Μέγιστος λόγος

KARKAR · #1

: Μέγιστος λόγος.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές

Σημείο

κινείται το τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ . Ονομάζουμε T , P

τις προβολές των A , B

αντίστοιχα ,

στην ακτίνα

και

την τομή των AP , OB

. Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{(BQP)}{(ATP)}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 29, 2026 7:30 pm
Μέγιστος λόγος.pngΣημείο κινείται το τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ . Ονομάζουμε τις προβολές των αντίστοιχα ,

στην ακτίνα και την τομή των . Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{(BQP)}{(ATP)}$ .

: Μέγιστος λόγος.ΚΑ.png (11.47 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

abgd · #3

: maxl.png (42.68 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές

Παρόμοια με αυτό που σκέφτηκε ο Γιώργος αλλά με Ευκλείδεια προσέγγιση...

Τα τρίγωνα OAT, BOP

είναι ίσα. Θέτουμε $AT=OP=x, \ \ OB=OT=t\cdot x$ ,

για κάποιον αριθμό t> 1

, κάτι που προϋποθέτει το

κινείται από το

, μέχρι το μέσον του τόξου

.

$QK//OP \Rightarrow \dfrac{BK}{tx}=\dfrac{QK}{x} \Rightarrow BK= t\cdot QK \ \ \bf (1)$

Από την ομοιότητα των τριγώνων QKP, PTA

είναι: $\dfrac{KP}{x}=\dfrac{QK}{(t-1)x} \Rightarrow KP= \dfrac{QK}{t-1} \ \ \bf (2)$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις $\bf (1), (2)$ και λύνοντας ως προς

έχουμε: $QK=\dfrac{t(t-1)x}{t^2-t+1}$

Έτσι θα προκύψει:

$\dfrac{(BQP)}{(ATP)}= \dfrac{t^2}{t^2-t+1}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t^2}}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{2}\right)^2}\leq \dfrac{4}{3}$ ,

για t=2

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 29, 2026 7:30 pm
Μέγιστος λόγος.pngΣημείο κινείται το τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ . Ονομάζουμε τις προβολές των αντίστοιχα ,

στην ακτίνα και την τομή των . Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{(BQP)}{(ATP)}$ .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle OP = AT = r\sin \theta ,BP = OT = r\cos \theta.$

Τα τρίγωνα BQP, ATP

έχουν μία γωνία ίση, άρα:

: Μέγιστος λόγος.ΚΑβ.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

$\displaystyle \frac{{(BQP)}}{{(ATP)}} = \frac{{BP \cdot PQ}}{{AT \cdot AP}} = \frac{{r\cos \theta }}{{r\sin \theta }} \cdot \frac{{ON}}{{NA}} = \frac{{\cos \theta }}{{\sin \theta }} \cdot \frac{{ON}}{{r - ON}} = \frac{{\cos \theta }}{{\sin \theta }} \cdot \frac{{r\sin \theta \cos \theta }}{{r\left( {1 - \sin \theta \cos \theta } \right)}}$

$\displaystyle \frac{{(BQP)}}{{(ATP)}} = \frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta - \sin \theta \cos \theta + {{\cos }^2}\theta }} = \frac{1}{{{{\tan }^2}\theta - \tan \theta + 1}}$

Αλλά, $\displaystyle {(2\tan \theta - 1)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 4{\tan ^2}\theta - 4\tan \theta + 4 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\tan }^2}\theta - \tan \theta + 1}} \le \frac{4}{3}$

Επομένως, $\boxed{\max \left[ {\frac{{(BQP)}}{{(ATP)}}} \right] = \frac{4}{3}}$ όταν $\boxed{\tan \theta=\frac{1}{2}}$

Και μία παρατήρηση δώρο. Κατά τη στιγμή της μεγιστοποίησης είναι $\boxed{\omega=45^\circ}$

Μέγιστος λόγος

Μέγιστος λόγος

Re: Μέγιστος λόγος

Re: Μέγιστος λόγος

Re: Μέγιστος λόγος

Μέλη σε σύνδεση