Κατ' ελάχιστον

KARKAR · #1

: Κατ ' ελάχιστον.png (7.68 KiB) Προβλήθηκε 2056 φορές

Η ευθεία : y=-2x+3

τέμνει τον x'x

στο σημείο

. Άλλη ευθεία με αρνητική κλίση , διερχόμενη από το σημείο

S(2,3)

, τέμνει την προηγούμενη στο

και τον

, στο

. Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου ABC

.

Σημείωση : Άσκηση απλή που εξετάζει την κατοχή στοιχειωδών - αλλά απαραίτητων - γνώσεων .

add2math · #2

Το σημείο τομής της ευθείας $y\ =\ -2x\ +\ 3$ με τον άξονα των

είναι $B\left(\frac{3}{2},0\right)$

Οι ευθείες που περνούν από το σημείο S(2,3)

είναι της μορφής: $y\ =\ \lambda(x\ -\ 2)\ +\ 3$ . (Η x=2

απορρίπτεται, αφού δεν έχει κλίση, είναι άκλιτη!

).

Επιπλέον, για $\lambda=-2$ , οι δυο ευθείες είναι παράλληλες, οπότε δεν σχηματίζεται τρίγωνο.

Για την τομή των δύο ευθειών έχω:
$\displaystyle \lambda\left(x-2\right)+3=-2x+3\Rightarrow x=\frac{2\lambda}{\lambda+2}$
Οπότε $A\left(\frac{2\lambda}{\lambda+2},\frac{-\lambda+6}{\lambda+2}\right)$

Για την τομή της δεύτερης ευθείας με τον άξονα x (σημείο C) έχω $0=\lambda\left(x-2\right)+3\Rightarrow \Rightarrow C\left(\frac{-3}{\lambda}+2,\ 0\right)$

Εμβαδόν τριγώνου ABC
$E\left(\lambda\right)=\frac{1}{2}\left|y_A\right|\left|BC\right|=\frac{1}{2}\left|y_A\right|\left|x_C-x_B\right|=\left|\frac{1}{4}\cdot \frac{{\left(\lambda-6\right)}^2}{{\lambda}^2+2\lambda}\right|=\left|g\left(\lambda\right)\right|$ , όπου $g\left(\lambda\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{{\left(\lambda-6\right)}^2}{{\lambda}^2+2\lambda},\ \lambda\in \left(-\infty ,-2\right)\cup (-2,0)$ .

Για να βρούμε το ελάχιστο, παίρνουμε την παράγωγο $g'(\lambda)$ , την μηδενίζουμε και ελέγχουμε τη μονοτονία.

Έχουμε $g{'}\left(\lambda\right)=\frac{\left(\lambda-6\right)(14\lambda+12)}{4{\lambda}^2{\left(\lambda+2\right)}^2}$ που μηδενίζεται στο $\lambda=-\frac{6}{7}$ .
Ακόμα έχουμε ${\mathop{lim}_{\lambda\to -\infty } E(\lambda)\ }=\frac{1}{4},{\mathop{lim}_{\lambda\to -2^{\pm }} E(\lambda)\ }=+\infty ,{\mathop{lim}_{\lambda\to 0^{-} } E(\lambda)\ }=+\infty ,$
οπότε έχουμε το παρακάτω γράφημα.

: katelaxiston01.jpg (28.06 KiB) Προβλήθηκε 1063 φορές

Η $E(\lambda)$ έχει τοπικό ελάχιστο στο $\lambda=-\frac{6}{7}$ με τιμή $E\left(-\frac{6}{7}\right)=12$ , αλλά όχι ολικό. Η οριακή τιμή ${\mathop{lim}_{\lambda\to -\infty } E(\lambda)\ }=\frac{1}{4}$ , αναφέρεται στην περίπτωση που η δεύτερη ευθεία είναι κατακόρυφη, αλλά τότε η ευθεία δεν έχει κλίση, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με την εκφώνηση.

KARKAR · #3

Ας συμπληρωθεί στην αρχική εκφώνηση : ... με αρνητική κλίση αλλά μεγαλύτερη του

...

Κατ' ελάχιστον

Κατ' ελάχιστον

Re: Κατ' ελάχιστον

Re: Κατ' ελάχιστον

Μέλη σε σύνδεση