Πάλι καλά !

KARKAR · #1

: Πάλι καλά !.png (21.05 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές

Τρίγωνο

με : $\hat{A}=120^0$ και : $\hat{B}=40^0$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .

Ονομάζουμε

την προβολή του

στην προέκταση της

και

την τομή της

εφαπτομένης του κύκλου στο

, με την

. Υπολογίστε την γωνία : $\widehat{BTC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 20, 2025 6:57 pm
Πάλι καλά !.pngΤρίγωνο με : $\hat{A}=120^0$ και : $\hat{B}=40^0$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .

Ονομάζουμε την προβολή του στην προέκταση της και την τομή της

εφαπτομένης του κύκλου στο , με την . Υπολογίστε την γωνία : $\widehat{BTC}$ .

Ξεκινάμε με το τρίγωνο ABC

, με $A = 120^\circ \,\,,\,\,B = 40^\circ \,\,\,$ προφανώς δε $C = 20^\circ$ .

Προεκτείνουμε την

κατά

και διχοτομούμε την γωνία στο

που τέμνει την

στο

.

Επειδή $\widehat {JAB} = \widehat {BJA} = \widehat {C_{}^{}} = 20^\circ$ η $\overline {AFJ}$ εφάπτεται του κύκλου , $\left( {A,B,C} \right)$ .

: Πάλι καλά_new.png (44.93 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Τώρα εύκολα έχουμε ότι : $\widehat {ABF} = \widehat {AFC} = 30^\circ \,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\boxed{\,\widehat {BFC} = 100^\circ }$ ,

ενώ προφανώς οι

και

τέμνονται κάθετα . Δηλαδή πληρούνται οι προδιαγραφές της εκφώνησης με ,

$F \equiv T\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z \equiv S$

KARKAR · #3

Νίκο ,

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 20, 2025 6:57 pm
Πάλι καλά !.pngΤρίγωνο με : $\hat{A}=120^0$ και : $\hat{B}=40^0$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .

Ονομάζουμε την προβολή του στην προέκταση της και την τομή της

εφαπτομένης του κύκλου στο , με την . Υπολογίστε την γωνία : $\widehat{BTC}$ .

Θα δείξω ότι η

είναι διχοτόμος της $\widehat C,$ οπότε θα είναι $\boxed{\theta=100^\circ}$

Εύκολα, $\displaystyle S\widehat BA = 30^\circ \Leftrightarrow SA = \frac{c}{2} \Rightarrow SC = \frac{{2b + c}}{2},$ απ' όπου $\boxed{\frac{{SC}}{{BC}} = \frac{{2b + c}}{{2a}}}$ (1)

: Πάλι καλά!.png (34.17 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

Φέρνω

και εύκολα διαπιστώνω ότι η

είναι διχοτόμος της $\widehat B,$ άρα $\displaystyle AD = \frac{{bc}}{{a + c}}.$

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \widehat A = 120^\circ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} + bc \hfill \\ \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {c^2} + ac = {b^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{( + )} {a^2} + ac = 2{b^2} + bc \Leftrightarrow a(a + c) = b(2b + c),$

απ' όπου $\displaystyle \frac{{2b + c}}{{2a}} = \frac{{a + c}}{{2b}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{SC}}{{BC}} = \frac{{SA}}{{AD}}\mathop = \limits^{TA//BD} \frac{{ST}}{{TB}}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

KARKAR · #5

Δεν θα πρωτοτυπήσω : Γιώργο ,

#6

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 21, 2025 5:24 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 20, 2025 6:57 pm
Πάλι καλά !.pngΤρίγωνο με : $\hat{A}=120^0$ και : $\hat{B}=40^0$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .

Ονομάζουμε την προβολή του στην προέκταση της και την τομή της

εφαπτομένης του κύκλου στο , με την . Υπολογίστε την γωνία : $\widehat{BTC}$ .
Θα δείξω ότι η είναι διχοτόμος της $\widehat C,$ οπότε θα είναι $\boxed{\theta=100^\circ}$

Εύκολα, $\displaystyle S\widehat BA = 30^\circ \Leftrightarrow SA = \frac{c}{2} \Rightarrow SC = \frac{{2b + c}}{2},$ απ' όπου $\boxed{\frac{{SC}}{{BC}} = \frac{{2b + c}}{{2a}}}$ Πάλι καλά!.png
Φέρνω και εύκολα διαπιστώνω ότι η είναι διχοτόμος της $\widehat B,$ άρα $\displaystyle AD = \frac{{bc}}{{a + c}}.$

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \widehat A = 120^\circ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} + bc \hfill \\ \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {c^2} + ac = {b^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{( + )} {a^2} + ac = 2{b^2} + bc \Leftrightarrow a(a + c) = b(2b + c),$

απ' όπου $\displaystyle \frac{{2b + c}}{{2a}} = \frac{{a + c}}{{2b}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{SC}}{{BC}} = \frac{{SA}}{{AD}}\mathop = \limits^{TA//BD} \frac{{ST}}{{TB}}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Πάλι καλά !

Πάλι καλά !

Re: Πάλι καλά !

Re: Πάλι καλά !

Re: Πάλι καλά !

Re: Πάλι καλά !

Re: Πάλι καλά !

Μέλη σε σύνδεση