Σημεία - Μήκος

[Djimmakos]

Θέλω να ρωτήσω κάτι που με βασανίζει από την αρχή της χρονιάς αλλά πάντα ξεχνάω να το ρωτήσω..
Χθες το βράδυ το θυμήθηκα και έτσι είπα να μη χάσω την ευκαιρία να ρωτήσω..

Λοιπόν:

Αφού τα σημεία δεν έχουν διαστάσεις, το ευθύγραμμο τμήμα γιατί λέμε ότι έχει μήκος;

[k-ser]

Απλά.... για να ομορφαίνει η ζωή μας!
Από ερωτήσεις που μπορεί και να μην έχουν απαντήσεις.

Να είσαι καλά και ... να ρωτάς, πάντα. Ακόμα, κι αν δεν παίρνεις απαντήσεις.

[Djimmakos]

Χμμ, τελικά δεν είναι τυχαίο το γεγονός ότι από κανένα μαθηματικό που ρώτησα δεν πήρα απάντηση..

Ενδιαφέρον...

Ευχαριστώ πάντως!!

[nsmavrogiannis]

Αγαπητέ Djimmakos
Πράγματι τα σημεία δεν έχουν μήκος.
Πράγματι ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει μήκος.
Το παράδοξο είναι φαινομενικό διότι περιμένουμε το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος να είναι το άθροισμα των μηκών των σημείων που το απαρτίζουν. Και εύλογα μπορεί να πει κανείς: Μα πώς θα πάρω κάτι που είναι διάφορο του μηδενός αθροίζοντας πολλά μηδενικά; 'Εστω και άπειρα; Αλλά αδίκως περιμένουμε κάτι τέτοιο για τον απλό λόγο ότι δεν ισχύει. Το μήκος ενός τμήματος με τον ένα ή τον άλλο τρόπο εν τέλει όρίζεται ως η απόσταση δύο πραγματικών αριθμών στον υπολογισμό της οποιας δεν υπεισέρχονται καθόλου τα ενδιάμεσα σημεία.
Ελπίζω να έριξα κάποιο φως και δεν έχω την ψευδαίσθηση ότι έδωσα απάντηση γιατί όπως ποιητικά προανέφερε ό Κώστας Σερίφης οι ελπίδες για μία τελειωτική απάντηση είναι μηδενικές.
Αλλά για να συνεχίσω με την ίδια διάθεση μήπως δεν συμβαίνει στην ζωή μας να πραγματοποιείται κάτι απρόσμενο που αν μπαίναμε στον κόπο το αναλύσουμε σε επιμέρους συμβάντα-προυποθέσεις θα μας φαίνονταν ως προς την πραγματοποίηση τους αδύνατα ;
Μαυρογιάννης

[k-ser]

Αγαπητέ Djimmakos.
Το αρχικό σου σχόλιο, το οποίο διόρθωσες, στην απάντησή μου με στεναχώρησε.
Δεν σου απάντησα: "έτσι"!

Οι μαθηματικοί, οι δάσκαλοί σου δεν έχουν όλες τις απαντήσεις. Για πολλούς λόγους.
Αυτό - πίστεψέ με - δεν είναι καθόλου δυσάρεστο για το μαθητή: καλύτερος πρέπει να γίνει από το δάσκαλό του.

Οι άνθρωποι δεν έχουν όλες τις απαντήσεις και έχει αποδειχθεί ότι και να θέλουν δεν θα μπορούσαν.
Όμορφο είναι αυτό. Φαντάσου μια ζωή όπου θα γνωρίζαμε τα πάντα! Ανόητη θα ήταν.

Και για να επανέλθω στο αρχικό σου ερώτημα: Τι λες; Μπορούμε να προσθέσουμε τα άπειρα μηδενικά στην επόμενη παράσταση:
S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+..........;

[Μπάμπης Στεργίου]

Χμμ, τελικά δεν είναι τυχαίο το γεγονός ότι από κανένα μαθηματικό που ρώτησα δεν πήρα απάντηση..

Ενδιαφέρον...

Ευχαριστώ πάντως!!

Ο κώστας σου απάντησε με ένα ευχάριστο τόνο που αξίζει περισσότερο από μια άποψη !!!Δεν απέφυγε να σου απαντήσει αλλά προσπάθησε να σε κάνει να σκεφτείς μόνος σου λίγο διαφορετικά !

Διότι η απορία σου δεν είναι τόσο μαθηματική όσο φιλοσοφική .Με το ίδιο σκεπτικό θα μπορούσες να ρωτήσεις :'' οι ευθείες έχουν διάσταση 1 αλλά γιατί το επίπεδο έχει διάσταση 2 ; ''. Ή ακόμα '' αφού τα τμήματα δεν έχουν εμβαδόν το ορθογώνιογιατί έχει , αφού δεν είναι τίποτα άλλο παρά άθροισμα τμημάτων;''.
Το τμημα δεν το βλέπουμε ως άθροισμα σημείων και το επίπεδο δεν είναι άθροισμα ευθειών , με τη συνηθισμένη έννοια( όπως δηλαδή την ξέρουμε από το δημοτικό). Δεν μπορούμε λοιπόν να προσθέτουμε τόσο αυθαίρετα διαστάσεις, διότι η διάσταση στα μαθηματικά είναι πολύ δύσκολη έννοια και μόνο με προχωρημένα σε δυσκολία μαθηματικά μπορούμε να προσεγγίσουμε αυτον τον όρο.
Όταν βρεθούμε από κοντά το καλοκαίρι θα σου πω πιο πολλά 1

μπάμπης

[dement]

Καλημερα.

Αν και ξεφευγω απο την υλη της Α'Λυκειου, ισως θα ειχε ενδιαφερον να εκφρασουμε την απορια του Djimmakos με καθαρα μαθηματικο τροπο, αφαιρωντας τα οποια 'φιλοσοφικα' στοιχεια στα οποια αναφερεται ο κυριος Στεργιου.

Θα λεγαμε λοιπον οτι, αφου...

1. Καθε μονοσυνολο ('σημειο') ειναι μετρησιμο, με μετρο ('μηκος') .

2. Καθε συνολο που ειναι ενωση ξενων μεταξυ τους μετρησιμων συνολων εχει μηκος το αθροισμα των μηκων των επιμερους συνολων.

3. Το ευθυγραμμο τμημα ειναι ενωση ξενων μεταξυ τους σημειων.

...δε θα επρεπε το ευθυγραμμο τμημα να εχει μηκος ; Γιατι εχει μηκος ;

Εκανα μια σκοπιμη παραλειψη στο βημα 2, στην οποια οφειλεται το φαινομενικο παραδοξο. Τα επιμερους συνολα πρεπει να ειναι το πολυ αριθμησιμα το πληθος. Αν ειναι απειρα, πρεπει να μπορει να κατασκευαστει μια ακολουθια (με πρωτο, δευτερο, τριτο,... στοιχειο) που να τα περιεχει ολα.

Τα σημεια που απαρτιζουν το ευθ. τμημα δεν ειναι απλως απειρα, αλλα υπεραριθμησιμα. Δεν υπαρχει τροπος να κατασκευαστει μια ακολουθια που να τα περιεχει ολα (οπως ισχυει, π.χ., με τους φυσικους αριθμους). Αυτο το γεγονος ειναι που αναιρει την 'προσθετικοτητα' του μηκους.

Ελπιζω να εδωσα μια χειρα βοηθειας (και να μη χειροτερεψα τα πραγματα!)

Δημητρης Σκουτερης

[antonis_math]

Djimmakos,
οι συνάδελφοι τα έχουν πει καλύτερα απο ότι θα στα πω εγώ αλλα άκου και αυτά
Σκέφτεσαι και λές: "πως γίνεται ένα σημείο να μην έχει διαστάσεις?" Στην πραγματικότητα που ζούμε,σημείο, με τον μαθηματικό ορισμό,δεν υπάρχει.
Είναι καθαρά μαθηματικη έννοια. Το ίδιο συμβαίνει και με 2 παράλληλες ευθείες. Θα μπορούσε κανείς να φτιάξει 2 παράλληλες ευθείες? Δηλαδή να μη μπορούν τα ενωθούν κάπου? Κι όμως μπορούμε να μιλήσουμε για παράλληλες ευθείες και να συμφωνούμε σε αυτό. (Είναι σαν να ρωτάμε αν υπάρχει ποτέ περίπτωση να ρίξεις ένα νόμισμα και να μην έρθει ούτε κορώνα ούτε γράμματα? Δηλαδή να κάτσει όρθιο? Στην πραγματικότητα που ζούμε όχι. Όμως θεωρητικά μπορεί να συμβεί)

Τα ίδια που ρώτησες για το ευθύγραμμο τμήμα και το σημείο θα μπορούσες να πεις και για τον χρόνο. Υπάρχει χρονική στιγμή;(πχ η χρονική στιγμή t=0) Μπορεί να παγώσει ο χρόνος? Χρονική στιγμή δεν υπάρχει στην πραγματικότητα. Μόνο χρονικά διαστήματα υπάρχουν, έστω απειροελάχιστα. Όμως μπορούμε να μετρήσουμε χρονικό διάστημα αφαιρώντας "χρονικές στιγμές".
Μόνο αν θεωρήσουμε οτι το σημείο έχει μηδενικές διαστάσεις θα έχουμε "ιδανικά" αποτελέσματα χωρίς σφάλματα. Δηλαδή τα μαθηματικά είναι σωστά. Η πραγματικότητα "χάνει" κάπου.
ελπίζω να βοήθησα.

[Djimmakos]

Αγαπητέ Djimmakos.
Το αρχικό σου σχόλιο, το οποίο διόρθωσες, στην απάντησή μου με στεναχώρησε.
Δεν σου απάντησα: "έτσι"!

Οι μαθηματικοί, οι δάσκαλοί σου δεν έχουν όλες τις απαντήσεις. Για πολλούς λόγους.
Αυτό - πίστεψέ με - δεν είναι καθόλου δυσάρεστο για το μαθητή: καλύτερος πρέπει να γίνει από το δάσκαλό του.

Οι άνθρωποι δεν έχουν όλες τις απαντήσεις και έχει αποδειχθεί ότι και να θέλουν δεν θα μπορούσαν.
Όμορφο είναι αυτό. Φαντάσου μια ζωή όπου θα γνωρίζαμε τα πάντα! Ανόητη θα ήταν.

Και για να επανέλθω στο αρχικό σου ερώτημα: Τι λες; Μπορούμε να προσθέσουμε τα άπειρα μηδενικά στην επόμενη παράσταση:
S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+..........;

Το ξέρω ότι αυτό που έγραψα ήταν λάθος και γι' αυτό το διόρθωσα.. Συγγνώμη.

Και μπορεί έτσι όπως έγραψα το μήνυμά μου να φάνηκε ότι δυσαρεστήθηκα.. Δεν είναι καθόλου έτσι όμως..Απλώς νόμιζα ότι θα υπήρχε κάποια λογική απάντηση..

Είχα την ψευδαίσθηση ότι τα μαθηματικά θα έχουνε μια απάντηση για τα πάντα..

Και όσο για την παράσταση που λέτε, και να μπορούσαμε να τα προσθέσουμε, θα είχαμε πάλι 0..

Σας ευχαριστώ πάντως όλους που διαθέσετε κάποιο χρόνο για να μου απαντήσετε!! Έμαθα κάποια πράγματα και κατάλαβα ότι και ακόμα αν δε ξέρεις κάτι, δεν τρέχει τίποτα..Η άγνοια είναι ωραίο πράγμα ως ένα σημείο...

[k-ser]

Το ξέρω ότι αυτό που έγραψα ήταν λάθος και γι' αυτό το διόρθωσα.. Συγγνώμη.

Και μπορεί έτσι όπως έγραψα το μήνυμά μου να φάνηκε ότι δυσαρεστήθηκα.. Δεν είναι καθόλου έτσι όμως..Απλώς νόμιζα ότι θα υπήρχε κάποια λογική απάντηση..

Είχα την ψευδαίσθηση ότι τα μαθηματικά θα έχουνε μια απάντηση για τα πάντα..

Και όσο για την παράσταση που λέτε, και να μπορούσαμε να τα προσθέσουμε, θα είχαμε πάλι 0..

Σας ευχαριστώ πάντως όλους που διαθέσετε κάποιο χρόνο για να μου απαντήσετε!! Έμαθα κάποια πράγματα και κατάλαβα ότι και ακόμα αν δε ξέρεις κάτι, δεν τρέχει τίποτα..Η άγνοια είναι ωραίο πράγμα ως ένα σημείο...

Όλοι μας έχουμε δικαίωμα στο λάθος και δεν υπάρχει τίποτα κακό εφόσον μπορούμε να το διορθώνουμε.
Η άγνοια είναι ωραίο πράγμα, όπως γράφεις, μα μόνο σαν κίνητρο - ανάγκη να μάθουμε και συγχρόνως να κατανοήσουμε τη δύναμή μας και την αδυναμία μας.
Όσο για τα μαθηματικά, μπορούν να απαντήσουν σε άπειρα προβλήματα που υπάρχουν αλλά, δυστυχώς ή ευτυχώς, δεν μπορούν να απαντήσουν σ' όλα τα προβλήματα
και αυτό, το αν μπορούν να απαντήσουν σ' όλα τα προβλήματα, είναι ένα πρόβλημα στο οποίο έχουν ήδη απαντήσει και η απάντηση είναι: όχι!

Όσο για το άθροισμα που σου έδωσα να υπολογίσεις, πρόσεξε:
S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+..... = 0+0+0+....=0
όμως
S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+.....=1+0+0+0+.....=1
Θα μπορούσαμε, αναδιατάσσοντας τους όρους του αθροίσματος να βρούμε άπειρες τιμές για το S.
Τα μαθηματικά εδώ απαντάνε ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε ένα τέτοιο άθροισμα.
Το γιατί έχει να κάνει με τη μελέτη της έννοιας του απείρου και στην οποία μελέτη μπλέκουμε με έννοιες αριθμήσιμων και υπεραριθμήσιμων συνόλων στα οποία αναφέρεται ο Δημήτρης Σκουτερης σε προηγούμενο μήνυμα. Πράγματα με αρκετό ενδιαφέρον τα οποία είμαι σίγουρος ότι θα γνωρίσεις στο μέλλον.
Μέχρι τότε
πολλά θα γνωρίσεις και για ακόμα περισσότερα θα απορήσεις.
Ποτέ δε θα μπορέσεις να τα μάθεις όλα. Κι αυτό... δεν είναι κακό.

Να είσαι καλά.

[Djimmakos]

Πολύ ωραία σκέψη αυτή με το άθροισμα..

Πραγματικά δε σκέφτηκα ότι αναδιατάσσοντας τους όρους θα παίρναμε διαφορετικά αποτελέσματα...

Είναι ωραία τα μαθηματικά και θα ήθελα να ασχοληθώ μαζί τους... (αν και τα φοβάμαι λίγο...)

Θα δείξει..

[papos30]

Djimmakos
θα κάνω με τη σειρά μου μια προσπάθεια αν και η ερώτησή σου είναι το κέντρο της μαθηματικής σκέψης.
Όλα ξεκινάνε από την ιδιαιτερότητα του απείρου. Κάποιοι, μάλιστα, αφοριστικά υποστηρίζουν πως τα μαθηματικά είναι η μελέτη του απείρου.

Τα παιχνίδια με το άπειρο οδηγούν σε 'λογικές' απάτες. Πάρε για παράδειγμα το άθροισμα που έγραψε ο Κύριος Σερίφης.
Να μην ξεχνάμε τον …υπονομευτή Ζήνωνα που με τα παράδοξά του (ο Αχιλλέας δε θα φτάσει ποτέ τη χελώνα γιατί πάντα θα διανύει το μισό της απόστασής τους και η χελώνα θα προπορεύεται κατά τι) ώθησε στις πιο γόνιμες συζητήσεις γύρω από τα μαθηματικά και τον φυσικό κόσμο. Υπάρχει μάλιστα η άποψη πως ο Ευκλείδης θεμελίωσε τα αξιωματικά μαθηματικά στην προσπάθειά του να αποφύγει τις τρέλες του Ζήνωνα. Οι πιο μεγάλες διαμάχες έγιναν γύρω από την έννοια του απείρου και κυρίως των απειροστών (πολύ μικρές ποσότητες) που συμμετείχαν σε πράξεις και άλλοτε ήταν 0 (κάτι σαν σημεία) και άλλοτε ήταν αθροίσιμες ποσότητες που μας έδιναν αριθμό (όπως περίπου περιγράφεις στο ερώτημά σου). Μαθηματικοί ειρωνεύονταν μαθηματικούς με απίστευτους χαρακτηρισμούς και μειωτικά υπονοούμενα…

Τα απειροστά όμως φαίνονταν να 'δουλεύουν'.
Για παράδειγμα γνωρίζοντας πως το μήκος του κύκλου είναι 2πρ μπορούμε να αποδείξουμε τον τύπο του εμβαδού κυκλικού δίσκου: χωρίζουμε τον δίσκο σε "πολλούς" ίσους κυκλικούς τομείς (φέρω πολλές ακτίνες). Είναι διαισθητικά 'φανερό' πως αν πάρω πάρα πολλούς (άπειρους) κυκλικούς τομείς τότε 'πρακτικά' καθένας από αυτούς θα έχει γίνει "σχεδόν" τριγωνάκι με ύψος ρ και το εμβαδόν του θα είναι βάση x ύψος / 2 = βάση x ρ/2. Αν αθροίσουμε αυτά τα απειροστά εμβαδά των τριγώνων τότε βγάζοντας κοινό παράγοντα το ρ/2 και αθροίζοντας τις πολύ πολύ μικρές βάσεις θα πάρουμε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που θα είναι 2πρ x ρ/2=πρ^2 ! Αυτή την απόδειξη έδωσε κάποτε ο Nicolas Cusa και…λοιδορήθηκε δεόντως.

Σήμερα η μαθηματική λογική προχώρησε πολύ και έφτασε στα όρια του ανθρώπινου μυαλού παίζοντας με το άπειρο και φτιάχνοντας ασύλληπτα άπειρα σύνολα, σύνολα συνόλων, σύνολα συνόλων συνόλων κοκ . Σήμερα , λοιπόν , ξέρουμε ότι τα απειροστά υπάρχουν (με ό,τι αυτό μπορεί να σημαίνει) και …ζουν ανάμεσά μας.

Όπως γράφουν και οι Davis και Hershστο βιβλίο 'Η Μαθηματική εμπειρία' , όλη την εβδομάδα οι μαθηματικοί είναι Πλατωνιστές: κάνουν πράξεις με περίεργα όντα,(όρια, ολοκληρώματα, ευθείες ,κύκλους, καμπύλες κλπ) σαν αυτά να υπάρχουν. Όμως το Σαββατοκύριακο γίνονται Φορμαλιστές και αναρωτιούνται πώς είναι δυνατό να ασχολούνται με ανύπαρκτα πράγματα που δεν τα συναντάς πουθενά στον πραγματικό κόσμο…