Διπλό μέγιστο

KARKAR · #1

: Διπλό μέγιστο.png (7.64 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές

Το σημείο

κινείται στην κάθετη προς την διάμετρο

του ημικυκλίου ημιευθεία .

Υπολογίστε το : $(SP \cdot PT)_{max}$ , καθώς και το : $(ATSC)_{max}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 28, 2026 6:16 pm
Διπλό μέγιστο.pngΤο σημείο κινείται στην κάθετη προς την διάμετρο του ημικυκλίου ημιευθεία .

Υπολογίστε το : $(SP \cdot PT)_{max}$ , καθώς και το : $(ATSC)_{max}$ .

: Διπλ μεγ.png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 53 φορές

.
(Μόνο το πρώτο μέρος. Αργότερα το δεύτερο).

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου και

το μέσον του

. Από την ανισότητα $4ab\le (a+b)^2$ έχουμε

$SP\cdot PT=2 SP\cdot PM \le \dfrac {1}{2} (SP+PM)^2= \dfrac {1}{2} SM^2= \dfrac {1}{2} KC^2= \dfrac {1}{2} (3+2)^2=\boxed { \dfrac {25}{2} }$

με ισότητα όταν $SP=PM= \dfrac {5}{2}$ , ισoδύναμα $SP= \dfrac {5}{2} , \, TP=5$ .

#3

Καλησπέρα σε όλους. Περιμένοντας τη λύση του Μιχάλη, δίνω μια υπολογιστική με χρήση λογισμικού του Geogebra (για τις ρίζες της τριτοβάθμιας παραγώγου).

: 28-05-2026 Άλγεβρα.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές

Έστω

.

Είναι $\displaystyle \left( {ATSC} \right) = \frac{{\left( {5 + a} \right) + 8}}{2} \cdot b = \frac{{\left( {a + 13} \right)b}}{2}$ με τη συνθήκη $\displaystyle {a^2} + {b^2} = 9,\;\;0 < a,b < 3$

Οπότε $\displaystyle b = \sqrt {9 - {a^2}}$ και $\displaystyle \left( {ATSC} \right) = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {a + 13} \right)}^2}\left( {9 - {a^2}} \right)}$

(Με λογισμικό) η συνάρτηση $\displaystyle f\left( a \right) = {\left( {a + 13} \right)^2}\left( {9 - {a^2}} \right),\;\;a \in \left( {0,3} \right)$ έχει μέγιστο για $\displaystyle a \cong 0,631$ με μέγιστη τιμή του ζητούμενου εμβαδού 19,989

περίπου.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 28, 2026 6:16 pm
Διπλό μέγιστο.pngΤο σημείο κινείται στην κάθετη προς την διάμετρο του ημικυκλίου ημιευθεία .

Υπολογίστε το : $(SP \cdot PT)_{max}$ , καθώς και το : $(ATSC)_{max}$ .

a)

με

που λαμβάνει για $x= \dfrac{1}{2}$ μέγιστη τιμή $\dfrac{25}{2}$

b) $(ATSC)= \dfrac{AC+TS}{2}.PE= \dfrac{(8+8-x) \sqrt{x(6-x)} }{2}= \dfrac{(16-x) \sqrt{x(6-x)} }{2}$

Η συνάρτηση αυτή (με χρήση λογισμικού)παρουσιάζει μέγιστη τιμή $\approx 19.98$ για $x\approx 2.37$

: Διπλό μέγιστο.png (9.09 KiB) Προβλήθηκε 33 φορές

Διπλό μέγιστο

Διπλό μέγιστο

Re: Διπλό μέγιστο

Re: Διπλό μέγιστο

Re: Διπλό μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση