Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Προσδιορίστε τους δύο μικρότερους φυσικούς αριθμούς της μορφής 7m^2 − 11n^2

όπου

και

φυσικοί αριθμοί.

ΘΕΜΑ 2
Aν a, b, c>0

να δείξετε ότι

$\displaystyle{\sum_{cyclic}{\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}}\geq 3}$

ΘΕΜΑ 3
Για ποιους ακεραίους $n \geq 2$ μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς 1,2,3,..., 16

στα κελιά μιας $4\times 4$ σκακιέρας έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής και κάθε στήλης (δηλ. 4+4 αθροίσματα) να είναι διαφορετικό και να διαιρείται με το

ΘΕΜΑ 4
Έστω το σύνολο $M=\{1,2,3,...,19 \}$ και $A=\{a_1,a_2,...,a_k\}\subset M .$
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του

, για την οποία υπάρχουν $a_i,a_j\in A$ που ικανοποιούν την ιδιότητα:
αν $b\in M,$ τότε a_i=b

ή $a_i\pm a_j=b.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:24 pm
ΘΕΜΑ 2
Aν να δείξετε ότι

$\displaystyle{\sum_{cyclic}{\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}}\geq 3}$

Λόγω ομοιογένειας μπορώ να θέσω $\rm a+b+c=1$ οπότε γίνεται $\rm \sum \sqrt{\dfrac{1-c+b}{1+c-b}} \geq 3$ .
Θέτω $\rm 1-c+b=x,1-b+a=y,1-a+c=z,0<x,y,z<2$ .Θα είναι $\rm x+y+z=3$ .
Η ανισότητα γίνεται $\rm \sum \sqrt{\dfrac{x}{2-x}}\geq 3$
Αυτό ισχύει καθώς $\rm \sqrt{\dfrac{x}{2-x}}\geq x\Leftrightarrow \dfrac{x}{2-x}\geq x^2\Leftrightarrow 1\geq (2-x)x\Leftrightarrow x^2-2x+1\geq 0$ που ισχύει άρα $\rm LHS \geq x+y+z=3$ .

2nisic · #3

Πρόβλημα 4

k=5 παράδειγμα Α={1,2,3,9,16}
Για k<=4 Δείχνω πώς δεν ισχύει

Προκριματικός Κύπρου π4 μεγάλων.

2nisic · #4

Θέμα

Κάνουμε

και έχουμε:

$\displaystyle{LHS \displaystyle{\geq \sum\frac{2}{\frac{a+2c}{a+2b}+1}=\sum \frac{2a+4b}{2(a+b+c)}=3}}$

#5

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:24 pm
ΘΕΜΑ 3
Για ποιους ακεραίους $n \geq 2$ μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς στα κελιά μιας $4\times 4$ σκακιέρας έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής και κάθε στήλης (δηλ. 4+4 αθροίσματα) να είναι διαφορετικό και να διαιρείται με το

https://www.mathematica.gr/forum/search ... sf=msgonly

Fotis34 · #6

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:24 pm
ΘΕΜΑ 1
Προσδιορίστε τους δύο μικρότερους φυσικούς αριθμούς της μορφής όπου και φυσικοί αριθμοί.

Με δοκιμές βρίσκω ότι οι δύο μικρότεροι φυσικοί αριθμοί είναι το $\displaystyle{13}$ και το $\displaystyle{17}$ , για να ολοκληρωθεί η απόδειξη πρέπει να αποδείξω άτοπο για τις τιμές: $\displaystyle{1,2,....,12,14,15,16}$ ;

Υπάρχει πιο απλός τρόπος;

#7

Fotis34 έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 22, 2026 10:31 pm

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:24 pm
ΘΕΜΑ 1
Προσδιορίστε τους δύο μικρότερους φυσικούς αριθμούς της μορφής όπου και φυσικοί αριθμοί.

Με δοκιμές βρίσκω ότι οι δύο μικρότεροι φυσικοί αριθμοί είναι το $\displaystyle{13}$ και το $\displaystyle{17}$ , για να ολοκληρωθεί η απόδειξη πρέπει να αποδείξω άτοπο για τις τιμές: $\displaystyle{1,2,....,12,14,15,16}$ ;
Υπάρχει πιο απλός τρόπος;

Θα δείξουμε ότι οι δύο μικρότεροι φυσικοί αριθμοί είναι το

και το

είτε το

περιλαμβάνεται στους φυσικούς είτε όχι.

Αρχικά είναι απλό να δούμε ότι η εξίσωση 7m^2-11n^2=0

δεν έχει ακέραιες λύσεις (είναι μια ωραία εφαρμογή στην άπειρη κάθοδο για όποιον δε την έχει δει).

Τα τετραγωνικά υπόλοιπα mod 4

είναι

άρα $7m^2-11n^2\equiv -m^2+n^2\pmod 4 \equiv 0,1,3 \pmod 4$ . Έτσι, ο αριθμός της μορφής

δε μπορεί να είναι κάποιος από τους 6,10

.

Τα τετραγωνικά υπόλοιπα mod 7

είναι

άρα $7m^2-11n^2\equiv 3n^2\pmod 7 \equiv 0,3,5,6 \pmod 7$ . Έτσι, ο αριθμός της μορφής

δε μπορεί να είναι κάποιος από τους 1,2,4,8,9,11

.

Τα τετραγωνικά υπόλοιπα mod 11

είναι

άρα $7m^2-11n^2\equiv 7m^2\pmod 11 \equiv 0,2,6,7,8,10 \pmod 11$ . Έτσι, ο αριθμός της μορφής

δε μπορεί να είναι κάποιος από τους 3,5,10,12

.

Αν το 0 περιλαμβάνεται στους φυσικούς τότε η εξίσωση 7m^2-11n^2=7

έχει την προφανή λύση $m=1, \ n=0$ και εφόσον όλες οι μικρότερες τιμές δεν είναι εφικτές, άρα η μικρότερη είναι το

.

Αν το 0 δεν περιλαμβάνεται στους φυσικούς τότε λόγω του ότι 7|n

άρα

, η εξίσωση ανάγεται στην εξίσωση Pell m^2-77n_1^2=1

η οποία με τη μέθοδο των συνεχών κλασμάτων βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστη θετική λύση την m=351, n=280

(!!). Νομίζω όμως ότι ξεφεύγει από θέμα μικρών το συγκεκριμένο.

Η εξίσωση 7m^2-11n^2=13

έχει την προφανή λύση $m=4, \ n=3$ κι έτσι το

είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή.

#8

Fotis34 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 02, 2026 11:18 pm

$\displaystyle x \cdot (x+y)^2 \ge 4x^2 y {\color {red} \implies }(x+y)^2 \ge 4xy,$
που είναι προφανώς αληθές.

.
Ωραιότατη και σωστή η λύση, εκτός από ένα λεπτό σημείο, που όμως διορθώνεται εύκολα.

To παραπάνω " $\Rightarrow$ " πρέπει να αντικατασταθεί με " $\Leftarrow$ ". To " $\Rightarrow$ " δεν λέει απολύτως τίποτα για την απόδειξη.

Γιά παράδειγμα αν πω, ακολουθόντας το σκεπτικό σου,

$\displaystyle 1 \ge 1000 {\color {red} \implies } 1\cdot 0 \ge 1000 \cdot 0 {\color {red} \implies } 0 \ge 0$

που είναι προφανώς αληθές, έδειξα άραγε ότι $1 \ge 1000 ;$

Φυσικά όχι.

Θα σου συνιστούσα με την βοήθεια του Μαθηματικού σου να ξεκαθαρίσεις πού είναι το πρόβλημα, και να κατανοήσεις το σωστό.

Και κάτι άλλο: Όταν παραθέτεις ένα κείμενο για να γράψεις από κάτω του μία απόδειξη, τότε την απόδειξη την γράφουμε ΕΞΩ από το κείμενο, δηλαδή ΜΕΤΑ το "\quote" που εμφανίζεται. Ρίξε μια ματιά να δεις τι κάνουν οι άλλοι, για να καταλάβεις την διαφορά.

Fotis34 · #9

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:24 pm
ΘΕΜΑ 2
Aν να δείξετε ότι

$\displaystyle{\sum_{cyclic}{\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}}\geq 3}$

Μία άλλη λύση:

Λήμμα: Για x, y > 0

ισχύει
$\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}} \ge \frac{2x}{x+y}.$

Απόδειξη λήμματος: Τετραγωνίζουμε και τα δύο μέλη:
$\displaystyle \frac{x}{y} \ge \frac{4x^2}{(x+y)^2}.$
Πολλαπλασιάζουμε χιαστί και, στη συνέχεια διαιρούμε, αφού x>0

:
$\displaystyle x \cdot (x+y)^2 \ge 4x^2 y \Leftrightarrow(x+y)^2 \ge 4xy,$
που είναι προφανώς αληθές.

Επιστρέφουμε στην άσκηση:

Θέτουμε x = a+2b

και

. Τότε από το λήμμα:
$\displaystyle \sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}} \ge \frac{2(a+2b)}{(a+2b)+(a+2c)} = \frac{a+2b}{a+b+c}.$

Άρα:
$\displaystyle \sum_{cyc} \sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}} \ge \sum_{cyc} \frac{a+2b}{a+b+c} = \frac{(a+2b)+(b+2c)+(c+2a)}{a+b+c} = 3.$

Η ισότητα συμβαίνει όταν a=b=c

.

#10

Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση