Ακέραιες και ίσες

KARKAR · #1

: Ακέραιες και ίσες.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές

Οι αποστάσεις SP , ST

, του σημείου S(4,3)

από τον κύκλο x^2+y^2=9

και την ευθεία

y=1

αντίστοιχα , είναι ακέραιες και ίσες . Βρείτε τρία ακόμη σημεία με αυτήν την ιδιότητα .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 09, 2025 6:04 am
Ακέραιες και ίσες.pngΟι αποστάσεις , του σημείου από τον κύκλο και την ευθεία

αντίστοιχα , είναι ακέραιες και ίσες . Βρείτε τρία ακόμη σημεία με αυτήν την ιδιότητα .

: Ακέραιες και ίσες.png (13.93 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές

KARKAR · #3

Καλό

Αλλά ( με νεότερη εκφώνηση ) :

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 09, 2025 6:04 am
Βρείτε δεκατρία ακόμη σημεία με αυτήν την ιδιότητα .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 09, 2025 6:04 am
Ακέραιες και ίσες.pngΟι αποστάσεις , του σημείου από τον κύκλο και την ευθεία

αντίστοιχα , είναι ακέραιες και ίσες . Βρείτε τρία ακόμη σημεία με αυτήν την ιδιότητα .

.
Tα άπειρα το πλήθος σημεία S(2k,k^2-1)

έχουν την ιδιότητα διότι α) η απόστασή τους από την y=1

είναι

και β) η απόστασή τους από τον κύκλο κέντρου O(0,0)

και ακτίνας

είναι $SO-3 = \sqrt {(2k)^2+(k^2-1)^2}-3= \sqrt {k^4+2k^2+1} -3= (k^2+1)-3 = k^2-2$ . Δηλαδή οι εν λόγω αποστάσεις είναι ίσες και ακέραιες.

Edit. Τώρα είδα ότι ο Θανάσης πρόσθεσε ένα ποστ, όσο έγραφα. Η απάντησή μου περιέχει το επιπρόσθετο ζητούμενο.

#5

.
Ένα ιστορικό σχόλιο θα είναι χρήσιμο. Άλλωστε ερμηνεύει την επιλογή των ζητούμενων σημείων

στο προηγούμενο ποστ:

Ψάχνουμε ακέραια σημεία S(m,n)

με την ιδιοότητα $\sqrt {m^2+n^2}-3=n-1$ (άμεσο). Δηλαδή ουσιαστικά θέλουμε Πυθαγόρειες τριάδες που ικανοποιούν

$\boxed {m^2+n^2= (n+2)^2 }$

Με άλλα λόγια, θέλουμε ορθογώνια τρίγωνα που η υποτείνουσά τους, εδώ μήκους n+2

, διαφέρει κατά

μονάδες από την μία κάθετο, εδώ μήκους

.

Όλοι ξέρουμε παραδείγματα Πυθαγόρειων τριάδων όπου η υποτείνουσα διαφέρει κατά

μονάδα από μία κάθετο, όπως π.χ. τις $(3,4,5), \, (5,12, 13),\, (7, 24, 25)$ και λοιπά. Γι' αυτές τις τριάδες μας έδωσε γενικό τύπο ο Πυθαγόρας, την αρχαιότητα. Συγκεκριμένα, όπως μας λέει ο Πρόκλος στο Υπόμνημά του, είναι της μορφής

$m^2 + \left (\dfrac {m^2-1}{2} \right ) ^2 = \left (\dfrac {m^2+1}{2} \right ) ^2$ , όπου

άρτιος.

Πολλαπάσιάζοντας επί

, η παράσταση γράφεται

$\boxed { (2m)^2 + (m^2-1)^2=(m^2+1)^2 }$ (υπόψη ότι ο τύπος αυτός δίνεται από τον Πλάτωνα).

Δηλαδή έχουμε τριάδες όπου η υποτείνουσα, εδώ m^2+1

, διαφέρει κατά

μονάδες από μία κάθετο, εδώ m^2 -1

.

Αυτές ακριβώς τις τριάδες έγραψα στο προηγούμενο ποστ.

Και ένα τελευταίο: Η παραπάνω m^2+n^2= (n+2)^2

γράφεται $n = \dfrac {m^2}{4} -1$ , που σημαίνει ότι τα ζητούμενα σημεία είναι τα ακέραια σημεία της παραβολής $y = \dfrac {x^2}{4} -1$ . To σχήμα παρακάτω τα συνοψίζει.
.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 09, 2025 6:04 am
Ακέραιες και ίσες.pngΟι αποστάσεις , του σημείου από τον κύκλο και την ευθεία

αντίστοιχα , είναι ακέραιες και ίσες . Βρείτε τρία ακόμη σημεία με αυτήν την ιδιότητα .

Κάτι παρόμοιο με το Κ. Λάμπρου .

To

απέχει εξ ίσου από το σημείο $E\left( {0,0} \right)$ και την ευθεία με εξίσωση , y = - 2

δηλαδή ανήκει στην παραβολή με εστία

, κορυφή το $O\left( {0, - 1} \right)$ και διευθετούσα την ευθεία με εξίσωση , y = - 2

.

: Ακέραιες και ίσες.png (46.26 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές

Η παραβολή έχει εξίσωση , $\boxed{y = {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2} - 1}$ έτσι π, χ, με $x = 6 \Rightarrow y = 8$ κ. λ. π .

#7

Να συμπληρώσω απλώς ότι όλα τα παραπάνω σημεία ισχύουν όταν το

είναι πάνω από τον x'x.

Όταν το

είναι κάτω από τον x'x,

τότε $\displaystyle S\left( {4m, - 2({m^2} - 1)} \right), m\ge 2,$ ή $m\le -2.$

: Ακέραιες και ίσες.png (14.71 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές

Αυτά είναι σημεία της παραβολής με εξίσωση $y=-\dfrac{x^2}{8}+2.$ Στο σχήμα είναι τα σημεία

που βρίσκονται στα κόκκινα τμήματα της καμπύλης και έχουν ακέραιες συντεταγμένες.

Ακέραιες και ίσες

Ακέραιες και ίσες

Re: Ακέραιες και ίσες

Re: Ακέραιες και ίσες

Re: Ακέραιες και ίσες

Re: Ακέραιες και ίσες

Re: Ακέραιες και ίσες

Re: Ακέραιες και ίσες

Μέλη σε σύνδεση