Αποχή μιας μέρας

KARKAR · #1

: Αποχή μιας μέρας.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές

Τα σημεία A , B , C

, είναι συνευθειακά . Οι χορδές BS , BP

των ημικυκλίων διαμέτρων

AB , BC

αντίστοιχα , είναι ίσες και σχηματίζουν γωνία 60^0

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{CP}$ .

Αν λύσετε αυτήν , σας υπόσχομαι ότι για μια ημέρα δεν θα δημοσιεύσω άλλη άσκηση

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 01, 2026 9:48 pm
Αποχή μιας μέρας.pngΤα σημεία , είναι συνευθειακά . Οι χορδές των ημικυκλίων διαμέτρων

αντίστοιχα , είναι ίσες και σχηματίζουν γωνία . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{CP}$ .

.

: αποχή.png (17.72 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές

.
Έστω ότι οι γωνίες στις κορυφές A,C

είναι $\theta, \, \phi$ , αντίστοιχα. Από χορδή και εφαπτομένη δύο φορές, έπεται $\theta + \phi =60$ . Άρα

$3\sin \theta = BS=BP=4 \sin \phi = 4 \sin (60-\theta)= 4(\sin 60 \cos \theta - \cos 60 \sin \theta)= 4\left (\dfrac {\sqrt 3}{2} \cos \theta - \dfrac {1}{2}\sin \theta \right)$ , οπότε

$5 \sin \theta = 2\sqrt 3 \cos \theta$ , ισοδύναμα $\tan \theta = \dfrac {2\sqrt 3}{5}$

Άρα

$\dfrac{AS}{CP}= \dfrac{3\cos \theta }{4 \cos \phi }= \dfrac{3\cos \theta }{4 \cos (60-\theta) }= \dfrac{3\cos \theta }{4 (\cos 60\cos \theta +\sin 60\sin \theta ) } = \dfrac{3\cos \theta }{4 \left (\dfrac {1}{2} \cos \theta +\dfrac {\sqrt 3}{2} \sin \theta \right ) } =$

$= \dfrac{3}{2 +2\sqrt 3 \tan \theta } = \dfrac{3}{2 +2\sqrt 3 \cdot \dfrac {2\sqrt 3}{5}} = \boxed { \dfrac {15}{22}}$

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 01, 2026 9:48 pm
Αν λύσετε αυτήν , σας υπόσχομαι ότι για μια ημέρα δεν θα δημοσιεύσω άλλη άσκηση

Εμείς με την σειρά μας σε παρακαλούμε να μην μας το κάνεις αυτό.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 01, 2026 9:48 pm
Αποχή μιας μέρας.pngΤα σημεία , είναι συνευθειακά . Οι χορδές των ημικυκλίων διαμέτρων

αντίστοιχα , είναι ίσες και σχηματίζουν γωνία . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{CP}$ .

Αν λύσετε αυτήν , σας υπόσχομαι ότι για μια ημέρα δεν θα δημοσιεύσω άλλη άσκηση

Αν $AS \cap CP=E$ , τότε λόγω του εγγράψιμμου PESB

είναι $\angle AEC=120^0 \Rightarrow \angle \phi + \theta =60^0$

και προφανώς PESB

είναι χαρταετός

Άρα

διχοτόμος της $\angle AEC \Rightarrow \dfrac{m+x}{m+y}= \dfrac{3}{4} (1)$

Με BD//AE

προφανώς είναι $\angle EDB=60^0$ άρα ES=SD=m

και

$\dfrac{CD}{DE}= \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{y-m}{2m}= \dfrac{4}{3} (2)$

Με απαλοιφή του

από τις $(1) , (2) \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{15}{22}$

Στο σχήμα, από αβλεψία τα S,P

έχουν αλλάξει θέση, χωρίς να αλλάζει κάτι στην λύση

: Αποχή μιας μέρας.png (81.66 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές

KARKAR · #4

Οι δύο λύσεις μου έδωσαν χαρά αρκετή , ώστε να διακόψω την αποχή αρκετά νωρίτερα

Αποχή μιας μέρας

Αποχή μιας μέρας

Re: Αποχή μιας μέρας

Re: Αποχή μιας μέρας

Re: Αποχή μιας μέρας

Μέλη σε σύνδεση