Διαφορική

mick7 · #1

Να βρεθούν οι λύσεις της ΔΕ.

$y''(x)=-\dfrac{x}{y'(x)}$

και y'(0)=1

,

Dimessi · #2

#3

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 29, 2026 7:23 pm
Να βρεθούν οι λύσεις της ΔΕ.

$y''(x)=-\dfrac{x}{y'(x)}$

και ,

.
Πρέπει $y'(x) \ne 0$ για

στο πεδίο ορισμού. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα y'y'' = -x

. Ολοκληρώνοντας είναι $\dfrac {1}{2} (y')^2= -\dfrac {x^2}{2} +c$ .

Για x=0

παίρνουμε $\dfrac {1}{2} = 0 +c$ , από όπου πίσω στην προγγούμενη (y')^2= 1-x^2

. Αμέσως αμέσως το πεδίο ορισμού περιέχεται στο |x|<1

.

Επειδή $y'(x) \ne 0$ σημαίνει ότι διατηρεί το πρόσημό της δηλαδή είναι είναι $y'= \sqrt {1-x^2}$ για κάθε

στο π.ο. ή $y'= -\sqrt {1-x^2}$ για κάθε

στο π.ο. Σίγουρα το πρώτο αφού y'(0)=1>0

.

Άρα $y'= \sqrt {1-x^2}$ , οπότε ολοκληρώνοντας $y= \dfrac {1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \dfrac {1}{2} \arcsin(x)+c$ . Για x=0

παίρνουμε

. Τελικά

$\boxed { y= \dfrac {1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \dfrac {1}{2} \arcsin(x)+1}$