Εμβαδόν χωρίου από σύνολα τιμών

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(x)=\frac{\alpha x^2+\beta x+5}{x^2+x+1}$ όπου $\alpha,\beta$ πραγματικοί αριθμοί.
Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου του επιπέδου που ορίζεται από τα σημεία $(\alpha,\beta)$
για τα οποία το σύνολο τιμών $f(\mathbb{R})$ της συνάρτησης

είναι υποσύνολο του διαστήματος [2,6]

add2math · #2

Έχουμε $2 < \frac{\alpha x^2+\beta x+5}{x^2+x+1} < 6, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow$
$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} (\alpha\ - \ 2)x^{2} + \ (\beta\ - \ 2)x\ + \ 3 \geq \ 0 , \forall x \in \mathbb{R} \\ (\alpha - 6)x^{2}\ + \ (\beta\ - 6)x - \ 1 \leq \ 0 , \forall x \in \mathbb{R} \\ \end{matrix} \right.\$
Για το πρώτο τριώνυμο πρέπει
$\alpha - 2 > 0$ και $\Delta_1 = (\beta - 2)^2 - 12(\alpha - 2) \leq 0$
Για το δεύτερο τριώνυμο πρέπει
$\alpha < 6$ και $\Delta_2 = (\beta-6)^2 +4(\alpha-6)\leq 0$

: Εμβαδόν χωρίου από σύνολα τιμών.png (61.5 KiB) Προβλήθηκε 54 φορές

Το ζητούμενο χωρίο του επιπέδου που ορίζεται από τα σημεία $(\alpha,\beta)$ είναι αυτό ανάμεσα στις δυο παραπάνω παραβολές.
Στα σημεία τομής των δυο παραβολών έχουμε
$(\beta - 2)^2=12(\alpha-2)\Leftrightarrow \alpha= 2 + \frac{(\beta - 2)^2}{12}$
$(\beta-6)^2=-4(\alpha-6)\Leftrightarrow \alpha= 6 - \frac{(\beta - 6)^2}{4}$ , απ' όπου προκύπτει ότι $\beta=2\vee\beta=8$ και τελικά ότι τα σημεία τομής των δυο παραβολών είναι τα A(2, 2)

και

.
Το εμβαδόν του χωρίου το υπολογίζουμε με ολοκλήρωση ως προς $\beta$ για ευκολία στις πράξεις:
Έχουμε $E = \int_{2}^{8} \left[ \left( 6 - \frac{(\beta - 6)^2}{4} \right) - \left( 2 + \frac{(\beta - 2)^2}{12} \right) \right] d\beta=...=\boxed{12}$

Εμβαδόν χωρίου από σύνολα τιμών

Εμβαδόν χωρίου από σύνολα τιμών

Re: Εμβαδόν χωρίου από σύνολα τιμών

Μέλη σε σύνδεση