Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

KARKAR · #1

: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα.png (16.49 KiB) Προβλήθηκε 1484 φορές

Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο OAB

, με : $OA=2\sqrt{5} , OB=14$ . Με τα τμήματα AS , AT

, τριχοτομήστε την γωνία $\hat{A}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 12, 2025 12:06 pm
Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα.pngΔίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο , με : $OA=2\sqrt{5} , OB=14$ . Με τα τμήματα , τριχοτομήστε την γωνία $\hat{A}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 12, 2025 12:06 pm
Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο , με : $OA=2\sqrt{5} , OB=14$ . Με τα τμήματα , τριχοτομήστε την γωνία $\hat{A}$ .

.

: τριχοτόμηση.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 1416 φορές

.
Έχουμε $\tan 3\theta = \dfrac {14}{2\sqrt 5}$ , οπότε με $t=\tan \theta$ έχουμε $\dfrac {3t-t^3}{1-3t^2}= \dfrac {14}{2\sqrt 5}$ . Υψώνουμε στο τετράγωνο και τακτοποιούμε, οπότε

5t^6-226t^4+241t^2-49=0

. Θέτουμε

, οπότε έχουμε

5T^3-226T^2+241T-49=0

, ισοδύναμα (5T-1)(T^2-94T+49)=0

.

'Επεται $T = \dfrac {1}{5}$ , οπότε $\tan \theta =t= \dfrac {\sqrt 5}{5}$ . Συνεπώς $OS= OA \tan \theta = 2\sqrt 5 \cdot \dfrac {\sqrt 5}{5} = 2$ , $\boxed {OS=2}$

Έτσι σχεδιάζουμε την

, και από εκεί την

παίρνοντας $\widehat {SAT} = \widehat {OAS} = \theta$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 12, 2025 12:06 pm
Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα.pngΔίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο , με : $OA=2\sqrt{5} , OB=14$ . Με τα τμήματα , τριχοτομήστε την γωνία $\hat{A}$ .

Αλλιώς. Στο σχήμα είναι LO=OS=x.

Είναι ακόμα, $AL=\sqrt{x^2+20}.$

: Το φίδι.png (11.88 KiB) Προβλήθηκε 1338 φορές

Θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο ALB,

$\displaystyle \frac{{2x}}{{14 - x}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 20} }}{{6\sqrt 6 }}.$ με δεκτή ρίζα $\boxed{x=2}$

KARKAR · #5

: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα.png (21.91 KiB) Προβλήθηκε 1301 φορές

Αν βρω λύση , αυτή θα είναι μοναδική . Προφανής (σχεδόν) είναι η λύση του παρατιθέμενου σχήματος

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 14, 2025 9:36 am
Αν βρω λύση , αυτή θα είναι μοναδική . Προφανής (σχεδόν) είναι η λύση του παρατιθέμενου σχήματος

Σωστά, αλλά αυτή η λύση είναι σαφές ότι είναι προθύστερη. Συγκεκριμένα, ΑΝ ΞΕΡΕΙΣ ότι OS=2

, τότε τα υπόλοιπα μήκη είναι άμεσα. Δηλαδή, ουσιαστικά αυτή η λύση είναι έλεγχος ότι το

που βρήκαμε, είναι σωστό.

Όπως και να είναι, δεν θα τολμούσα να πω αυτή την λύση σε μαθητές μου, ακόμη και σε αυτούς που προπονούσα για Ολυμπιάδες. Και αυτό γιατί δεν μπορώ να ισχυριστώ ότι με "επιφοίτησε το Άγιο Πνεύμα" για το πρώτο βήμα OS=2

.

Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Re: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Re: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Re: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Re: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Re: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Μέλη σε σύνδεση