Παράκυκλος

KARKAR · #1

: Παράκυκλος.png (15.17 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

, το

είναι ύψος και το

το μέσο της

.

Οι ημιευθείες

,

τέμνονται στο

. Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που ορίζουν τα σημεία A, D , S

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 15, 2026 7:38 pm
Παράκυκλος.pngΣτο τρίγωνο , με : , το είναι ύψος και το το μέσο της .

Οι ημιευθείες , τέμνονται στο . Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που ορίζουν τα σημεία .

.

: παρακυκ.png (32.52 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές

.
Χωρίς τις πράξεις γιατί είναι πολλές και ανιαρές, αλλά ρουτίνα. Δίνω όμως εκτενή περίληψη.

Από την τύπο του Ήρωνα είναι $E= \dfrac {9}{4} \sqrt {119}$ , και από εκεί το ύψος $AD=\dfrac {3}{8} \sqrt {119}$ . Άρα από το ορθογώνιο τρίγωνο ABD

έχουμε $BD= \dfrac {23}{8}$ και $\sin \theta = \dfrac {23}{40}, \, \cos \theta = \dfrac {3\sqrt {119}}{40}$ . Επίσης $DC=12 - \dfrac {23}{8}= \dfrac {73}{8}$ .

Από το Θεώρημα του Μενελάου στο ABC

με διατέμνουσα την

βγαίνει $\dfrac {AS}{SB}= \dfrac {73}{23}$ και άρα $AS= \dfrac {73}{10}$ .

Τ'ώρα του τριγώνου ASB

ξέρουμε δύο πλευρές, τις $AS,\, AD$ και την περιεχόμενη γωνία $\theta$ και άρα βρίσκουμε όλα τα στοιχεία. Ειδικά από τον Νόμο των Συνημιτόνων θα βρούμε την $SD= \dfrac {23}{5}$ και μετά από τον Νόμο των Ημιτόνων θα βρούμε

$2r= \dfrac {SD}{\sin \theta}=8$ και άρα $\boxed {r=4}$ .

Σχόλιο. Ελπίζω να υπάρχει κάποιο ωραίο τέχνασμα για την άσκηση, αλλιώς είναι πολλή κοπιαστική.

Nikitas K. · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 15, 2026 7:38 pm
Παράκυκλος.png Στο τρίγωνο , με : , το είναι ύψος και το το μέσο της .

Οι ημιευθείες , τέμνονται στο . Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που ορίζουν τα σημεία .

: Παράκυκλος.png (1.3 MiB) Προβλήθηκε 149 φορές

Από Μενέλαο στο $\triangle ABC$ με διατέμνουσα

προκύπτει:

$\dfrac{BS}{BD} = \dfrac{AS}{DC} \quad \color{blue} (0)$

Από $\triangle AA'S \sim \triangle ACD$ προκύπτει:

$\dfrac{AS}{DC} = \dfrac{r}{5} \quad \color{blue} (1)$

Από το θεώρημα τεμνομένων χορδών προκύπτει:

$A'B = 5\cdot \dfrac{BS}{BD} \quad \color{blue} (2)$

Η σχέση $\color{blue} (2)$ λόγω των σχέσεων $\color{blue} (0)$ και $\color{blue} (1)$ γίνεται:

A'B = r

Από θεώρημα Στιούαρτ στο $\triangle AA'C$ με σεβιανή

προκύπτει:

$12r^2 -23r - 100 = 0\Rightarrow r = 4$ (δεκτή) ή $r = -\dfrac{25}{12}$ (απορρίπτεται).

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 15, 2026 7:38 pm
Παράκυκλος.pngΣτο τρίγωνο , με : , το είναι ύψος και το το μέσο της .

Οι ημιευθείες , τέμνονται στο . Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που ορίζουν τα σημεία .

Η

επανατέμνει τον κύκλο στο

και αν

είναι το μέσο του EC,

τότε το

είναι το μέσο του KM.

Άρα

: Παράκυκλος.Κ.png (19.21 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές

Με νόμο συνημιτόνων διαδοχικά στα τρίγωνα ABC, AKM

βρίσκω πρώτα $\displaystyle \cos C = \frac{{73}}{{80}} = \cos (A\widehat MK)$

και στη συνέχεια $\displaystyle 12{r^2} - 73r + 100 = 0,$ απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{r=4}$

KARKAR · #5

: Παράκυκλος.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές

Αφού ευχαριστήσω τους τρεις δεινούς λύτες ( κυρίως για το κουράγιο τους λόγω των αρκετών πράξεων ) ,

παραθέτω και την δική μου επίσης επίπονη ( τριγωνομετρική ) λύση , χωρίς τις ανιαρές πράξεις : Είναι :

$r=\dfrac{AD}{2\sin\theta} = \dfrac{5\sin B}{2\sin(B-C)}$ . Αλλά είναι : $\dfrac{\sin B}{\sin(B-C)}=\dfrac{8}{5}$ , συνεπώς : r=4

.

Παράκυκλος

Παράκυκλος

Re: Παράκυκλος

Re: Παράκυκλος

Re: Παράκυκλος

Re: Παράκυκλος

Μέλη σε σύνδεση