Γωνιώδεις προσπάθειες

KARKAR · #1

: Γωνιώδεις προσπάθειες.png (17 KiB) Προβλήθηκε 53 φορές

Σημείο

κινείται στην διάμετρο AB=2r

ενός ημικυκλίου . Υψώνω το κάθετο τμήμα

και ονομάζω

το μέσο του . Η

τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο

, του οποίου την προβολή στην

ονομάζω

.

Βρείτε την θέση του

για την οποία : α) : $\tan\phi=\dfrac{1}{2}$ ... β) : $\phi=\theta$ ... και γ) : $\phi=30^0$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 10, 2026 6:54 am
Γωνιώδεις προσπάθειες.pngΣημείο κινείται στην διάμετρο ενός ημικυκλίου . Υψώνω το κάθετο τμήμα και ονομάζω

το μέσο του . Η τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο , του οποίου την προβολή στην ονομάζω .

Βρείτε την θέση του για την οποία : α) : $\tan\phi=\dfrac{1}{2}$ ... β) : $\phi=\theta$ ... και γ) : $\phi=30^0$ .

Μόνο τις απαραίτητες πράξεις.

$\displaystyle \frac{{MS}}{{PQ}} = \frac{x}{{AQ}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {x(2r - x)} }}{{2\sqrt {AQ(2r - AQ)} }} = \frac{x}{{AQ}} \Leftrightarrow$ $\boxed{AQ = \frac{{8rx}}{{2r + 3x}}}$ απ' όπου $\boxed{SQ = \frac{{3x(2r - x)}}{{2r + 3x}}}$

$\displaystyle \tan \varphi = \tan \left( {(\varphi + \theta ) - \theta } \right) = \dfrac{{\dfrac{{AQ}}{{PQ}} - \dfrac{{SQ}}{{PQ}}}}{{1 + \dfrac{{AQ \cdot SQ}}{{P{Q^2}}}}} = \dfrac{{xPQ}}{{P{Q^2} + AQ \cdot SQ}} = \dfrac{{x\sqrt {AQ(2r - AQ)} }}{{AQ(2r - x)}}$

και με αντικατάσταση του AQ,

παίρνω $\boxed{\tan \varphi = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{x}{{2r - x}}} }$

: Γωνιώδεις προσπάθειες.png (13.39 KiB) Προβλήθηκε 37 φορές

α) $\displaystyle \tan \varphi = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt {\frac{x}{{2r - x}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=r}$

β) $\displaystyle \tan \theta = \frac{{SQ}}{{PQ}} = \frac{{SQ}}{{\sqrt {AQ(2r - AQ)} }} = ... = \frac{{3\sqrt x (2r - x)}}{{4r\sqrt {2r - x} }} = \tan \varphi = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt {2r - x} }} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\dfrac{4r}{3}}$

γ) $\displaystyle \tan \varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt {\frac{x}{{2r - x}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\dfrac{8r}{7}}$

Γωνιώδεις προσπάθειες

Γωνιώδεις προσπάθειες

Re: Γωνιώδεις προσπάθειες

Μέλη σε σύνδεση