Άρχισαν οι προβολές

KARKAR · #1

: Άρχισαν οι προβολές.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές

Σε τεταρτοκύκλιο $O \overset{\frown}{AB}$ ακτίνας

να τοποθετηθεί χορδή PQ=4

,

της οποίας η προβολή

στην ακτίνα

, να ισούται με

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 20, 2025 7:24 am
Άρχισαν οι προβολές.pngΣε τεταρτοκύκλιο $O \overset{\frown}{AB}$ ακτίνας να τοποθετηθεί χορδή ,

της οποίας η προβολή στην ακτίνα , να ισούται με .

: Προβολές.png (20.78 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές

.
Φέρνουμε $OC\perp PS$ . Έστω OS=x

, που το ψάχνουμε. Βρίσκουμε το PS=PC+CS

με δύο διαφορετικούς τρόπους. Συγκεκριμένα, η ισότητα αυτή γράφεται

$\sqrt {OP^2 -OS^2} =\sqrt {PQ^2-CQ^2}+ \sqrt {OQ^2-OT^2}$ . Ισοδύναμα

$\sqrt {5^2 -x^2} =\sqrt {4^2-3^2}+ \sqrt {5^2-(x+3)^2}$ .

Λύνοντας θα βρούμε $x= \dfrac {1}{4}(7\sqrt 3 -6) \approx 1,53$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 20, 2025 7:24 am
Άρχισαν οι προβολές.pngΣε τεταρτοκύκλιο $O \overset{\frown}{AB}$ ακτίνας να τοποθετηθεί χορδή ,

της οποίας η προβολή στην ακτίνα , να ισούται με .

Μία εκτός φακέλου. Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι, $PN=\sqrt 7, PS=\sqrt{25-x^2}.$

: Άρχισαν οι προβολές.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές

$\displaystyle \cos (\theta + \varphi ) = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {7(25 - {x^2})} }}{{20}} - \frac{{3x}}{{20}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow 16{x^2} + 48x - 111 = 0,$

απ' όπου $\boxed{x=\frac{7\sqrt 3-6}{4}}$

Nikitas K. · #4

: Άρχισαν οι προβολές.png (21.41 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

$s^2 + (q+\sqrt{7})^2 = 25$

(s+3)^2 + q^2 = 25

Από όπου δεχόμαστε μόνο τις θετικές λύσεις $s\approx 1,5311$ και $q \approx 2,1141$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 20, 2025 7:24 am
Άρχισαν οι προβολές.pngΣε τεταρτοκύκλιο $O \overset{\frown}{AB}$ ακτίνας να τοποθετηθεί χορδή ,

της οποίας η προβολή στην ακτίνα , να ισούται με .

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

. Φέρνω την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

και τέμνει την

στο

.

Έστω ακόμα,

η προβολή του

στην

και

το σημείο τομής της ημιευθείας

με το ημικύκλιο .

Προφανές ότι $KP = \sqrt {{4^2} - {3^2}} = \sqrt 7$ $\left( 1 \right)$ . Αν τώρα θέσω $PZ = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OS = x$ θα είναι :

: Αρχισαν οι προβολές_Ανάλυση.png (22.54 KiB) Προβλήθηκε 316 φορές

$ZP \cdot ZD = Z{B^2}\,$ ( δύναμη σημείου ${\rm Z}$ ή με όμοια τρίγωνα) και $O{T^2} + T{Q^2} = O{Q^2}$ (Π. Θ. στο $\vartriangle TOQ$ ) , δηλαδή και λόγω της $\left( 1 \right)$

$y\left( {10 - y} \right) = {x^2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {5 - \sqrt 7 - y} \right)^2} = 25$ απ’ όπου : $\boxed{x = \frac{{7\sqrt 3 }}{4} - \frac{3}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = \frac{{ - 3\sqrt {21} }}{4} - \frac{{\sqrt 7 }}{2} + 5}$

Προσδιορίζονται έτσι τα S,P

και ο κύκλος $\left( {P,4} \right)$ τέμνει το δεδομένο τεταρτοκύκλιο στο

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 20, 2025 7:24 am
Άρχισαν οι προβολές.pngΣε τεταρτοκύκλιο $O \overset{\frown}{AB}$ ακτίνας να τοποθετηθεί χορδή ,

της οποίας η προβολή στην ακτίνα , να ισούται με .

Κατασκευάζοντας τον κύκλο $( O, \sqrt{21})$ ,αν η εφαπτόμενη σε οποιοδήποτε σημείο του

κόψει τον κύκλο ( O, 5)

στα σημεία P,Q

,τότε $PL=LQ=2 \Rightarrow PQ=4$ (όπως προκύπτει από Π.Θ στο τρίγωνο POL

)

Είναι $cos \theta = \dfrac{3}{4} \Rightarrow sin \theta = \dfrac{ \sqrt{7} }{4}= \dfrac{ON}{ \sqrt{21} } \Rightarrow ON= \dfrac{7 \sqrt{3} }{4}$

Φέρνουμε λοιπόν την κάθετη στην

στο

που τέμνει τον κύκλο $( O, \sqrt{21})$ στο

H εφαπτόμενη του κύκλου αυτού στο

τέμνει τον κύκλο ( O, 5)

στα ζητούμενα σημεία P,Q

: Άρχισαν οι προβολές.png (36.55 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές

Άρχισαν οι προβολές

Άρχισαν οι προβολές

Re: Άρχισαν οι προβολές

Re: Άρχισαν οι προβολές

Re: Άρχισαν οι προβολές

Re: Άρχισαν οι προβολές

Re: Άρχισαν οι προβολές

Μέλη σε σύνδεση