Πόσοι υπάλληλοι πρέπει να προσληφθούν;

#1

Σε μια εταιρία υπάρχουν οι εξής κανόνες:

1) Αν ένας υπάλληλος έχει τα γενέθλιά του τότε όλοι οι υπάλληλοι παίρνουν άδεια. Αν όχι τότε όλοι οι υπάλληλοι οφείλουν να πάνε στην δουλειά και να δουλέψουν οκτάωρο.
2) Οι υπάλληλοι προσλαμβάνονται χωρίς καμία διάκριση με βάση την ημερομηνία γέννησής τους.

Ανεξαρτήτως κόστους η εταιρεία θέλει να αυξήσει τον συνολικό αριθμό ωρών εργασίας ανά έτος. Πόσους εργάτες πρέπει να προσλάβει;

Για αυτήν την άσκηση υποθέτουμε πως δεν υπάρχουν δίσεκτα έτη και για κάθε άτομο η πιθανότητα να έχει γεννηθεί οποιαδήποτε μέρα είναι 1/365 ανεξάρτητα από τα άλλα άτομα.

coyote · #2

Έχουμε

δωμάτια και θέλουμε να βάλουμε μέσα σ' αυτά

υπαλλήλους, τυχαία.
Κάθε δωμάτιο έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί.
Δεν $\exists$ περιορισμός στη χωρητικότητα των δωματίων.

Έστω X_i

η τυχαία μεταβλητή Beroulli, η οποία παίρνει την τιμή 1 όταν το δωμάτιο-i είναι ελεύθερο και την τιμή 0 όταν είναι κατειλημμένο.
Καθένας από τους

υπαλλήλους μπορεί να βρεθεί στο δωμάτιο-i με πιθανότητα $\frac{1}{N}$ , επομένως η πιθανότητα να μη βρεθεί στο i είναι $\frac{N-1}{N}$

Επομένως, η πιθανότητα να βρεθούν όλοι σε διαφορετικό δωμάτιο του i είναι $P\left(X_i=1\right) = \left(\frac{N-1}{N}\right)^k$ απ' όπου προκύπτει η μέση τιμή $EX_i = \left(\frac{N-1}{N}\right)^k$

Έστω η τυχαία μεταβλητή $Y=\sum_{i=1}^{N}{X_i}$ της οποίας η τιμή μας δείχνει τον αριθμό των κενών δωματίων.
Πάντοτε, η αναμενόμενη τιμή αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των αναμενόμενων τιμών, επομένως είναι

$EY = \sum_{i=1}^{N}{EX_i} = \sum_{i=1}^{N}{\left(\frac{N-1}{N}\right)^k} = N\left(\frac{N-1}{N}\right)^k$

Στο πιο ρεαλιστικό

πρόβλημα της εταιρείας, θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε το $H(k) = k\cdot EY = kN\left(\frac{N-1}{N}\right)^k$ , που είναι ο (αναμενόμενος) συνολικός αριθμός ημερών εργασίας. Για το σκοπό αυτό παίρνουμε τους λόγους των διαδοχικών όρων:

$\frac{H(k+1)}{H(k)} = \frac{(k+1)N\left(\frac{N-1}{N}\right)^{k+1}}{kN\left(\frac{N-1}{N}\right)^k} = \frac{k+1}{k}\cdot\left(\frac{N-1}{N}\right)$

$H(k+1) > H(k) \Leftrightarrow (k+1)(N-1) > kN \Leftrightarrow \boxed{k < N-1}$
Αντίστοιχα
$H(k+1) < H(k) \Leftrightarrow \boxed{k > N-1}$
και
$H(k+1) = H(k) \Leftrightarrow \boxed{k = N-1}$

Για $k\leq N-1$ η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα
Για $k\geq N$ η ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα

Το μέγιστο είναι $H(N) = N^2\left(\frac{N-1}{N}\right)^N = 365^2\left(\frac{364}{365}\right)^{365}$

Επειδή προκύπτει ίσο αναμενόμενο πλήθος ημερών εργασίας, η εταιρεία προφανώς θα προτιμήσει να έχει 364 αντί για 365 υπαλλήλους

#3

Η απόδειξή σου μάλιστα είναι πολύ πιο όμορφη από την απόδειξη του συγγραφέα του άρθρου από το οποίο ψάρεψα το πρόβλημα.

Για την ρεαλιστικότητα του προβλήματος ας μην το συζητάμε

Πόσοι υπάλληλοι πρέπει να προσληφθούν;

Πόσοι υπάλληλοι πρέπει να προσληφθούν;

Re: Πόσοι υπάλληλοι πρέπει να προσληφθούν;

Re: Πόσοι υπάλληλοι πρέπει να προσληφθούν;

Μέλη σε σύνδεση