Το μέσο του ύψους

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17445
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το μέσο του ύψους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιαν 14, 2026 11:51 am

Το  μέσο  του  ύψους.png
Το μέσο του ύψους.png (12.06 KiB) Προβλήθηκε 200 φορές
Το ύψος AD του τριγώνου ABC , χωρίζει την πλευρά BC=a , σε δύο τμήματα με λόγο :

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{3} . Υπολογίστε το ύψος AD , αν το ορθόκεντρο H του τριγώνου είναι το μέσο του .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14779
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το μέσο του ύψους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 14, 2026 12:54 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 14, 2026 11:51 am
Το μέσο του ύψους.pngΤο ύψος AD του τριγώνου ABC , χωρίζει την πλευρά BC=a , σε δύο τμήματα με λόγο :

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{3} . Υπολογίστε το ύψος AD , αν το ορθόκεντρο H του τριγώνου είναι το μέσο του .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18255
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το μέσο του ύψους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 14, 2026 12:58 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 14, 2026 11:51 am
Το μέσο του ύψους.pngΤο ύψος AD του τριγώνου ABC , χωρίζει την πλευρά BC=a , σε δύο τμήματα με λόγο :

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{3} . Υπολογίστε το ύψος AD , αν το ορθόκεντρο H του τριγώνου είναι το μέσο του .
Από τα όμοια ορθοηώνια τρίγωνα ADC, BDH έχουμε \dfrac {h}{DC}=\dfrac {BD}{HD}, ισοδύναμα \dfrac {h}{3x}=\dfrac {x}{h/2}. Άρα

h^2=6x^2=6 \left ( \dfrac {a}{4}\right) ^2, οπότε h= \dfrac {a\sqrt 6}{4}

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος όσο εγραφα. Το αφήνω.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14779
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το μέσο του ύψους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 14, 2026 1:13 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 14, 2026 11:51 am
Το μέσο του ύψους.pngΤο ύψος AD του τριγώνου ABC , χωρίζει την πλευρά BC=a , σε δύο τμήματα με λόγο :

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{3} . Υπολογίστε το ύψος AD , αν το ορθόκεντρο H του τριγώνου είναι το μέσο του .
Μ.Υ.png
Μ.Υ.png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές
\displaystyle BD \cdot DC = AD \cdot \frac{{AD}}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{4} \cdot \frac{{3a}}{4} = \frac{{A{D^2}}}{2} \Leftrightarrow AD = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 3281
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Το μέσο του ύψους

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Ιαν 15, 2026 1:55 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 14, 2026 11:51 am
Το μέσο του ύψους.pngΤο ύψος AD του τριγώνου ABC , χωρίζει την πλευρά BC=a , σε δύο τμήματα με λόγο :

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{3} . Υπολογίστε το ύψος AD , αν το ορθόκεντρο H του τριγώνου είναι το μέσο του .
Με M μέσον της BC θα έχουμε BD=DM=\dfrac{a}{4} και \triangle ABM ισοσκελές άρα AHMC εγγράψιμμο

DM.DC=DH.DA\Rightarrow  \dfrac{AD^2}{2} = \dfrac{a}{4}. \dfrac{3a}{4} \Rightarrow AD= \dfrac{a}{2} \sqrt{ \dfrac{3}{2} }
Το μέσο του ύψους.png
Το μέσο του ύψους.png (23.22 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης