Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2026 (10η τάξη, 1η φάση)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2026
Θέματα της 1ης φάσης για την 10η τάξη, 15 Νοεμβρίου 2025

1. Δίνονται δέκα μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί του διαστήματος . Είναι γνωστό, ότι

.

Να βρείτε το άθροισμα .

2. Ένα μπλε και ένα κόκκινο βαρέλι γεμίζονται με νερό το καθένα με το δικό του λάστιχο. Η ροή στα λάστιχα ξεκίνησε ταυτόχρονα και όταν το κόκκινο βαρέλι γέμισε κατά το ένα πέμπτο ανταλλάχθηκαν οι θέσεις των λάστιχων. Μετά από αυτό και τα δυο βαρέλια γέμισαν ταυτόχρονα. Ο όγκος του μπλε βαρελιού είναι λίτρα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος όγκος που μπορεί να είχε το κόκκινο βαρέλι; ( Η ταχύτητα ροής του νερού σε κάθε λάστιχο είναι σταθερή, αυτές οι δυο ταχύτητες δεν είναι απαραίτητα ίσες.)

3. Δίνεται ένα τετράπλευρο , στο οποίο , . Είναι γνωστό ότι ο κύκλος , που διέρχεται από τα σημεία και από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , εφάπτεται της ευθείας . Από το σημείο προς τον κύκλο φέρεται η δεύτερη εφαπτόμενη . Να βρείτε την γωνία .

4. Σε μια πόλη υπάρχουν μερικοί όμιλοι. Δυο ομίλους θα τους ονομάσουμε όμοιους, αν έχουν κοινό μέλος. Προέκυψε ότι ο κάθε όμιλος έχει ακριβώς δυο όμοιους ομίλους και κάθε κάτοικος της πόλης είναι μέλος είτε ενός ομίλου, είτε σε δυο όμοιους. Ο δήμαρχος έχει δυο λίστες. Στην πρώτη είναι γραμμένος ο αριθμός μελών κάθε ομίλου. Στην δεύτερη για κάθε δυο όμοιους ομίλους είναι γραμμένος ο αριθμός των κατοίκων, που είναι μέλη ταυτόχρονα και στους δύο. Προέκυψε ότι για κάθε αριθμό της πρώτης λίστας στην δεύτερη βρέθηκε κατά δυο φορές μικρότερος αριθμός. Να αποδείξετε, ότι υπάρχουν δυο όμιλοι που έχουν τον ίδιο αριθμό μελών.

5. Για καθένα εκ των αριθμών βρέθηκε το έβδομο ψηφίο μετά την υποδιαστολή στην δεκαδική του αναπαράσταση. Ποιο ψηφίο το ή το συναντήθηκε περισσότερες φορές και κατά πόσες;

[Mihalis_Lambrou]

1. Δίνονται δέκα μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί του διαστήματος . Είναι γνωστό, ότι

.

Να βρείτε το άθροισμα .

.
Αλέξανδρε, εκλαμβάνω το ως και όχι ως , και λοιπά. Με αυτή την υπόθεση, η άσκηση είναι πολλή απλή, που με ... ανησυχεί. Ή τους ξέψυγε ή κάνω λάθος στην ερμηνεία μου της αμφισημίας. Ας αρχίσω με αυτό, και βλέπουμε!

Από την υπόθεση , και κυκλικά. Άρα ως τηλεσκοπικό άθροισμα είναι

[Al.Koutsouridis]

Αλέξανδρε, εκλαμβάνω το ως και όχι ως , και λοιπά. Με αυτή την υπόθεση, η άσκηση είναι πολλή απλή, που με ... ανησυχεί. Ή τους ξέψυγε ή κάνω λάθος στην ερμηνεία μου της αμφισημίας. Ας αρχίσω με αυτό, και βλέπουμε!

Καλημέρα κ. Μιχάλη. Ναι, σωστά το εκλάβατε το πρώτο θέμα τα τελευταία χρόνια είναι εύκολο. Μπορούμε να δουμε και την δεύτερη εκδοχή, αλλά δεν ξέρω την δυσκολία του.

[αρψ2400]

4. Σε μια πόλη υπάρχουν μερικοί όμιλοι. Δυο ομίλους θα τους ονομάσουμε όμοιους, αν έχουν κοινό μέλος. Προέκυψε ότι ο κάθε όμιλος έχει ακριβώς δυο όμοιους ομίλους και κάθε κάτοικος της πόλης είναι μέλος είτε ενός ομίλου, είτε σε δυο όμοιους. Ο δήμαρχος έχει δυο λίστες. Στην πρώτη είναι γραμμένος ο αριθμός μελών κάθε ομίλου. Στην δεύτερη για κάθε δυο όμοιους ομίλους είναι γραμμένος ο αριθμός των κατοίκων, που είναι μέλη ταυτόχρονα και στους δύο. Προέκυψε ότι για κάθε αριθμό της πρώτης λίστας στην δεύτερη βρέθηκε δυο φορές μικρότερος αριθμός. Να αποδείξετε, ότι υπάρχουν δυο όμιλοι που έχουν τον ίδιο αριθμό μελών.

Αν κάθε όμιλος είναι και ένας κόμβος τότε κάθε κόμβος έχει βαθμό και άρα το γράφημα είναι κυκλικές συνιστώσες.
Έστω μία από αυτές και ο όμιλος με τα περισσότερα μέλη.
Έστω και τα κοινά μέλη με τους γειτονικούς κόμβους .
Τότε

και επειδή

και ,
για να μην παραβιάζεται η συνθήκη
«για κάθε αριθμό της πρώτης λίστας στην δεύτερη βρέθηκε δυο φορές μικρότερος αριθμός»
θα πρέπει

Τότε όμως


(Αν κατάλαβα καλά το '' Προέκυψε ότι για κάθε αριθμό της πρώτης λίστας στην δεύτερη βρέθηκε δυο φορές (ακριβώς;) μικρότερος αριθμός'')