Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ!
Το τρίγωνο AOB

είναι ορθογώνιο στο

. Το $E \in OA$ και δίνονται OE=2, AE=20

, ενώ $O \widehat EB=3 O \widehat AB$

: Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα.png (44.41 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

I) Να υπολογιστεί το

Το $M \in AB$ ώστε $EM\perp AB$ και το

συμμετρικό του

ως προς το

.

Ακόμη το $H \in AM$ ώστε AH=3HM

και η

τέμνει την

στο

.

ii) Να εξεταστεί αν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 05, 2026 10:06 pm
Χαιρετώ!
Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο . Το $E \in OA$ και δίνονται , ενώ $O \widehat EB=3 O \widehat AB$
Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα.png

I) Να υπολογιστεί το

Το $M \in AB$ ώστε $EM\perp AB$ και το συμμετρικό του ως προς το .

Ακόμη το $H \in AM$ ώστε και η τέμνει την στο .

ii) Να εξεταστεί αν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

i) $\displaystyle \tan \omega = \frac{x}{{22}},\tan 3\omega = \frac{x}{2},\tan 3\omega = \frac{{3\tan \omega - {{\tan }^3}\omega }}{{1 - 3{{\tan }^2}\omega }} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{x(3 \cdot {{22}^2} - {x^2})}}{{22({{22}^2} - 3{x^2})}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=11}$

ii) AZ=AE=20

και $\displaystyle \tan \omega = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{ME}}{{AM}} = \frac{1}{2}$ και με Π. θ παίρνω $ME=MZ=4\sqrt 5, AM=8\sqrt 5.$

: Τριπλάσια γωνία και Π.Τ.png (17.87 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

Μενέλαος στο AMZ

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {EHK},$ $\displaystyle \frac{{AH}}{{HM}} \cdot \frac{{ME}}{{EZ}} \cdot \frac{{ZK}}{{KA}} = 1 \Leftrightarrow 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{ZK}}{{KA}} = 1 \Leftrightarrow ZK = 8,KA = 12$

$\displaystyle ZK \cdot ZA = 8 \cdot 20 = 160 = 4\sqrt 5 \cdot 8\sqrt 5 = ZM \cdot ZE,$ άρα το AKME

είναι εγγράψιμο και $A\widehat KE=90^\circ.$

Επομένως το τρίγωνο AEK

είναι ορθογώνιο με AK=12, KE=16, AE=20,

δηλαδή οι πλευρές του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 05, 2026 10:06 pm
Χαιρετώ!
Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο . Το $E \in OA$ και δίνονται , ενώ $O \widehat EB=3 O \widehat AB$
Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα.png

I) Να υπολογιστεί το

Το $M \in AB$ ώστε $EM\perp AB$ και το συμμετρικό του ως προς το .

Ακόμη το $H \in AM$ ώστε και η τέμνει την στο .

ii) Να εξεταστεί αν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Είναι $BE= \sqrt{x^2+4}$ και $AB=\sqrt{x^2+484}$ .Ακόμη $\angle ABE=2 \omega$

Έτσι,στο τρίγωνο ABE

θα είναι

$AE^2=BE^2+BE.AB \Rightarrow (396-x^2)^2=(x^2+4)(x^2+484) \Rightarrow 1280x^2=154880 \Rightarrow x=11$

Τότε παίρνουμε $AB= 11\sqrt{5}$ και $AE.AO=AN.AB\Rightarrow 440=4m.11 \sqrt{5} \Rightarrow m=2 \sqrt{5} \Rightarrow AH=3m=6 \sqrt{5}$

Έτσι $\dfrac{AH}{AB}= \dfrac{6}{11} (1)$

Από CEVA στο $\triangle AEZ$ εύκολα παίρνουμε $\dfrac{AL}{LE} = \dfrac{AK}{KZ} \Rightarrow LK//EZ \Rightarrow LKZE$ ισοσκελές τραπέζιο

Από Van Aubel στο $\triangle AEZ \Rightarrow \dfrac{AH}{HM} =2 \dfrac{AL}{LE} \Rightarrow 3=2\dfrac{AL}{LE} \Rightarrow \dfrac{AL}{LE} = \dfrac{3}{2}$ .Άρα AL=12

και

Έτσι $\dfrac{AL}{AO}= \dfrac{12}{22} =\dfrac{6}{11} (2)$ .Από $(1), (2) \Rightarrow ZL//BO \Rightarrow ZL \bot AO$ .Άρα και $EK \bot AZ$

: Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα.png (77.58 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα. Ευχαριστώ τους Γιώργο και Μιχάλη για τις ως άνω θαυμάσιες λύσεις τους!!

Να τονίσω μόνο -και όχι άσκοπα - ότι όπως αποδείχθηκε και από τα παραπάνω :

Αν $tan \omega =1/2$ , τότε $sin 2\omega =4/5$ και $cos 2\omega =3/5$ .

Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα

Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα

Re: Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα

Re: Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα

Re: Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα

Μέλη σε σύνδεση