ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Κώστας Μαλλιάκας · #141

achilleas έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
achilleas έγραψε: Διαφωνώ μαζί σας! Η απάντηση του Αλέξανδρου είναι απόλυτα σωστή.
Το "αντιπαράδειγμα" που δίνεται στο (1) δεν αποτελεί αντιπαράδειγμα στη μέθοδο του Αλέξανδρου, ο οποίος έχει γράψει πολύ προσεκτικά τη λύση κι επιτρέψτε μου να πω πως δεν περνά κανένα λανθασμένο μήνυμα.

Θέλουμε να βρούμε το , για κάθε .

Σταθεροποιούμε ένα . Τότε το είναι λύση της εξίσωσης

Δεν υπάρχει πρόβλημα λύσης της χρησιμοποιώντας διακρίνουσα αφού οι συντελεστές είναι σταθεροί. Στο ¨"αντιπαράδειγμα" σας οι συντελεστές δεν είναι.

Μετά όπως επιχειρηματολογεί ο Αλέξανδρος βρίσκοθυμε τον τύπο της για κάθε .

Φιλικά,

Αχιλλέας
Διαφώνησε μαζί μου όσο θέλεις, αλλά πρέπει να σκεφτείς ότι όταν σταθεροποιήσεις το x, τότε αυτομάτως σταθεροποιείται και το y=f(x) και επομένως για ποια εξίσωση μιλάς;
Φιλικά.

achilleas έγραψε:
Μάκη, η χρήση της διακρίνουσας έτσι πως διατυπώθηκε είναι *απόλυτα* σωστή.
Δεν είχα παρακολουθήσει τον προηγούμενο προβληματισμό του forum, αλλά η απάντηση π.χ. του dement θέτει το ζήτημα στη σωστή του βάση.
Όπως έγραφα και πιο πριν, σταθεροποιούμε το . Πες, . Που είναι το πρόβλημα να βρούμε
το χρησιμοποιώντας διακρίνουσα; (Απ. πουθενά!).
Αν το κάνουμε "για κάθε 2010" παίρνουμε τις πιθανές τιμές τους. Μετά συνεχίζουμε ανάλογα με το πρόβλημα.
Νομίζω, αδίκως, κάνουμε ένα προφανές ζήτημα πιο μεγάλο από ότι πράγματι είναι.
Πως θα σκέφτεται ένα μαθητής διαβάζοντας τα παραπάνω;
"Αν αυτό μπερδεύει *επαγγελματίες* έμπειρους μαθηματικούς, τότε εμείς τι να κάνουμε;"
Φιλικά,
Αχιλλέας
Επαναλαμβάνεις ότι το θέμα λύνεται με το να σταθεροποιήσουμε το x. Αλλά, όπως είπα και παραπάνω, τότε δεν υπάρχει εξίσωση. Από αυτό και μόνο φαίνεται πόσo επιφανειακά αντιμετωπίζεις το πρόβλημα. Έστω και αν νομίζεις ότι αυτοί με τους οποίους διαφωνείς είναι «μπερδεμένοι», εντελώς καλοπροαίρετα, θα σου έλεγα να διαβάσεις προσεκτικά και να αναλύσεις σε βάθος το πρώτο μου μήνυμα με τίτλο
« Επειδή δεν πρέπει να περνάνε λανθασμένα μηνύματα». Βέβαια χρειάζονται γνώσεις Μαθηματικής Λογικής και κυρίως γνώσεις θεωρίας ποσοδεικτών, τις οποίες φαντάζομαι να έχεις ( γιατί διαφορετικά δεν πρόκειται να συνεννοηθούμε).
Φιλικά.
Γιατί δεν έχουμε εξίσωση όταν σταθεροποιούμε το ?
Ας υποθέσουμε ότι θέλαμε να βρούμε το μόνο.

Που είναι το λάθος να χρησιμοποιήσουμε διακρίνουσα στη λύση της

?

(Φυσικά, την ακριβή τιμή του δε μπορούμε να τη βρούμε μόνο με διακρίνουσα. Πρέπει με κάποιο τρόπο να μπορύμε να αποκλείσουμε τη μια τιμή).

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα, όταν βάζεις το f(2010) δεν είναι λάθος γιατί είναι ένας πραγματικός αριθμός και έχει νόημα η διαδικασία. Όταν όμως έχεις συνάρτηση δουλεύεις σε άλλους χώρους και αλλάζουν οι ιδιότητες.
Δηλαδή π.χ αν f(2010)f(2011)=0 τότε σωστά είτε f(2010)=0 ή f(2011)=0 ενώ
αν f(x)g(x)=0 δεν ισχύει απαραίτητα f(x)=0 ή g(x)=0 γιατί είναι συνάρτηση και η ιδίοτητα των πραγματικών δεν ισχύει. Κάτι αντίστοιχο είναι το πρόβλημα μας. Δηλαδή αν κάναμε αυτή την διαδικασία με κάθε χ πραγματικό και απορρίπταμε κάθε φορά την αρνητική λύση αν γνωρίζαμε τιμές της f ίσως κάτι να γινόταν. Δηλαδή τελικά μας δυσκολεύει το "για κάθε χ"
Φιλικά αν και δεν γνωριζόμαστε σου μίλησα στον ενικό. Ελπίζω να μην υπάρχει παρεξήγηση.Πάντως και εγώ αναφέρω ότι έχω επιφυλάξεις και υπερτερεί και λίγο το ένστικτο στην απόφαση μου που μπορεί με κατάλληλα επιχειρήματα να αλλάξει. Αυτή είναι η ομορφιά των Μαθηματικών.
Κώστας Μαλλιάκας

7apostolis · #142

Καλημέρα και πάλι,
δεν θα <<ξαναεπανέλθω>> για να μην σας κουράσω άλλο, απλά ένα τελευταίο επιχείρημα:

Ερώτηση: Απόδειξη του θ. Bolzano
Απάντηση: Κάνω το σχήμα, και "προφανώς" λόγω συνέχειας κάπου κόβω τον χ'χ άξονα!
Είναι αυτό απόδειξη; Υποστηρίζω ΟΧΙ! Αυτό είναι ερμηνεία του ζητούμενου!
Στην κανονική απόδειξη φαίνεται ο σημαντικός ρόλος της πληρότητας των πραγματικών αριθμών.

Αν πχ θεωρήσω την συνάρτηση φ(χ)=χ^2 -2, περιορισμένη στο [1, 2]τομή Q(ρητοί), τι μπορεί να μου πεί η εποπτεία; Ισχύει το θ. Bolzano;

Επί του προκειμένου θεωρώ σωστή οποιαδήποτε απόδειξη που αποδεικνύει το ζητούμενο!
Δηλαδή <<το δεξιά εμβαδόν είναι μεγαλύτερο του αριστερά διότι ...>> (οποιοδήποτε επιχείρημα εκτός του ότι <<έτσι φαίνεται να είναι>>). Αν λείπει το επιχείρημα δυστυχώς υπάρχει πρόβλημα στην απόδειξη!

Και κάτι γενικότερα:
Πιστεύω ότι η διδασκαλία της ανάλυσης χωρίς γεωμετρική εποπτεία είναι καταδικαστική για τον μαθητή!
Η βιασύνη στην διδασκαλία της θεωρίας με στόχο την επίλυση πολλών ασκήσεων είναι παθογένεια του συστήματός μας. Τα μαθηματικά έτσι γίνονται άχαρα και οι μαθητές μηχανές επίλυσης ασκήσεων. Αργά ή γρήγορα θε βαρεθούν! Και είναι κρίμα.

Αποστόλης

Κάτι τελευταίο:
Ερώτηση: Αν φ κυρτή συνάρτηση στο (α, β), τότε η φ είναι γνησίως μονότονη ή έχει ελάχιστο.
Απάντηση: Μόνο έτσι μπορεί να είναι η γραφική παράσταση της φ, αλλιώς δεν θα ήταν κυρτή! Ακολουθεί και σχήμα.
Είναι αυτή εμπνευσμένη απόδειξη; Νομίζω ΟΧΙ.

#143

Κώστας Μαλλιάκας έγραψε: Αχιλλέα, όταν βάζεις το f(2010) δεν είναι λάθος γιατί είναι ένας πραγματικός αριθμός και έχει νόημα η διαδικασία. Όταν όμως έχεις συνάρτηση δουλεύεις σε άλλους χώρους και αλλάζουν οι ιδιότητες.
Δηλαδή π.χ αν f(2010)f(2011)=0 τότε σωστά είτε f(2010)=0 ή f(2011)=0 ενώ
αν f(x)g(x)=0 δεν ισχύει απαραίτητα f(x)=0 ή g(x)=0 γιατί είναι συνάρτηση και η ιδίοτητα των πραγματικών δεν ισχύει. Κάτι αντίστοιχο είναι το πρόβλημα μας. Δηλαδή αν κάναμε αυτή την διαδικασία με κάθε χ πραγματικό και απορρίπταμε κάθε φορά την αρνητική λύση αν γνωρίζαμε τιμές της f ίσως κάτι να γινόταν. Δηλαδή τελικά μας δυσκολεύει το "για κάθε χ"...

Μα κι όταν σταθεροποιούμε το

, το

γίνεται αριθμός. Δεν έχει κάτι ιδιαίτερο το 2010.

Αν f(x)g(x)=0

ισχύει για κάθε

, τότε είναι σωστό να πούμε το εξής

"Για κάθε

είναι

ή

",

αλλά είναι λάθος να πούμε

"είναι f(x)=0

Για κάθε

ή

για κάθε

. "

Η χρηση του "για κάθε" φυσικά θέλει προσοχή. Το τόνισα και στα προηγούμενα μηνύματα μου.
Η χρήση της διακρίνουσας όχι.

Δες και την παραπομπή στο βιβλίο τoυ Arnold (ενός εκ των κορυφαίων μαθηματικών).

http://books.google.com/books?id=i-WJHn ... ion&f=true

Εξακολουθώ να επιμένω ότι κάτι απλό (η χρήση της διακρίνουσας) γίνεται θέμα χωρίς λόγο.

Θα μπορούσα να βρω κι άλλα ξενόγλωσσα βιβλία επιφανών μαθηματικών που χρησιμοποιούν τη διακρίνουσα έτσι. Δεν είναι ότι κι αυτοί βλέπουν το ζήτημα επιφανειακά. Έτσι, απλά, είναι τα πράγματα με τη χρήση της διακρίνουσας.

Μπορούν όσοι διαφωνούν να μου βρούν βιβλίο κάποιου επιφανούς μαθηματικού που να υποστηρίζει ότι η χρήση της διακρίνουσας είναι λάθος;

Δυσκολεύομαι να υπερασπιστώ την ισχύ του προφανούς....

Φιλικά,

Αχιλλέας

tindoor2math · #144

Καλημέρα,

Περίμενα να "πιάσω" 95 μόρια αλλά κατάφερα να πλησιάσω μόνο στα 67 στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης, σύμφωνα με τους δικούς μου υπολογισμούς. Είμαι μαθήτρια του Λυκείου Κερατέας. Επειδή βλέπω πολλούς βαθμολογητές και έμπειρους καθηγητές να περνάνε από το υπέροχο forum του mathematica, μπορεί κάποιος να εκτιμήσει τις πιθανότητες να περάσω στο ΣΕΜΦΕ του ΕΜΠ, όταν το 2009 η βάση ήταν 17.110 μόρια; Στη Βιολογία γεν. Παιδείας πλησίασα ασθμαίνοντας τα 93 μόρια και στη Γλώσσα τα 70, περίπου.

Τι λέτε; Θα κατέβει η βάση του 17.110 στο ΣΕΜΦΕ; Περνάω ή να τα παρατήσω; Δε με ενδιαφέρει άλλη σχολή.

Ευχαριστώ.

Δ.Μ.
Μάλλον θα τα ξαναπούμε το 2011, όταν θα ξαναδίνω, ε;

ό.έ.δ. Γι αυτό και ονομάζω "μόρια" τις μονάδες ...που έπιασα!

nulispa · #145

καλά ουτε ενας μεσ το φορουμ δεν εχει λυσει το δ4 με ενα θμτ??
εντυπωση μου κανει?

#146

nulispa έγραψε:καλά ουτε ενας μεσ το φορουμ δεν εχει λυσει το δ4 με ενα θμτ??
εντυπωση μου κανει?

έχει δοθεί γύρω στις 5 φορές τέτοια λύση

μέσα σε τόσα ποστς όμως...

mathxl · #147

tindoor2math έγραψε:Τι λέτε; Θα κατέβει η βάση του 17.110 στο ΣΕΜΦΕ; Περνάω ή να τα παρατήσω; Δε με ενδιαφέρει άλλη σχολή.

Αν τα παρατήσεις δεν περνάς σίγουρα! Το ότι "έπεσες" σε κάποια μαθήματα, δεν σημαίνει απαραίτητα ότι "έχασες", επιβάλλεται να "σηκωθείς" και να συνεχίσεις τον αγώνα σου.

Η εξεταστική σας διαδικασία δεν έχει ολοκληρωθεί ακόμη, οπότε μια πρόβλεψη είναι μάλλον "αναξιόπιστη". Κάνε ότι καλύτερο μπορείς με όλες σου τις δυνάμεις. Καλή σου επιτυχία

Math Rider · #148

Καλημέρα σε όλους.

Η άποψη μου, χωρίς να είμαι και ειδικός, είναι ότι δεν μπορούμε να δουλέψουμε με διακρίνουσα θεωρώντας την σχέση $\displaystyle{ f^2 (x) - 2xf(x) - 9 = 0 }$ (1) ως εξίσωση δευτέρου βαθμού. Η σχέση δίνει την «έκφραση» την f σε πλεγμένη μορφή. (πεπλεγμένη συνάρτηση). Το $\displaystyle{ f(x) }$ (άγνωστος) εξαρτάται από το x (συντελεστής).
Σε αυτές της περιπτώσεις για κάθε $\displaystyle{ x_0 }$ (από το πεδίο ορισμού της f) συγκεκριμένο ή για να χρησιμοποιήσω προαναφερθείσα λέξη, σταθεροποιημένο βρίσκουμε το αντίστοιχο $\displaystyle{ f(x_0 ) }$ από την (1) θέτοντας όπου x το $\displaystyle{ x_0 }$ και αντιμετωπίζοντας τώρα την $\displaystyle{ f^2 (x_0 ) - 2x_0 f(x_0 ) - 9 = 0 }$ ως εξίσωση ως προς $\displaystyle{ f(x_0 ) }$ (για να βρούμε την αντίστοιχη τιμή).

Αυτό που προσπαθούμε συνήθως να κάνουμε είναι να μετασχηματίσουμε την σχέση (1) σε μια ισοδύναμη και αξιοποιώντας τις όποιες πληροφορίες μας δίνουν (ή μπορούμε μόνοι μας να συνάγουμε) για την f , και την κατάλληλη θεωρία να βρούμε (αν είμαστε τυχεροί) την αναλυτική μορφή της – τον «τύπο» της. (συνήθως δεν είναι μοναδικός).

Δίνω στο συνημμένο ένα ακόμα παράδειγμα που βρήκα πριν λίγο καιρό.

Και ένα ερώτημα που αναφέρεται στο χθεσινό θέμα Γ.
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της συναρτησης $\displaystyle{ f(x) = 2x + \ln (x^2 + 1) }$
στα σημεία με αντίθετες τετμημένες, τέμνονται σε σημείο του άξονα y΄y. Μπορούν δυο τέτοιες εφαπτόμενες να είναι κάθετες;

#149

MathRider,

Καταρχήν στην άσκηση γάφει D_f

. Εννοεί τί;

Το "μεγαλύτερο" διάστημα που μπορεί να ορισθεί η

;

Αν δεν κάνω λάθος το D_f

θα πρέπει να μας δίνεται εξ αρχής.

Δηλαδή, θα έπρεπε να δίνεται ότι $|x|\geq 1$ .

Συμφωνώ, ότι το

ορίζεται πεπελεγμένα ως συνάρτηση του

. Τι μας εμποδίζει όμως να χρησιμοποιήσουμε διακρίνουσα;

Για δοθέν

σταθερό, από τον τύπο

(f(x)-1)^2-(x^2-1)=0

με άγνωστο το f(x)-1

παίρνουμε $\Delta=4(x^2-1)=$ ,
οπότε

f(x)-1=|x^2-1|

ή

.

Μετά χρησιμοποιούμε τη συνέχεια για να πάρουμε τις τέσσερεις συναρτήσεις. Που είναι το λάθος στη χρήση της διακρίνουσας;

Και που κάνει ο Arnold λάθος;

Φιλικά,

Αχιλλέας

alkinoos · #150

achilleas έγραψε:Αφού η δική μου ταπεινή άποψη για τη χρήση της διακρίνουσας δε γίνεται δεκτή, ελπίζω να γίνει του Vladimir Arnold, ενός εκ των μεγαλυτέρων μαθηματικών.

Δείτε στο βιβλίο του

Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, σελ. 28, όπου χρησιμοποιεί κανονικά τον τύπο της διακρίνουσας.

http://books.google.com/books?id=i-WJHn ... ion&f=true
Φιλικά,
Αχιλλέας

Αγαπητέ συνάδελφε.
• Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι προσπαθείς να φέρεις τα μαθηματικά στα μέτρα σου. Σε κατανοώ, αλλά δεν θα έλεγα ότι σε δικαιολογώ.
• Θα σου συνιστούσα να ξανά διαβάσεις προσεκτικά το βιβλίο που αναφέρεις, γιατί από πουθενά δεν προκύπτει ότι υποστηρίζει αυτά που λες. Εκτός αν έχεις μπερδέψει τις εξισώσεις με τις συναρτήσεις και τις προτάσεις και τους προτασιακούς τύπους.
Φιλικά.

#151

alkinoos έγραψε:
achilleas έγραψε:Αφού η δική μου ταπεινή άποψη για τη χρήση της διακρίνουσας δε γίνεται δεκτή, ελπίζω να γίνει του Vladimir Arnold, ενός εκ των μεγαλυτέρων μαθηματικών.

Δείτε στο βιβλίο του

Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, σελ. 28, όπου χρησιμοποιεί κανονικά τον τύπο της διακρίνουσας.

http://books.google.com/books?id=i-WJHn ... ion&f=true
Φιλικά,
Αχιλλέας
Αγαπητέ συνάδελφε.
• Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι προσπαθείς να φέρεις τα μαθηματικά στα μέτρα σου. Σε κατανοώ, αλλά δεν θα έλεγα ότι σε δικαιολογώ.
• Θα σου συνιστούσα να ξανά διαβάσεις προσεκτικά το βιβλίο που αναφέρεις, γιατί από πουθενά δεν προκύπτει ότι υποστηρίζει αυτά που λες. Εκτός αν έχεις μπερδέψει τις εξισώσεις με τις συναρτήσεις και τις προτάσεις και τους προτασιακούς τύπους.
Φιλικά.

Δεν καταλαβαίνω. Κάνει χρήση της διακρίνουσας στη σελίδα 28, ή όχι;

Φιλικά,

Αχιλλέας

k-ser · #152

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Κώστα.
Φοβάμαι ότι κανείς το ίδιο λάθος με τον Αχιλλέα.
1) Όταν δόσεις στο x μια τιμή, τότε και το y=f(x) είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός και επομένως δεν υπάρχει εξίσωση.
2) Η έκφραση (1) που γράφεις παραπάνω, είναι μια πρόταση ( αυτό φαίνεται καλύτερα όταν την γράψεις με μεγαλύτερη αυστηρότερα, δηλαδή το $\displaystyle{\forall x \in R}$ να το γράψεις μπροστά). Έτσι, εδώ πρέπει να εφαρμόσουμε τους νόμους των ποσοδεικτών.
• Κώστα. Δεν υπάρχει περίπτωση κάποιος να καταλάβει τι λέω, όταν τη σχέση (1) που γράφεις παραπάνω την βλέπει σαν εξίσωση( άλλο Κοζάνη και άλλο Λοζάνη). Πολύ φοβάμαι ότι αυτό συμβαίνει με αυτούς που διαφωνούν μαζί μου. Εκτός αν έτσι το έχουν διδάξει στους μαθητές τους και φοβούνται μήπως οι βαθμολογητές το πάρουν λάθος. Δεν πρέπει όμως να ανησυχούν, γιατί θέλω να πιστεύω ότι οι βαθμολογητές δεν θα το πάρουν λάθος.
Φιλικά.

Αντώνη.
Αυτό που διδάσκω στους μαθητές μου είναι το εξής:

Πρόβλημα: Για τους αριθμούς $\displaystyle a,b$ ισχύει η ισότητα: $\displaystyle b^2-b(a+1)+a=0$ .. Να δείξετε ότι $\displaystyle b=a$ ή $\displaystyle b=1$ .

Λύση. Ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle b$ είναι ρίζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης $\displaystyle y^2-y(a+1)+a=0$ , αφού το $\displaystyle b$ την επαληθεύει.
Η εξίσωση αυτή, με τη βοήθεια της διακρίνουσας, βρίσκουμε ότι, έχει ρίζες τους αριθμούς $\displaystyle a$ και $\displaystyle 1$ . Έτσι έχουμε το ζητούμενο.

Στο πρόβλημα που συζητάμε δεν κάνω τίποτα το διαφορετικό. Προσοχή δεν θέτω $\displaystyle y=f(x)$ .
Αυτό που γράφω είναι: Έστω $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ Ο αριθμός $\displaystyle f(x)$ είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle y^2-2xy-9=0$ αφού την επαληθεύει, σύμφωνα με την ισότητα $\displaystyle f^2(x)-2xf(x)-9=0$ .

Αν κάπου, στις παραπάνω σκέψεις μου, κάνω λάθος, ειλικρινά θα χαρώ να μάθω σε ποιο σημείο.
Μ' αρέσει να χάνω, αποδεδειγμένα, τις πεποιθήσεις μου - είναι δοκιμασμένος τρόπος εξέλιξης της σκέψης μου.

Με εκτίμηση.

#153

Τα θέματα και ενδεικτικές λύσεις των Μαθηματικών Κατεύθυνσης 2010!

Εύχομαι καλά αποτελέσματα και καλή συνέχεια σε όλους τους μαθητές!

Νίκος Κατσίπης

ΥΓ: Διορθώθηκε τυπογραφικό στο Α4. 20/5/2010 ώρα 2:13.

#154

achilleas έγραψε:Δυσκολεύομαι να υπερασπιστώ την ισχύ του προφανούς....

Αχιλλέα έχεις δίκιο γιατί παίζεις εντός των κανόνων που έχει η μαθηματική κοινότητα ενώ το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε είναι ότι έχουμε μια κριτική εκτός των κανόνων από τα έξω με άλλα κριτήρια.Τί είδους άραγε; Προφανώς εξωμαθηματικά. Δεν τίθεται θέμα ότι με άλλα Μαθηματικά "ανώτερα" έχουμε άλλη άποψη και ότι με τα "κοινά" Μαθηματικά του σχολείου άλλη. Η άποψη είναι μία. Επεκτείνομαι περισσότερο για ένα και μόνο λόγο:
Θεωρώ ότι θα ήταν λάθος αν ένας συνάδελφος βαθμολογητής υιοθετούσε την άποψη ότι η επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με άγνωστο το και της οποίας οι συντελεστές είναι συναρτήσεις του δεν είναι έγκυρη.
Είναι και παραείναι. Για την βαθμολογία των παιδιών ενδιαφέρομαι την οποία αυτή την περίοδο μαζί με άλλους υπηρετώ. Για το ποιος υποστηρίζει τι και γιατί αδιαφορώ πλήρως.
Ας πάμε στο συγκεκριμένο θέμα:
Ο μαθητής μας γνωρίζει ότι έχει καταλήξει στο συμπέρασμα ότι $\left( f\left( x\right) \right) ^{2}-\left( 2x\right) f\left( x\right) -9=0$ . Τι σημαίνει αυτό; 'Οτι για κάθε

ισχύει η σχέση $\left( f\left( x\right) \right) ^{2}-\left( 2x\right) f\left( x\right) -9=0$ . Εφαρμόζει τους γνωστούς τύπους και βρίσκει $f\left( x\right) =x\pm \sqrt{x^{2}+9}$ . Τι σημαίνει αυτό; Ότι για κάθε

το

θα είναι κάποιος από τους δύο αριθμούς $x+\sqrt{x^{2}+9}$ ή $x-\sqrt{x^{2}+9}$ . Ποιός; Μόνο με την πληροφορία ότι $\left( f\left( x\right) \right) ^{2}-\left( 2x\right) f\left( x\right) -9=0$ δεν ξέρουμε. Αλλά ούτε και μόνη της η πληροφορία ότι $f\left( 0\right) =3$ μας λέει τίποτε για το f(x)

. Μόνο για το $f\left( 0\right)$ μας λέει. Η 'Αλγεβρα μέχρι εδώ μας πάει. Δίνει κάποια απάντηση για την συνάρτηση

. Δίνει μόνο την ομιχλώδη περιγραφή ότι υπάρχει κάποιο υποσύνολο

του $\mathbb{R}$ , ενδεχομένως κενό τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \sqrt {{x^2} + 9} } & {x \in A} \\ {x - \sqrt {{x^2} + 9} } & {x \notin A} \\ \end{array} } \right.}$
Ποιο μπορεί να είναι το

;
Mόνo από τις πληροφορίες
$\left( f\left( x\right) \right) ^{2}-\left( 2x\right) f\left( x\right) -9=0$
$f\left( 0\right) =3$
δεν ξέρουμε. Κάθε επιλογή του

μας δίνει άλλη συνάρτηση

Να δύο σενάρια από τα άπειρα που υπάρχουν:

: D3a.png (34.93 KiB) Προβλήθηκε 2833 φορές

: D3b.png (55.75 KiB) Προβλήθηκε 2833 φορές

Ο αποκλεισμός των άπειρων λύσεων-συναρτήσεων θα γίνει μόνο με την βοήθεια της Aνάλυσης: Με $f\left( x\right) =x\pm \sqrt{x^{2}+9}$ είναι $f\left( x\right) -x=\pm \sqrt{x^{2}+9}$ και αφού η συνεχής συνάρτηση $f\left( x\right) -x$ δεν έχει ρίζες (υπόθεση) διατηρεί και πρόσημο άρα θα είναι ή θετική για όλα τα

ή αρνητική για όλα τα

.
Και επειδή είναι $f\left( 0\right) =3$ θα είναι και $f\left( x\right) =x+\sqrt{x^{2}+9}$ για όλα τα

.
H άσκηση είναι άσκηση Ανάλυσης γιαυτό και νομίζω ότι το επιχείρημα συνεχείας πρέπει να και εκείνο που κυρίως αξιολογείται καιόχι οι αλγβρικοί χειρισμοί.
Τελειώνοντας θα ήθελα να σημειώσω ότι:
1) Σε άλλη περίσταση ( viewtopic.php?f=6&p=2216#p2216 ) είχα σημειώσει ότι:
Πάντως εγώ αν τόσοι εγγράμματοι συνάδελφοι μου μου έλεγαν ότι κάπου δεν τα λέω καλά θα άκουγα το εαυτό μου να αναφωνεί "Ωχ!!".
Νομίζω ότι αυτό ταιριάζει και τώρα. Επιστημονικής εντιμότητας ένεκεν! Αλλά και ενός υγιούς προσωπικού στυλ.
2) Το θέμα είναι σοβαρό και δε μπορεί ο καθένας να γράφει το κοντό του και το μακρύ του. 'Η ακριβέστερα να γράφει και να μην εγκαλείται. Η κουβέντα που κάνουμε εδώ επηρεάζει βαθμολογητές που με την σειρά τους επηρεάζουν τύχες. Δυο μόρια πάνω ή κάτω αλλάζουν την ζωή ενός παιδιού. Γιαυτό η κουβέντα δεν μπορεί να είναι είναι αέρα-πατέρα. Δεν τίθεται θέμα ότι άλλο είναι το σωστό αλλά οι βαθμολογητές θα κάνουν σκόντο. Το σωστό είναι ένα και οι βαθμολογητές οφείλουν να βαθμολογήσουν με βάση αυτό.
3) Καλόν είναι να διατυπώσουν άποψη οι ειδικοί. 'Οποιος δεν θεωρεί τον εαυτό του ειδικό είναι καλλίτερο να σωπαίνει. Δεν κάνουμε δημοψήφισμα.
4) Η πλειονότητα των επίμονων επί του θέματος συζητητών έχει τοποθετηθεί επώνυμα. Με ότι σημαίνει αυτό. Στην κουβέντα όταν χοντραίνει δεν έχουν θέση ανώνυμοι κεκράκτες , συστηματικοί υπερασπιστές της άποψης ενός συγκεκριμένου μέλους. Παρακαλώ ας κάνουν στην μπάντα. Θα ένοιωθα πολύ δυσάρεστα αν αν στο συγκεκριμένο θέμα έπρεπε να επανέλθω.
Καλή φώτιση και καλά κουράγια σε όσους είναι στα Βαθμολογικά Κέντρα
Μαυρογιάννης

sunnyoeo · #155

Δεν ξέρω αν είναι σωστή η λύση με διακρίνουσα.Άλλη αιτιολόγηση για το ποιος τυπος γίνεται δεκτός με τη λύση της διακρίνουσας είναι οτι f συνεχής και f(x) διαφορο του μηδενός και f(0) = 3 άρα.....(Δεν χρειαζεται αναφορα της f(x)-x δηλαδή.)

manos1992 · #156

Δεν είμαι ειδικός αλλά ήθελα να πω μια κουβέντα!

Κατ' αρχάς δε νομίζω ο κύριος Νικος Μαυρογιάννης να άφησε πειθώριο αμφισβήτησης ως προς την ορθότητα της λύσης του! Είναι πλήρως επιστημονικά τεκμηριωμένη..

Από κει και πέρα θα ήθελα να πω πως όποιος διαφωνεί με αυτό να διαφωνεί με συγκεκριμένα επιχειρήματα και όχι του τύπου ''δε μου πολυαρέσει η απόδειξη'' ή ''δεν είναι τόσο απλό, μπλέκονται πιο δύσκολα πράγματα''..

.

alkinoos έγραψε: Αγαπητέ συνάδελφε.
• Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι προσπαθείς να φέρεις τα μαθηματικά στα μέτρα σου. Σε κατανοώ, αλλά δεν θα έλεγα ότι σε δικαιολογώ.
• Θα σου συνιστούσα να ξανά διαβάσεις προσεκτικά το βιβλίο που αναφέρεις, γιατί από πουθενά δεν προκύπτει ότι υποστηρίζει αυτά που λες. Εκτός αν έχεις μπερδέψει τις εξισώσεις με τις συναρτήσεις και τις προτάσεις και τους προτασιακούς τύπους.
Φιλικά.

Αυτή η κατηγορία δεν είναι αναπόδεικτη;;

και αυτό το επιχείρημα που έχει ακουστεί πολλές φορές: Αν f(x)g(x)=0 τότε δεν ισχύει κατ ανάγκη f(x)=0 για κάθε x ή g(x)=0 για κάθε x..

είναι σωστό σαν επιχείρημα αλλά εκτος θέματος! κανείς δε στήριξε κάτι τέτοιο!
Η επιλογή της ''σωστής'' συνάρτησης έγινε με της αρχικές συνθήκες..

επίσης τι διαφορά έχει το 2010 με το τυχόν x που ανήκει στο R;;αφού τελικά αποδεικνύουμε ότι ανεξάρτητα της επιλογής του σταθερού αυτού x η f δίνεται από εκείνον τον τύπο..πού είναι το πρόβλημα;;

sunnyoeo έγραψε:Δεν ξέρω αν είναι σωστή η λύση με διακρίνουσα.Άλλη αιτιολόγηση για το ποιος τυπος γίνεται δεκτός με τη λύση της διακρίνουσας είναι οτι f συνεχής και f(x) διαφορο του μηδενός και f(0) = 3 άρα.....(Δεν χρειαζεται αναφορα της f(x)-x δηλαδή.)

Αυτό δεν είναι σωστό...Χρειάζεται πρώτα η αιτιολόγηση της διατήρησης προσίμου, αλλιώς έχουμε βρει μόνο τι τύπο έχει η f στο 0..

Φιλικά πάντα,

A.Spyridakis · #157

Σχετικά με τη διακρίνουσα και ποιος θεωρείται σταθερός κτλ κτλ: Δηλ. βρε παιδιά η εξίσωση x - f(x) = 0 ΔΕΝ είναι ισοδύναμη με την f(x) = x, διότι ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΟΥΜΕ εξίσωση 1ου βαθμού, αφού ο "σταθερός" (δηλ. ο όρος f(x) ) εξαρτάται από το x? Θα ξεχάσω κι αυτά που ήξερα???

sunnyoeo · #158

Μα είπα αφού f συνεχής και διάφορη του μηδενός (άρα διατηρεί πρόσημο).

manos1992 · #159

Δεν είδα ότι είχατε γράψει το f(x) διάφορο του 0..Συγγνώμη γι αυτό! όντως με παρόμοια διαδικασία βγαίνει κι έτσι!

AlexandrosG · #160

mathxl έγραψε:
tindoor2math έγραψε:Τι λέτε; Θα κατέβει η βάση του 17.110 στο ΣΕΜΦΕ; Περνάω ή να τα παρατήσω; Δε με ενδιαφέρει άλλη σχολή.
Αν τα παρατήσεις δεν περνάς σίγουρα! Το ότι "έπεσες" σε κάποια μαθήματα, δεν σημαίνει απαραίτητα ότι "έχασες", επιβάλλεται να "σηκωθείς" και να συνεχίσεις τον αγώνα σου.

Η εξεταστική σας διαδικασία δεν έχει ολοκληρωθεί ακόμη, οπότε μια πρόβλεψη είναι μάλλον "αναξιόπιστη". Κάνε ότι καλύτερο μπορείς με όλες σου τις δυνάμεις. Καλή σου επιτυχία

+100000000000

Συνέχισε την προσπάθεια και μην φοβάσαι. Λίγες μέρες κούραση ακόμα και πιστεύω ότι από Σεπτέμβρη θα είμαστε συμφοιτητές.

Οι βαθμοί σου μέχρι τώρα δεν είναι κακοί και δεν ξέρεις μπορεί να είναι μεγαλύτεροι από ότι περιμένεις. Καλή επιτυχία!

ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Μέλη σε σύνδεση