ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

maths_b · #1

Έστω ότι από μία δεδομένη συναρτησιακή σχέση έχω αντλήσει τις εξής πληροφορίες:

1)f(f(x))=x, άρα η f 1-1
2)f(0)=0

Αφού η f είναι 1-1 έχει αντίστροφη, άρα f⁻¹(f(x)) = f⁻¹(x) και f(x)=f⁻¹(x)

Έψαξα και βρήκα ότι οι πιθανοί τύποι που ικανοποιούν τα παραπάνω είναι (με προβληματίζει αν είναι μοναδικοί)

f(x) = x

f(x) = −x + c

f(x) = μ / x, με μ ≠ 0

f(x) = (αx + β) / (γx − α), με α² + βγ ≠ 0

Αφού επιπλέον f(0)=0, τότε η μόνη δεκτή περίπτωση είναι η f(x)=χ

Στέκουν τα παραπάνω;

#2

Γράψε σε παρακαλώ σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας, και θα σου απαντήσω.

Υπόψη ότι τα ποστ που δεν είναι γραμμένα σύμφωνα με τους κανονισμούς μας ενδέχεται να σβηστούν από τους Γενικούς Συντονιστές, και μαζί με αυτά ενδέχεται να σβηστούν και οι απαντήσεις που προκάλεσαν.

Υπυνθυμίζω ότι οι Γενικοί Συντονιστές ήδη σου έσβησαν ένα μήνυμα στις 8 Νοεμβρίου 2025 (στο θρέντ ΘΑΛΗΣ 2025-2026) και ένα δεύτερο στις 13 Ιανουαρίου 2026 (με τίτλο "Επιστροφή στην κανονικότητα"). Ας μην δίνουμε δικαίωμα.

maths_b · #3

Έστω συνάρτηση

για την οποία ισχύουν:

$\displaystyle f(f(x)) = x, \quad \forall x$

και

$\displaystyle f(0) = 0.$

Από τη σχέση

προκύπτει ότι η

είναι 1–1 και επί.
Άρα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ και ισχύει:

$\displaystyle f^{-1}(x) = f(x),$

δηλαδή η

είναι αυτοαντίστροφη.

Οι γνωστές μορφές αυτοαντίστροφων συναρτήσεων είναι:

$\displaystyle f(x) = x,$

$\displaystyle f(x) = -x + c,$

$\displaystyle f(x) = \frac{\mu}{x}, \quad \mu \neq 0,$

$\displaystyle f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}, \quad \text{με } a^2 + bc \neq 0.$

Από τη συνθήκη f(0) = 0

αποκλείονται όλες οι παραπάνω περιπτώσεις,
εκτός από την:

$\displaystyle f(x) = x.$

Πράγματι, για f(x) = -x + c

προκύπτει

,
οπότε

, ενώ οι υπόλοιπες μορφές δεν ορίζονται στο x=0

.

Συνεπώς, η μοναδική συνάρτηση που ικανοποιεί τις δοθείσες συνθήκες είναι:

$\displaystyle \boxed{f(x) = x}.$

Ελπίζω να τα έγραψα σωστά, γιατί δεν είμαι πολύ εξοικειωμένος με την γραφή LaTex, για αυτό παρέλειψα να την χρησιμοποιήσω πριν. Βέβαια, απ' ό,τι κατάλαβα, είναι υποχρεωτική για όλες τις δημοσιεύσεις, ανεξαρτήτου εάν η μαθηματική γραφή επηρεάζει το νόημά τους ή όχι.

#4

.
Δεν αληθεύουν αυτά που γράφεις. Το κυριότερο σφάλμα είναι εδώ:

maths_b έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 24, 2026 2:13 pm
Οι γνωστές μορφές αυτοαντίστροφων συναρτήσεων είναι:
...

Όχι δεν είναι αυτές. Υπάρχουν άπειρες ακόμη. Δίνω δύο παραδείγματα.

Πρώτο

$f(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & \alpha \nu \, x=0 \\ \dfrac {1}{x} & \alpha \nu \, x\ne 0 \\ \end{matrix}\right.$

Δεύτερο

$f(x) = \left\{\begin{matrix} x+1& \, \alpha \nu \,\, 1\le x<2\\ x-1& \, \alpha \nu \,\, 2\le x<3\\ x& \alpha \lambda \lambda \iota \omega s \\ \end{matrix}\right.$

Σου συνιστώ να κάνεις τα γραφήματα.

Μπορείς να ελέγξεις ότι ισχύει για την κάθε μία

$f(f(x))=x, \, f^{-1} (x)=f(x), \, f(0)=0$

αλλά δεν είναι σωστό το

maths_b έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 24, 2026 2:13 pm
Συνεπώς, η μοναδική συνάρτηση που ικανοποιεί τις δοθείσες συνθήκες είναι:

$\displaystyle \boxed{f(x) = x}.$

maths_b · #5

Ευχαριστώ πολύ!

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Re: ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Re: ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Re: ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Re: ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Μέλη σε σύνδεση