Συνάρτηση-Αρχική

#1

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:[0,1] \to [0,1]$ , η οποία έχει αρχική και για μία αρχική της $F:[0,1] \to [0,1]$ ισχύει $F(f(x))=x, \forall x \in [0,1]$
Φιλικά

#2

Εύκολα βλέπουμε ότι η

είναι 1-1 και οτι η

είναι αύξουσα ( αφού $F'(x)=f(x)\geq 0$ .
Άρα και η

είναι αύξουσα και μάλιστα γνησίως αύξουσα (ως 1-1)
(αφού αν x<y

και $f(x)\geq f(y)$ για κάποια x,y

,
θα είχαμε $x=F(f(x))\geq F(f(y))=y$ , άτοπο).

Είναι f(0)=0

.

(Πράγματι, ας υποθέσουμε εις άτοπο απαγωγή ότι f(0)=a>0

. Τότε $F(a)=0\leq F(0) \leq F(a)=0$ ,
δηλ. F(0)=F(a)=0

. Από Rolle, έπεται ότι υπάρχει 0<c<a

, τέτοιο ώστε f(c)=F'(c)=0

, αλλά $0\leq f(0)<f(c)$ , άτοπο.)

Ομοίως, f(1)=1

κι άρα

κι ομοίως

.

Συνεπώς, $\int_0^1 f(x)\,dx=F(1)-F(0)=1$ κι άρα $\int_0^1 2xf(x^2)dx=1$

(Ερώτηση: Γιατί η

είναι ολοκληρώσιμη; Η απάντηση σε hide:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αλλά, είναι $xf(x^2)\leq xf(x)\leq x$ για κάθε $0\leq x\leq 1$ ,

οπότε

$\frac{1}{2}=\int_0^1 xf(x^2)\, dx \leq \int_0^1 xf(x)\,dx \leq \int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}$ .

Άρα

$\int_0^1 xf(x)\,dx=\frac{1}{2}$ .

Επίσης,

$\int_0^1 xf(x)\,dx=\int_0^1 F(f(x))f(x)\,dx=\int_{f(0)}^{f(1)}F(u)\,du=\int_0^1 F(x)\,dx$ ,

οπότε

$\int_0^1 F(x)\,dx=\frac{1}{2}=\int_0^1 x\,dx$ . (1)

Από (εφαρμογή) Θ.Μ.Τ. διαφορικού λογισμού, έχουμε ότι

$|F(x)-F(y)|\leq |x-y|$

για κάθε $x\in [0,1]$ . Ειδικότερα, αφού F(0)=0

και $F(x)\geq 0$ για κάθε $x\in [0,1]$ , ισχύει

$F(x)\leq x$ . (2)

Από (1), (2) και λόγω συνέχειας της

και της ταυτοτικής, έπεται ότι

F(x)=x

για κάθε $x\in [0,1]$ .

Παραγωγίζοντας παίρνουμε f(x)=F'(x)=1

για κάθε $x\in [0,1]$ ,

άτοπο.

Σημείωση: Στη λύση μας θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί να μην θεωρήσουμε δεδομένο ότι η

είναι συνεχής. Αν ήταν, τα πράγματα θα ήταν πιο απλά.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Αχιλλέα καλημέρα
Ωραία η λύση σου. Μήπως όμως θα μπορούσαμε να συντομεύσουμε, αν διαπιστώναμε ότι η

είναι συνεχής, ως γνησίως μονότονη και Darboux (έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής); Οπότε τότε από τη δοθείσα έχουμε $f(x)=F^{-1}(x), \forall x \in [0,1]$ , άρα $1=F(1)-F(0)=\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle \int_{0}^{1}F^{-1}(x)dx$ , άρα υπάρχει x_0

με

ώστε $F^{-1}(x_0)=1=F^{-1}(1)$ , άρα x_0=1

, άτοπο
Φιλικά

#4

s.kap έγραψε:Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:[0,1] \to [0,1]$ , η οποία έχει αρχική και για μία αρχική της $F:[0,1] \to [0,1]$ ισχύει $F(f(x))=x, \forall x \in [0,1]$
Φιλικά

Μπροστά μου έχω ένα βιβλίο που έχει λυμένο το εξής πρόβλημα :

Αν η f έχει πεδίο ορισμού του IR και έχει αρχική, να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει καμία αρχική F της f με την ιδιότητα

$F(f(x)) = x , \forall x \in \mathbb R$

Ίσως ο Σπύρος να το τροποποίησε για να το κάνει πιο ελκυστικό και ίσως πιο απλό.

Μπάμπης

#5

s.kap έγραψε:Αχιλλέα καλημέρα
Ωραία η λύση σου. Μήπως όμως θα μπορούσαμε να συντομεύσουμε, αν διαπιστώναμε ότι η είναι συνεχής, ως γνησίως μονότονη και Darboux (έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής); Οπότε τότε από τη δοθείσα έχουμε $f(x)=F^{-1}(x), \forall x \in [0,1]$ , άρα $1=F(1)-F(0)=\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle \int_{0}^{1}F^{-1}(x)dx$ , άρα υπάρχει με ώστε $F^{-1}(x_0)=1=F^{-1}(1)$ , άρα , άτοπο
Φιλικά

Καλημέρα, Σπύρο,

Πράγματι, μπορούμε. Αυτό είναι το νοήμα και της σημειώσης μου: δε μπορούμε να υποθέσουμε τη συνέχεια, πρέπει να την αποδείξουμε, και μετά τα πράγματα είναι πιο απλά (είχα στο μυαλό μου όπως εσύ το Θεώρημα Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού).

Δε πήγε το μυαλό μου, όμως, στη βασική πρόταση που αναφέρεις:

"Αν η $f:[0,1]->\mathbb{R}$ είναι γνησίως μονότονη και έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής, τότε είναι συνεχής".

και πήρα άλλο δρόμο που ευτυχώς με οδήγησε σε λύση.

Το θεώρημα Darboux (για την παράγωγο) θα μπορούσαμε και να το αποφύγουμε (αφού όπως στη πρώτη λύση f([0,1])=[f(0),f(1)]=[0,1]

.

Δείτε και τις σχετικές ασκήσεις 10.26 ή 10.31(iv) στον Απειροστικό Ι του Νεγρεπόντη ή την 1.3.2 στο "Problems in Mathematical Analysis II" των W.J.Kaczor, M.T.Nowak.

Ευχαριστώ!

Αυτή την άσκηση, καθώς και πολλές άλλες ωραίες που έχεις προτείνει, δεν την είχα ξαναδεί. Έχεις κάποια συγκεκριμένη πηγή ή είναι δικές σου;

Αχιλλέας

#6

Με λίγη καθυστέρηση:Αχιλλέα, δεν είναι δική μου η άσκηση,πρέπει να είναι από κάποιο πολύ παλιό Gazetta Mathematica. Λέω πρέπει γιατί δεν είμαι σίγουρος. Έχω από πολύ παλιά μια μεγαλη συλλογή ασκήσεων από πολλά περιοδικά (Gazetta, Monthly, Crux, Magazine, κ.α) τις οποίες μάζευα, έτσι, για ατομική κατανάλωση(Να τις λύνω στο ελεύθερο χρόνο μου και να περνάω ευχάριστα) και δεν σημείωνα από που τις παίρνω. Δεν μπορούσα να φανταστώ άοτι μπορεί να προκύψει κάτι (τόσο ωραίο) σαν το

Για τον λόγο αυτό δεν είμαι σίγουρος για τις πηγές. Θα τις αναρτώ στο

για να τις μοιράζομαι μαζί σας και να απολαμβάνω τις πραγματικά εξαιρετικές λύσεις σας
Μπάμπη αυτό το βιβλίο που ανέφερες ποιό είναι;
Φιλικά

Συνάρτηση-Αρχική

Συνάρτηση-Αρχική

Re: Συνάρτηση-Αρχική

Re: Συνάρτηση-Αρχική

Re: Συνάρτηση-Αρχική

Re: Συνάρτηση-Αρχική

Re: Συνάρτηση-Αρχική

Μέλη σε σύνδεση