Ωραίο Κυκλικό Σύστημα

GeorgePe · #1

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα: $\begin{cases} 2x - 2y + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2025}, \\[8pt] 2y - 2z + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2025}, \\[8pt] 2z - 2x + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2025}. \end{cases}$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

Dimessi · #3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

GeorgePe έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 19, 2025 5:26 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα: $\begin{cases} 2x - 2y + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2025}, \\[8pt] 2y - 2z + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2025}, \\[8pt] 2z - 2x + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2025}. \end{cases}$

.
GeorgePe, μήπως η άσκηση θέλει την προσθήκη x,y,z>0

. Με αυτή την προσθήκη η άσκηση έχει ωραία και κομψή επίλυση (όπως λέει εκφώνηση). Σε αυτή την περίπτωση έχει μοναδική λύση την x=y=z=2025

.

Χωρίς την προσθήκη, η άσκηση χάνει την κομψότητά της. Οδηγεί σε τριτοβάθμια με λύση

$x\approx 2025\times 0,132364701242788, \, y\approx-2025\times 0,204903419401209,\, z\approx 2025\times 3,07253871815842$

Θα περιμένω να μας διαφωτίσει ο GeorgePe, και μετά θα γράψω πλήρη λύση.

Aς προσθέσω ότι πρόσφατα μας πρότεινε (αλλά δεν έκανε ακόμα διόρθωση) και άλλη μία εξίσωση που όμως ήταν προβληματική λόγω σφάλματος. Βλέπε εδώ

Dimessi · #5

Θα λύσω το σύστημα στο $\mathbb{R}^{+}.$
$\bullet$ Λόγω κυκλικότητας έστω $x\geq \max\left\{ y,z\right\}.$ Αν $x\geq y\geq z,$ τότε $\displaystyle \frac{1}{2025}=2x-2y+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{z}\Rightarrow z\geq 2025$ και $\displaystyle \frac{1}{2025}=2z-2x+\frac{1}{y}\leq \frac{1}{y}\Rightarrow y\leq 2025\leq z\overset{y\geq z}\Rightarrow y=z.$ Τότε x=2025

και $\displaystyle \frac{1}{y}-2y=\frac{1}{2025}-2\cdot 2025,$ άρα αφού η συνάρτηση $\frac{1}{y}-2y$ είναι γνήσια φθίνουσα στο $(0,\infty),$ είναι y=z=2025.

Αν $x\geq z\geq y,$ τότε $\displaystyle \frac{1}{2025}=2y-2z+\frac{1}{x}\leq \frac{1}{x}\Rightarrow x\leq 2025$ και $\displaystyle \frac{1}{2025}=2x-2y+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{z}\Rightarrow z\geq 2025\geq x\overset{x\geq z}\Rightarrow x=z.$ Τότε y=2025

και $2025\leq x\leq 2025\Rightarrow z=x=2025.$ Άρα η περίπτωση $x\geq \max\left\{ y,z\right\},$ δίδει x=y=z=2025.

Ακριβώς την ίδια τριάδα δίνουν και οι περιπτώσεις $y\geq \max\left\{ x,z\right\},z\geq \max\left\{ x,y\right\}.$ Επειδή εδώ βρήκαμε ότι x=y=z

και οι κυκλικές λύσεις θα είναι ταυτόσημες.

#6

GeorgePe έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 19, 2025 5:26 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα: $\begin{cases} 2x - 2y + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2025}, \\[8pt] 2y - 2z + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2025}, \\[8pt] 2z - 2x + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2025}. \end{cases}$

.
Αφού μπήκε μία ωραία λύση για x,y,z>0

, γράφω αυτήν που έχω κατά νου, γι' αυτήν την περίπτωση:

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε $\displaystyle{\boxed { \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{3}{a} }}$ (παίρνω μάλιστα γενικό a>0

στην θέση του 2025

)

Πολλαπλασιάζοντας επί

την πρώτη έχουμε $2xy-2yz+1= \dfrac{z}{a}$ , και κυκλικά άλλες δύο παρόμοιες. Προσθέτοντας τις τρεις θα βρούμε ισοδύναμα $\displaystyle{\boxed {x+y+z= 3a}}$ .

Άρα από C-S

$\displaystyle{9 = \left ( x\cdot \dfrac {1}{x} + y\cdot \dfrac {1}{y} + z\cdot \dfrac {1}{z} \right )^2 \le ( x+y+z )\left ( \dfrac {1}{x} + \dfrac {1}{y} + \dfrac {1}{z} \right )= 3a \cdot \dfrac {3}{a}=9$

Άρα έχουμε ισότητα παντού και άρα $x: \dfrac {1}{x} = y: \dfrac {1}{y} = z:\dfrac {1}{z}$ , δηλαδή x^2=y^2=z^2

και άρα

αφού

.

Πίσω στο αρχικό σύστημα, οι εξισώσεις τώρα γίνονται $\displaystyle{\dfrac {1}{z} = \dfrac {1}{a} }$ και κυκλικά. Τελικά $\boxed {x=y=z=a}$

Dimessi · #7

Άρα από C-S

$\displaystyle{9 = \left ( x\cdot \dfrac {1}{x} + y\cdot \dfrac {1}{y} + z\cdot \dfrac {1}{z} \right )^2 \le ( x+y+z )\left ( \dfrac {1}{x} + \dfrac {1}{y} + \dfrac {1}{z} \right )= 3a \cdot \dfrac {3}{a}=9$

Με AM-GM απλούστερα: $\displaystyle \sum_{cyc}^{}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 6,$ με ισότητα μόνο όταν x=y=z.

Ωραίο Κυκλικό Σύστημα

Ωραίο Κυκλικό Σύστημα

Re: Ωραίο Κυκλικό Σύστημα

Re: Ωραίο Κυκλικό Σύστημα

Re: Ωραίο Κυκλικό Σύστημα

Re: Ωραίο Κυκλικό Σύστημα

Re: Ωραίο Κυκλικό Σύστημα

Re: Ωραίο Κυκλικό Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση