Το τρίτο τμήμα

KARKAR · #1

: Το τρίτο τμήμα.png (8.79 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές

$\bigstar$ Στην μεσοκάθετη ακτίνα

, της διαμέτρου AOB=6

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

,

τέτοιο ώστε : NP=2

. Η

τέμνει το τόξο στο σημείο

. Η εφαπτομένη του τόξου στο

τέμνει

την προέκταση της

στο σημείο

. Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 29, 2026 5:38 am
Το τρίτο τμήμα.png $\bigstar$ Στην μεσοκάθετη ακτίνα , της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο ,

τέτοιο ώστε : . Η τέμνει το τόξο στο σημείο . Η εφαπτομένη του τόξου στο τέμνει

την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

${a_2} = {a_3}$ ( χορδής κι εφαπτομένης) και ${a_3} = {a_1}$ (το OBSP

εγράψιμο) . Συνεπώς ${a_1} = {a_2} \Leftrightarrow x = y + 2\,\,\left( 1 \right)$

: Το τρίτο τμήμα.png (18.29 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle STO$ ισχύει : ${\left( {y + 3} \right)^2} = {x^2} + 9\,\,\,\left( 2 \right)$ Από τις $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 2 \right)$ προκύπτει :

$\boxed{y = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = 4}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 29, 2026 5:38 am
Το τρίτο τμήμα.png $\bigstar$ Στην μεσοκάθετη ακτίνα , της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο ,

τέτοιο ώστε : . Η τέμνει το τόξο στο σημείο . Η εφαπτομένη του τόξου στο τέμνει

την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Είναι $AP=\sqrt{10}$ και από την ομοιότητα των τριγώνων APO, ASB

παίρνω, $\displaystyle SB = \frac{6}{{\sqrt {10} }},SA = \frac{{18}}{{\sqrt {10} }}.$

: Το τρίτο τμήμα.Κ.png (13.44 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές

Άρα, $\displaystyle \tan \theta = \frac{{SB}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan 2\theta = \frac{{\frac{2}{3}}}{{1 - \frac{1}{9}}} = \frac{3}{4} = \frac{{SE}}{3} \Leftrightarrow SE = \frac{9}{4}$

Τέλος, $\displaystyle O{S^2} = TS \cdot SE \Leftrightarrow 9 = x \cdot \frac{9}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=4}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 29, 2026 5:38 am
Το τρίτο τμήμα.png $\bigstar$ Στην μεσοκάθετη ακτίνα , της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο ,

τέτοιο ώστε : . Η τέμνει το τόξο στο σημείο . Η εφαπτομένη του τόξου στο τέμνει

την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

: Το τρίτο τμήμα_αλλιώς.png (25.91 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές

Επειδή ${a_1} = {a_3}$ ( OBSP

εγγράψιμο) και ${a_2} = {a_3}$ (χορδής κι εφαπτομένης) θα είναι : ${a_1} = {a_2} = {a_3} = a$ .

Από το $\vartriangle OPA$ , $\tan a = 3\,\,\left( 1 \right)$ . Από το ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle TPS$ ,

$\tan \theta = \tan \left( {180^\circ - 2a} \right) = - \tan 2a = - \dfrac{{2 \cdot 3}}{{1 - {3^2}}} = \dfrac{3}{4}$ . Οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο . STO

που έχει $\boxed{OS = 3 \Rightarrow ST = 4}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 29, 2026 5:38 am
Το τρίτο τμήμα.png $\bigstar$ Στην μεσοκάθετη ακτίνα , της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο ,

τέτοιο ώστε : . Η τέμνει το τόξο στο σημείο . Η εφαπτομένη του τόξου στο τέμνει

την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Λόγω του εγγράψιμμου QSOA

,του ισοσκελούς τριγώνου AOS

κι επειδή οι γωνίες QST,ASO

είναι

συμπληρωματικές της γωνίας TSP

,όλες οι πράσινες γωνίες του σχήματος είναι ίσες.

Άρα η OS=3

εφάπτεται του κύκλου (P,Q,S)

και

Άρα $9=1.OQ \Rightarrow PQ=8 \Rightarrow 2(x+2)=8 \Rightarrow x=2$

$2TS=PQ=8 \Rightarrow TS=4$

: Το τρίτο τμήμα.png (31.48 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 29, 2026 5:38 am
$\bigstar$ Στην μεσοκάθετη ακτίνα , της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο ,

τέτοιο ώστε : . Η τέμνει το τόξο στο σημείο . Η εφαπτομένη του τόξου στο τέμνει

την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

: shape.png (18.21 KiB) Προβλήθηκε 46 φορές

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 29, 2026 5:38 am
Το τρίτο τμήμα.png $\bigstar$ Στην μεσοκάθετη ακτίνα , της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο ,

τέτοιο ώστε : . Η τέμνει το τόξο στο σημείο . Η εφαπτομένη του τόξου στο τέμνει

την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

: Το τρίτο τμήμα_armonika.png (24.08 KiB) Προβλήθηκε 27 φορές

Ισχύει : ${\left( {x + 2} \right)^2} = x\left( {x + 6} \right) \Rightarrow x = 2 \Rightarrow ST = 4$

Το τρίτο τμήμα

Το τρίτο τμήμα

Re: Το τρίτο τμήμα

Re: Το τρίτο τμήμα

Re: Το τρίτο τμήμα

Re: Το τρίτο τμήμα

Re: Το τρίτο τμήμα

Re: Το τρίτο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση