Η διάμεσος και ο μέσος

KARKAR · #1

: Η διάμεσος και ο μέσος.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

Υπάρχει τρίγωνο ABC

στο οποίο η διάμεσος

, να είναι ο γεωμετρικός μέσος των AB , AC

;

Φυσικά , αλλά το τρίγωνο του σχήματος , ( όπου : c=4 , b=9 , AM=6

) , είναι αμβλυγώνιο .

Υπάρχει άραγε οξυγώνιο τρίγωνο με την παραπάνω ιδιότητα ;

Συμπλήρωση αργότερα : Η απάντηση είναι θετική , συνεπώς ζητούμενο είναι το διάστημα στο οποίο

πρέπει να βρίσκεται ο λόγος $\dfrac{b}{c}$ , ώστε να συμβαίνει αυτό .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2026 9:03 pm
Η διάμεσος και ο μέσος.pngΥπάρχει τρίγωνο στο οποίο η διάμεσος , να είναι ο γεωμετρικός μέσος των ;

Φυσικά , αλλά το τρίγωνο του σχήματος , ( όπου : ) , είναι αμβλυγώνιο .

Υπάρχει άραγε οξυγώνιο τρίγωνο με την παραπάνω ιδιότητα ;

Συμπλήρωση αργότερα : Η απάντηση είναι θετική , συνεπώς ζητούμενο είναι το διάστημα στο οποίο

πρέπει να βρίσκεται ο λόγος $\dfrac{b}{c}$ , ώστε να συμβαίνει αυτό .

$4AM^2=4bc=2(b^2+c^2)-a^2 \Leftrightarrow 2b^2+2c^2-4bc=a^2$

Αλλά a^2<b^2+c^2

άρα $b^2+c^2-4bc<0\Leftrightarrow (\dfrac{b}{c})^2-4 \dfrac{b}{c} +1<0 \Rightarrow 2- \sqrt{3} < \dfrac{b}{c} <2+ \sqrt{3}$

Φυσικά πρέπει να λάβουμε υπ' όψη και τις b^2<a^2+c^2 ,c^2<a^2+b^2

αφού το τρίγωνο είναι οξυγώνιο(Εγώ θεώρησα μόνο την Α οξεία)

και με συναλήθευση παίρνουμε τα διαστήματα που ανήκει ο ζητούμενος λόγος

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2026 9:03 pm
Η διάμεσος και ο μέσος.pngΥπάρχει τρίγωνο στο οποίο η διάμεσος , να είναι ο γεωμετρικός μέσος των ;

Φυσικά , αλλά το τρίγωνο του σχήματος , ( όπου : ) , είναι αμβλυγώνιο .

Υπάρχει άραγε οξυγώνιο τρίγωνο με την παραπάνω ιδιότητα ;

Συμπλήρωση αργότερα : Η απάντηση είναι θετική , συνεπώς ζητούμενο είναι το διάστημα στο οποίο

πρέπει να βρίσκεται ο λόγος $\dfrac{b}{c}$ , ώστε να συμβαίνει αυτό .

Από τον τύπο της διαμέσου και επειδή AM^2=bc

προκύπτει ότι: $a=(b-c)\sqrt 2.$

Τέλος, συναληθεύοντας τις ανισώσεις a^2<b^2+c^2, b^2<a^2+c^2, c^2<a^2+b^2,

παίρνω:

$\boxed{2 - \sqrt 3 < \frac{b}{c} < \frac{1}{3}}$ ή $\boxed{3 < \frac{b}{c} < 2 + \sqrt 3 }$

Η διάμεσος και ο μέσος

Η διάμεσος και ο μέσος

Re: Η διάμεσος και ο μέσος

Re: Η διάμεσος και ο μέσος

Μέλη σε σύνδεση