Παράξενο μέγιστο 15

KARKAR · #1

: Παράξενο μέγιστο.png (11.4 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με κάθετες πλευρές AB=8 , AC=6

, το τμήμα

είναι παράλληλο

προς την

. Οι

, τέμνονται στο σημείο

. Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου SDE

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 18, 2025 6:49 pm
Παράξενο μέγιστο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές , το τμήμα είναι παράλληλο

προς την . Οι , τέμνονται στο σημείο . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Στο σχήμα .

$\dfrac{{CD}}{{DA}} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi \,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ και $X = \left( {DSE} \right)\,\,\,,Y = \left( {SAB} \right)$ τότε $\left( {ABED} \right) = X + X{\varphi ^2} + 2X\phi = X{\left( {\varphi + 1} \right)^2}$ $\left( 2 \right)$

Αλλά και $\dfrac{{\left( {ABC} \right)}}{{\left( {ADE} \right)}} = {\varphi ^2}\,\,\,\,\left( 3 \right)$ γιατί η τετράδα , $\left( {C,S\backslash N,M} \right)$ είναι ως γνωστό αρμονική.

: Παράξενο μέγιστο_κατασκευή.png (17.44 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

Από την εξίσωση : $\dfrac{{24}}{{24 - X{{\left( {\varphi + 1} \right)}^2}}} = {\varphi ^2}$ , έχω $\boxed{X = 60\sqrt 5 - 132}$ αυτή ισχυρίζομαι ότι είναι η μεγαλύτερη τιμή που θέλω .

Αν το αποδείξει κάποιος άλλος θα τον ευχαριστώ πολύ ! . Όλα τα πιο πάνω έγιναν με τη βοήθεια λογισμικού .

KARKAR · #3

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 19, 2025 9:48 am
$\boxed{X = 60\sqrt 5 - 132}$ αυτή ισχυρίζομαι ότι είναι η μεγαλύτερη τιμή που θέλω .

...και επιτυγχάνεται όταν : $AD=9-3\sqrt{5}$ .

Την ισότητα : $\dfrac{CD}{DA}=\phi$ , έπρεπε να την έχω ως ζητούμενο

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 19, 2025 10:13 am

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 19, 2025 9:48 am
$\boxed{X = 60\sqrt 5 - 132}$ αυτή ισχυρίζομαι ότι είναι η μεγαλύτερη τιμή που θέλω .
...και επιτυγχάνεται όταν : $AD=9-3\sqrt{5}$

Και αφού( Όπως καλώς υπέδειξε ο Κ. Λάμπρου ) , $\sqrt 5 = 2\varphi - 1$ όλα γράφονται ως έκφραση του $\varphi$

#5

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 19, 2025 9:48 am

Αν το αποδείξει κάποιος άλλος θα τον ευχαριστώ πολύ ! . Όλα τα πιο πάνω έγιναν με τη βοήθεια λογισμικού .

.
Νίκο, έχω λύση στο πρόβλημα αλλά επειδή οι πράξεις και η πληκτρολόγιση είναι απαγορευτικά και ανιαρά, απέφυγα να την γράψω.

Πάντως με A(0,0), B(8,0), C(0,6)

και μεταβλητό D(0,d)

, από την εξίσωση της

βρίσκουμε

$E \left ( \dfrac {24-3d}{3}, d\right)$ . Με χρήση αυτού και τις εξισώσεις των AE, BD

βρίσουμε το

$S \left ( \dfrac {48-8d}{12-d}, \dfrac {6d}{12-d}\right)$ (ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις, αλλά δεν έλεγχω).

Τώρα ξέρουμε τις διαστάσεις του DES

, και τα υπόλοιπα είναι άμεσα και κοινότυπα.

KARKAR · #6

Η μελέτη της συνάρτησης

, είναι πράγματι ρουτίνα ( αλλά με ενδιαφέρον για έναν μαθητικό φάκελο ) .

Η δημιουργία όμως της συνάρτησης είναι ενδιαφέρουσα και ασφαλώς οφείλει να είναι ( λόγω του φακέλου )

και "ανθρώπινη" . Σαν ασθενή υπόδειξη παραθέτω ένα σχήμα ...

: Παράξενο μέγιστο 16.png (15.5 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 19, 2025 12:24 pm

Η δημιουργία όμως της συνάρτησης είναι ενδιαφέρουσα και ασφαλώς οφείλει να είναι ( λόγω του φακέλου )

και "ανθρώπινη" . Σαν ασθενή υπόδειξη παραθέτω ένα σχήμα ...Παράξενο μέγιστο 16.png

Θανάση, σωστά. Ας προσθέσω όμως ότι η μέθοδος που προτείνεις με το σχήμα (όμοια τρίγωνα και λοιπά) είναι ουσιαστικά η ίδια με αυτό που περιγράφω. Και ο λόγος είναι διότι η εξίσωση μιας ευθείας είναι ουσιαστικά μία σχέση λόγων: αυτό είναι φανερό αν δεις την κλίση της ευθείας ως λόγο, από όπου έπεται η εξίσωση της ευθείας από όμοια τρίγωνα.

Στην προκείμενη περίπτωση, το εμβαδόν του κίτρινου τριγώνου, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, περνάει από τις ίδιες πράξεις.

KARKAR · #8

Ισχυρότερη υπόδειξη : Με AD=x

και υπολογίζοντας το ζητούμενο

,

ως διαφορά εμβαδών , θα βρούμε ότι : $E(x)=4x(1-\dfrac{x}{6}-\dfrac{6-x}{12-x})$ .

#9

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 19, 2025 1:52 pm
Ισχυρότερη υπόδειξη : Με και υπολογίζοντας το ζητούμενο ,

ως διαφορά εμβαδών , θα βρούμε ότι : $E(x)=4x(1-\dfrac{x}{6}-\dfrac{6-x}{12-x})$ .

Θανάση, αυτό που λες είναι αυτό που έχω κάνει (με μικρή, ισοδύναμη, παραλλαγή). Το

το δικό σου είναι το

το δικό μου. Από εκεί και πέρα η εύρεση των συντεταγμ'ενων του

είναι απαραίτητη. Στην μέθοδό σου, το μήκος

που χρησιμοποιείς είναι η τετμημένη του

.

Παράξενο μέγιστο 15

Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Re: Παράξενο μέγιστο 15

Μέλη σε σύνδεση