Μικρότερο δεν γίνεται

KARKAR · #1

: Μικρότερο δεν γίνεται.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές

Το σημείο

( επομένως και το

) μπορεί να κινείται . Υπολογίστε το ελάχιστο του (SPT)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 03, 2026 4:14 am
Μικρότερο δεν γίνεται.pngΤο σημείο ( επομένως και το ) μπορεί να κινείται . Υπολογίστε το ελάχιστο του .

: Μικρ.png (13.77 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

.
Αν $\widehat {BST} = \theta$ τότε $\widehat {ASP} = 60-\theta$ . Άρα

$(SPT) = \dfrac {1}{2} ST\cdot SP \sin 120 = \dfrac {\sqrt 3}{4} \dfrac {4}{\cos \theta}\dfrac {3}{\cos (60-\theta )}= = \dfrac {3\sqrt 3}{\dfrac {1}{2} ( \cos 60+ \cos (2\theta -60)) } \ge$

$\ge \dfrac {3\sqrt 3}{\dfrac {1}{2} ( \cos 60+ 1 )} = 4\sqrt 3$

με ισότητα όταν $2\theta -60 =0$ , δηλαδή $\theta =30$ .

KARKAR · #3

Άψογη λύση !

Βέβαια ένας μαθητής θα εξέφραζε την ένσταση ότι ο τύπος : $\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}\left( \cos(a+b)+\cos(a-b) \right)$

παρότι βρίσκεται στο σχολικό , εδώ και δεκαετίες είναι εκτός διδακτέας ύλης .

Αντ' αυτού , πώς αλλιώς θα βρίσκαμε το μέγιστο της ποσότητας : $\cos\theta\cos(\dfrac{\pi}{3}-\theta)$ ;

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 03, 2026 4:14 am
Μικρότερο δεν γίνεται.pngΤο σημείο ( επομένως και το ) μπορεί να κινείται . Υπολογίστε το ελάχιστο του .

Η

τέμνει την

στο

: Μικρότερο δε γίνεται.Κ.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές

$\displaystyle \frac{{(SPT)}}{{(STE)}} = \frac{{PS}}{{SE}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow (SPT) = \frac{3}{4}(STE).$ Άρα το εμβαδόν του SPT

ελαχιστοποιείται

όταν το εμβαδόν του STE

γίνει ελάχιστο. Αλλά το STE

έχει μία γωνία $60^\circ$ και σταθερό ύψος που

άγεται από την κορυφή αυτή SB=4.

Επομένως το εμβαδόν του ελαχιστοποιείται όταν καταστεί ισόπλευρο.

Άρα, $(STE)_{min}=\dfrac{16\sqrt 3}{3}$ και $\boxed{(SPT)_{min}=4\sqrt 3}}$

KARKAR · #5

Η έξοχη λύση του Γιώργου , ωθεί την άσκηση προς τον φάκελο των διαγωνιστικών Μαθηματικών

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 03, 2026 8:42 am
Αντ' αυτού , πώς αλλιώς θα βρίσκαμε το μέγιστο της ποσότητας : $\cos\theta\cos(\dfrac{\pi}{3}-\theta)$ ;

Αφού είμαστε στον φάκελο του Διαφορικού Λογισμού, η εξής λύση επιτρέπεται:

Ακρότατο όταν $f'(\theta)= 0$ όπου $f(\theta)= \cos\theta\cos \left (\dfrac{\pi}{3}-\theta \right)$ . Εδώ

$\sin\theta\cos \left (\dfrac{\pi}{3}-\theta \right) - \cos\theta\sin \left (\dfrac{\pi}{3}-\theta \right)=0$ , άρα

$\tan \theta = \tan \left (\dfrac{\pi}{3}-\theta \right)$ . Οπότε $\theta = \dfrac{\pi}{3}-\theta$ και τελικά $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ . Και λοιπά.

Μικρότερο δεν γίνεται

Μικρότερο δεν γίνεται

Re: Μικρότερο δεν γίνεται

Re: Μικρότερο δεν γίνεται

Re: Μικρότερο δεν γίνεται

Re: Μικρότερο δεν γίνεται

Re: Μικρότερο δεν γίνεται

Μέλη σε σύνδεση