Ισότητα ανομοίων

KARKAR · #1

: Ισότητα ανομοίων.png (11.53 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές

Μπορούμε άραγε να κατασκευάσουμε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, στο οποίο αν η διάμεσος

και η διχοτόμος της γωνίας $\hat{C}$ , τέμνονται στο σημείο

, να είναι : SB = SC

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 03, 2025 9:01 am
Ισότητα ανομοίων.pngΜπορούμε άραγε να κατασκευάσουμε ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο αν η διάμεσος

και η διχοτόμος της γωνίας $\hat{C}$ , τέμνονται στο σημείο , να είναι : ;

Είναι $\displaystyle B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4}.$ Αλλά στο τρίγωνο BMC

είναι $\displaystyle \widehat C = 2\theta = 2M\widehat BC,$ οπότε

: Ισότητα ανομοίων.Κ.png (11.35 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

$\displaystyle B{M^2} = \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{ab}}{2} \Rightarrow {c^2} = \frac{{ab}}{2} \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = \frac{{ab}}{2} \Leftrightarrow 2{a^2} - ab - 2{b^2} = 0,$

απ' όπου $\boxed{ \frac{a}{b} = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}$

KARKAR · #3

: Ισότητα ανομοίων.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

Εξετάστε επίσης αν είναι : $AS \perp BM$ . Μπορεί αυτό να μας βοηθήσει σε μια διαφορετική κατασκευή ;

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 03, 2025 11:20 am
Ισότητα ανομοίων.pngΕξετάστε επίσης αν είναι : $AS \perp BM$ . Μπορεί αυτό να μας βοηθήσει σε μια διαφορετική κατασκευή ;

Κρατάω από το προηγούμενο σποτ (#2) τη σχέση $\boxed{ab=2c^2}$ (1)

: Ισότητα ανομοίων.Κβ.png (12.96 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές

Θ. διχοτόμου στο BMC,

$\displaystyle \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{b}{{2a}} = \frac{{{b^2}}}{{2ab}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{{b^2}}}{{4{c^2}}} = \frac{{A{M^2}}}{{A{B^2}}},$

που αποδεικνύει την καθετότητα των AS, BM.

Ισότητα ανομοίων

Ισότητα ανομοίων

Re: Ισότητα ανομοίων

Re: Ισότητα ανομοίων

Re: Ισότητα ανομοίων

Μέλη σε σύνδεση