις δίκιο για τον ανηγμένο κλιμακωτό.

Η τάξη του πίνακα αφορά μόνο τις ανεξάρτητες γραμμές, οι οποίες είναι προφανώς 2; Ο ανηγμένος κλιμακωτός έχει 3 ανεξάρτητες στήλες, έτσι δεν είναι; Πως πάει το σωστό;

Mε καποια επιφυλαξη : εαν βρω οτι υπαρχει τουλαχιστον μια ν-1 υποριζουσα διαφορη του μηδενος τοτε rank(A)=n-1
εδω ολες οι 3χ3 ειναι μηδεν ενω υπαρχει μια 2χ2 (τουλαχιστον) διαφορη του μηδενος.

limbonic · #9

o ανηγμενος κλιμακωτός έτσι δεν βρίσκεται?

$\begin{pmatrix} 1& 3& 3& 2\\ 2& 6& 9& 5\\ -1& -3 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

$r2\rightarrow r2 - 2*r1$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 &2 \\ 0 & 0 & 3 &1 \\ -1& -3 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

$r3\rightarrow r3 + r1$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 &2 \\ 0 & 0 & 3 &1 \\ 0& 0 & 6 & 2 \end{pmatrix}$

$r3\rightarrow r3 - 2*r2$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 &2 \\ 0 & 0 & 3 &1 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r1\rightarrow r1 - r2$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 3 &1 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r2\rightarrow r2 / 3$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 1 &1/3 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

#10

limbonic έγραψε:o ανηγμενος κλιμακωτός έτσι δεν βρίσκεται?

$\begin{pmatrix} 1& 3& 3& 2\\ 2& 6& 9& 5\\ -1& -3 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

$r2\rightarrow r2 - 2*r1$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 &2 \\ 0 & 0 & 3 &1 \\ -1& -3 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

$r3\rightarrow r3 + r1$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 &2 \\ 0 & 0 & 3 &1 \\ 0& 0 & 6 & 2 \end{pmatrix}$

$r3\rightarrow r3 - 2*r2$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 &2 \\ 0 & 0 & 3 &1 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r1\rightarrow r1 - r2$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 3 &1 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r2\rightarrow r2 / 3$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 1 &1/3 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

limbonic · #11

και τελικά καταληγουμε οτι η τάξη του πίνακα ειναι 2 ??

#12

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: Η τάξη του πίνακα αφορά μόνο τις ανεξάρτητες γραμμές, οι οποίες είναι προφανώς 2; Ο ανηγμένος κλιμακωτός έχει 3 ανεξάρτητες στήλες, έτσι δεν είναι; Πως πάει το σωστό;

Λευτέρη δες το καλά. Δυο ανεξάρτητες στήλες έχει και όχι τρεις. Γενικά ισχύει πάντα ότι ο μέγιστος αριθμός ανεξάρτητων γραμμών ισούται με τον μέγιστο αριθμό ανεξάρτητων στηλών. Αν βρίσκουμε διαφορετικό αποτέλεσμα τότε κάπου έχουμε κάνει λάθος.

nonlinear έγραψε: Mε καποια επιφυλαξη : εαν βρω οτι υπαρχει τουλαχιστον μια ν-1 υποριζουσα διαφορη του μηδενος τοτε rank(A)=n-1
εδω ολες οι 3χ3 ειναι μηδεν ενω υπαρχει μια 2χ2 (τουλαχιστον) διαφορη του μηδενος.

Γιατί όμως να μπούμε στον κόπο να υπολογίσουμε όλες τις υποορίζουσες; Το αποτέλεσμα μπορούμε να το διαβάσουμε απ' ευθείας από την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του πίνακα.

limbonic έγραψε:και τελικά καταληγουμε οτι η τάξη του πίνακα ειναι 2 ??

Ναι

#13

Ωραία, Δημήτρη είναι πλήρως κατανοητό.

Σε ευχαριστούμε.

it1533 · #14

Πώς βρίσκω τον κατά γραμμές ανοιγμένο κλιμακωτό πίνακα (ισοδύναμο) του Α ?
$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$
Βρήκα το αποτέλεσμα μέσω MATLAB με την εντολή rref όμως δεν έχω καταλάβει τον αλγόριθμο απαλοιφής Gauss

#15

it1533 έγραψε:Πώς βρίσκω τον κατά γραμμές ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα (ισοδύναμο) του Α ;
$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$
Βρήκα το αποτέλεσμα μέσω MATLAB με την εντολή rref όμως δεν έχω καταλάβει τον αλγόριθμο απαλοιφής Gauss

Η διαδικασία εύρεσης ενός ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα ισοδύναμου με δοθέντα πίνακα είναι πολύ απλή αρκεί

1) να γνωρίζουμε τι είναι ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας και
2) να γνωρίζουμε ποιες γραμμοπράξεις επιτρέπονται για τον μετασχηματισμό του πίνακα (2 είναι όλες κι όλες και με αυτές μετατρέπουμε τον πίνακα σε ανηγμένο κλιμακωτό)

και τα δύο μπορούν να βρεθούν -μαζί με πολλά παραδείγματα- σε οποιοδήποτε βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας.

Άλλωστε υπάρχει ένα παράδειγμα παραπάνω στην δημοσίευση.

it1533 · #16

Ναι κατάλαβα ευχαριστώ πολύ, το έλυσα τώρα, απλά είχα μπερδευτεί επειδή ο πίνακας ήταν $3\times5$ και δεν είχα καταλάβει και καλά τον αλγόριθμο έτσι που τον έγραφε το βιβλίο.

ανηγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

ανηγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Re: αναγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα και η τάξη του

Μέλη σε σύνδεση