Γεωμετρική συνάρτηση 11

KARKAR · #1

: Γεωμετρική συνάρτηση 11.png (7.4 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, έχει κάθετες πλευρές : AB=6 , AC=8

και το σημείο

είναι το μέσο της υποτείνουσας

. Στην προέκταση της πλευράς

, θεωρούμε σημείο

.

Η

τέμνει την

στο σημείο

. Υπολογίστε το τμήμα

συναρτήσει του PM=x

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 22, 2025 7:21 pm
Το ορθογώνιο τρίγωνο , έχει κάθετες πλευρές : και το σημείο
B
είναι το μέσο της υποτείνουσας . Στην προέκταση της πλευράς , θεωρούμε σημείο .

Η τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα συναρτήσει του .

Καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Γεωμετρική συνάρτηση 11.png (21.64 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

Έστω $\displaystyle{m=BS}$ .

Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\displaystyle{ASP}$ και με διατέμνουσα την $\displaystyle{BC}$ . Τότε:

$\displaystyle{\frac{AB}{BS}\cdot \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{PC}{CA} =1}$

Από αυτήν προκύπτει εύκολα:

$\displaystyle{\frac{f(x)}{x}=\frac{b}{c} \cdot \frac{m}{PC} \ \ (1) }$

Όμοια εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Μενελάσου στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και με διατέμνουσα την $\displaystyle{SP}$ . Τότε:

$\displaystyle{\frac{BM}{MC}\cdot \frac{CP}{PA} \cdot \frac{AS}{SB} =1 }$ $\displaystyle{\Rightarrow \frac{CP}{PA} \cdot \frac{c+m}{m}=1}$

Άρα: $\displaystyle{\frac{CP}{PA}=\frac{m}{c+m} \Rightarrow \frac{CP}{b-CP}=\frac{m}{c+m} \Rightarrow ... \Rightarrow CP=\frac{mb}{c+2m} \ \ (2) }$

Από τις (1) και (2) προκύπτει τελικά:

$\displaystyle{f(x)=\frac{c+2m}{c}x }$

Κώστας Δόρτσιος

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 22, 2025 7:21 pm
Γεωμετρική συνάρτηση 11.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο , έχει κάθετες πλευρές : και το σημείο

είναι το μέσο της υποτείνουσας . Στην προέκταση της πλευράς , θεωρούμε σημείο .

Η τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα συναρτήσει του .

.

: Γεωμ.png (17.94 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

.
Φέρνουμε τις κάθετες MQ, MR

, οπότε $MQ=\dfrac {1}{2} AB=3, \, MR=\dfrac {1}{2} AC=4$ .

Από τα όμοια oρθογώνια τρίγωνα MPQ, SMR

έχουμε $\dfrac {PQ}{PM}= \dfrac {MR}{MS}$ , δηλαδή $\dfrac {\sqrt {x^2-3^2}}{x}= \dfrac {4}{f(x)}$ .

Άρα $\boxed {f(x)= \dfrac {4x}{\sqrt {x^2-9}}}$

Αν θέλουμε και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, παρατηρούμε ότι το

κινείται στο ανοικτό διάστημα

. Συνεπώς

#4

: Γεωμ 2.png (24.07 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές

.
Αν θέλουμε και μικρή μελέτη της συνάρτησης, λέμε: Μας ενδιαφέρει μόνο για 3<x<5

. Έχει κατακόρυφη ασύμπτωτο στο x=3

και, με παρραγώγιση, είναι γνήσια φθίνουσα εκεί. Το σχήμα δείχνει την

για όλα τα

εκτός του

όπου δεν ορίζεται, αλλά κρατάμε μόνο το τμήμα της μεταξύ των κόκκινων ευθειών. Επίσης, δεδομένου ότι f(5)=5

, το σύνολό τιμών της για το διάστημα που μας ενδιαφέρει είναι το $(5, \, +\infty)$

Τα ίδια αυτά συμπεράσματα φαίνονται και γεωμετρικά καθώς είναι σαφές ότι το μήκος

, και άρα το MS=f(x)

, φθίνει καθώς αυξάνει το

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 22, 2025 7:21 pm
Το ορθογώνιο τρίγωνο , έχει κάθετες πλευρές : και το σημείο

είναι το μέσο της υποτείνουσας . Στην προέκταση της πλευράς , θεωρούμε σημείο .

Η τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα συναρτήσει του .

Καλησπέρα...

Το εύρημα μου

$\displaystyle{f(x)=\frac{c+2m}{c}x \ \ (1) }$

δεν έχει ολοκληρωμένη μορφή για το λόγο ότι

$\displaystyle{m=m(x) \ \ (2) }$

Έτσι δεν είναι ανεξάρτητη παράμετρος της μεταβλητής $\displaystyle{x}$ .

Για τούτο εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα και αξιοποιώντας την ιδέα του Μιχάλη

μπορούμε να πούμε τα παρακάτω:

: Γεωμετρική συνάρτηση 2png.png (31.72 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές

Είναι φανερό ότι ισχύει:

$\displaystyle{\frac{c+2m}{c}=\frac{\frac{c}{2}+m}{\frac{c}{2}}=\frac{SE}{MZ}=\frac{ME}{PZ}=\frac{\frac{b}{2}}{\sqrt{x^2-(\frac{c}{2})^2} }$

Άρα:

$\displaystyle{=\frac{\frac{b}{2}}{\sqrt{x^2-(\frac{c}{2})^2} }$

Δηλαδή:

$\displaystyle{\frac{c+2m}{c}=\frac{b}{\sqrt{4x^2-c^2} }\ \ (3)}$

Σύμφωνα με αυτή τη σχέση ο αρχικός τύπος της συνάρτησης γίνεται:

$\displaystyle{f(x)=\frac{b}{\sqrt{4x^2-c^2}}x, \ \ (4) }$

Το πεδίο ορισμού αυτής είναι: $\displaystyle{D(f)=(\frac{c}{2},\frac{a}{2}) \ \ (5) }$

Τέλος αν λύσουμε ως προς $\displaystyle{m}$ τη σχέση (3) τότε βρίσκουμε:

$\displaystyle{m(x)=\frac{c(bx-\sqrt{4x^2-c^2}}{2\sqrt{4x^2-c^2}} \ \ (6) }$

δηλαδή η παράμετρος αυτή είναι εξαρτημένη από τη μεταβλητή $\displaystyle{x}$ .

Σχόλιο:

Επειδή η άσκηση αυτή είχε αφετηρία ένα γεωμετρικό σχήμα και ασφαλώς το πρωτογενές σημείο $\displaystyle{S}$

εννοεί ότι γνωρίζουμε την τιμή $\displaystyle{m}$ , τότε ο αρχικός μου τύπος (1) λειτουργεί. Με απλά λόγια ο τύπος (1)

μας λέει:

Θεωρούμε το σημείο $\displaystyle{S}$ , άρα γνωρίζουμε την παράμετρο $\displaystyle{m}$ , κατόπιν φέροντες την $\displaystyle{SMP}$ έχουμε

τις τιμές $\displaystyle{x, f(x)}$ και ασφαλώς ο τύπος (1) μας δείχνει την αντιστοίχιση αυτή.

Τέλος ευχαριστώ τον αγαπητό Θανάση (KARKAR) για την επισήμανση αυτής της λεπτομέρειας.

Κώστας Δόρτσιος

Γεωμετρική συνάρτηση 11

Γεωμετρική συνάρτηση 11

Re: Γεωμετρική συνάρτηση 11

Re: Γεωμετρική συνάρτηση 11

Re: Γεωμετρική συνάρτηση 11

Re: Γεωμετρική συνάρτηση 11

Μέλη σε σύνδεση