Εξωτερική επαφή

KARKAR · #1

: Τριγωνομετρική Γεωμετρία.png (18.46 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

Η ημιευθεία

είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{xOy}$ , ενώ η

είναι η διχοτόμος της $\widehat{xOz}$ .

Θεωρούμε σημεία

της

και

της

, τέτοια ώστε : OL=2OK

και γράφουμε τους

κύκλους (K) , (L)

οι οποίοι εφάπτονται των πλευρών των γωνιών $\widehat{xOy}$ και $\widehat{xOz}$ αντίστοιχα .

Μπορούμε να ορίσουμε την αρχική γωνία έτσι, ώστε οι δύο κύκλοι να εφάπτονται εξωτερικά ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 19, 2026 9:33 am
Τριγωνομετρική Γεωμετρία.pngΗ ημιευθεία είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{xOy}$ , ενώ η είναι η διχοτόμος της $\widehat{xOz}$ .

Θεωρούμε σημεία της και της , τέτοια ώστε : και γράφουμε τους

κύκλους οι οποίοι εφάπτονται των πλευρών των γωνιών $\widehat{xOy}$ και $\widehat{xOz}$ αντίστοιχα .

Μπορούμε να ορίσουμε την αρχική γωνία έτσι, ώστε οι δύο κύκλοι να εφάπτονται εξωτερικά ;

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι KL=R+r

και $AB=2\sqrt{Rr}.$

Εξάλλου, $\displaystyle \sin \theta = \frac{R}{{2x}},\sin 2\theta = \frac{r}{x} \Rightarrow \cos \theta = \frac{r}{R}$

: Εξωτερική επαφή.png (24.37 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές

$\displaystyle OB = 2x\cos \theta ,OA = x\cos 2\theta \Rightarrow OB - OA = 2\sqrt {Rr} = x(\cos \theta - \cos 2\theta )$

Με νόμο συνημιτόνων στο OKL,

$\displaystyle {(R + r)^2} = {x^2}(5 - 4\cos \theta )$

Με αντικατάσταση του $\displaystyle \cos \theta = \frac{r}{R}$ και απαλοιφή του

καταλήγω στην εξίσωση:

$\displaystyle 4{R^4}r(5R - 4r) = {(R + r)^2}{({R^2} + 2r - 2{r^2})^2},$ απ' όπου παίρνω $\boxed{ \cos \theta=\frac{r}{R} \simeq 0,96183626}$

Εξωτερική επαφή

Εξωτερική επαφή

Re: Εξωτερική επαφή

Μέλη σε σύνδεση